第12讲 平行（教师版）

第12讲平行（教师版）一、第12讲平行（例题部分）1.如图，直线a、b、c在同一平面内，以a∥b，a与c相交于点P，试说明b与c也一定相交．【答案】解：假设b与c不相交，那么b与c平行．点P在直线a上，a与b平行，

所以P不在直线b上．过直线b外的一点P，有两条直线a、c都与b平行．这与平行公理矛盾．【解析】【分析】本题采用的方法叫做“反证法”．它是数学证明中的常用方法．采用反证法时，首先假设要证明的结论不成立，也就是相反的结论成立．再利用已知条件与假设导出矛盾，从而说明相反的结论不成立，原来的结论成立．在判定两直线是否平行时，除了一般的判定定理外，我们还经常用到下面两条判定定理：(1)若两条直线同平行于第三条直线，则这两条直线平行．(2)若两条直线同垂直于第三条直线，则这两条直线平行．2.如图，AB∥CD，AB∥EF，EG平分∠BED，∠B=45°，∠D=30°．求∠GEF的大小．【答案】解：因为AB∥CD，AB∥EF，

所以EF∥CD，所以内错角FED=D=30°．又因为AB∥EF，

所以内错角FEB=B=45°，从而,BED=FED+FEB=75°．因为EG平分BED，

所以BEG=BED=37.5°．从而GEF=BEF-BEG=45°-37.5°=7.5°．所以GEF为7.5°．【解析】【分析】根据平行线的性质得∠FED=∠D=30°，∠FEB=∠B=45°，从而得∠BED=75°；再由角平分线性质得∠BEG=37.5°，由∠GEF=∠BEF-∠BEG即可求得答案.3.如图，已知AB∥CD，E在AB与CD之间，且∠B=40°，∠D=20°．求∠BED的大小．【答案】解：过E作EF∥AB，则EF∥CD，

所以FEB=B=40°，DEF=D=20°，从而BED=BEF+DEF=40°+20°=60°．【解析】【分析】本题虽然很简单，但它代表一类典型的题目．如下面几题.(1)如图(1)，AB∥CD．若E在AB、CD的外面，同样地，可过E点作EF∥AB，则∠BED=∠FED-∠FEB=∠D-∠B．

(2)如图(2)，AB∥CD．若E点在CD的下方，同理可知，∠BED=∠B-∠D．

(3)如图(3)，AB∥CD.通过作图中所示的辅助线，不难证明：∠B+∠BEF+∠DFE+∠D=540°．

(4)如图(4)，AB∥CD．可以用同样的方法证明：∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠DGF．

解这一类问题的关键是过中间的那些点，作AB的平行线，然后利用平行线的性质来解决问题．我们知道：如果直线a、b都与c相交，所成的同位角或内错角相等，那么a∥b(平行线的判定定理)．如果直线a、b都与c相交，a∥b，那么所成同位角相等，内错角也相等(平行线的性质定理)．4.如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D．求证，∠A=∠F．【答案】证明：因为∠1=∠2，∠1=∠3，

所以∠3=∠2，从而BD∥CE，

所以∠C=∠ABD．

又因为∠C=∠D，

所以∠ABD=∠D，

从而AB∥DF，

所以∠A=∠F．

【解析】【分析】根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行可得BD∥CE，再由两直线平行，同位角相等；可得∠C=∠ABD；等量代换可得∠ABD=∠D，再由平行线的判定和性质即可得证.5.如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD．求证：AE⊥CE．【答案】证明：因为AB∥CD，

所以∠BAC+∠ACD=180°．

又因为AE平分

∠BAC，CE平分∠ACD，所以∠2=

∠BAC，∠3=∠ACD．从而∠2+∠3=

(∠BAC+∠ACD)=90°，∠E=180°-(∠2+∠3)=90°，即AE⊥CE．【解析】【分析】由平行线性质可得∠BAC+∠ACD=180°；再由角平分线性质可得∠2=

∠BAC，∠3=∠ACD；可得∠2+∠3=90°，再由三角形内角和定理得∠E=90°，即AE⊥CE．6.

7条直线两两相交，试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于26°．【答案】证明：在平面上任取一点O．过O点分别作这7条直线的平行线由平行线的性质知，之间互成的角与原来的7条直线之间互成的角相等．所以我们可考察与，，，…,与所成的角，由图，不难发现这7个角的和为一个平角，即180°．假设这七个角没有一个小于26°，则这7个角的和至少为：26°×7=182°．这是不可能的．

因此，这七个角中至