第9章《整式的乘法与因式分解》（解析）VIP

2022-2023学年苏科版数学七年级下册易错题真题汇编（提高版）第9章《整式的乘法与因式分解》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故选A．2．（2分）（2022春•榕城区期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．3．（2分）（2021秋•中山区期末）从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定解：原来租的土地面积：a2（平方米）．现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．∵a2＞a2﹣16．∴张老汉的租地面积会减少．故选：C．4．（2分）（2022春•高新区校级期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．故选：D．5．（2分）（2022秋•湟中区校级期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．6．（2分）（2021秋•崇川区校级月考）若x2+2mx+16是完全平方式，则（m﹣1）2+2的值是（）A．11 B．3 C．11或27 D．3或11解：∵x2+2mx+16是完全平方式．∴m2＝16．∴m＝±4．当m＝4时，（m﹣1）2+2＝9+2＝11．当m＝﹣4时（m﹣1）2+2＝25+2＝27．故答案为：C．故选：C．7．（2分）（2021•龙岗区模拟）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2解：设AB＝x，AD＝y，∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2∴x2+y2＝17，∵矩形ABCD的周长是10cm∴2（x+y）＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴25＝17+2xy，∴xy＝4，∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，故选：B．8．（2分）（2021春•张店区校级期中）若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，则A的值是（）A．0 B．1 C． D．解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）+1＝﹣（1﹣）+1＝故选：D．9．（2分）（2020秋•丛台区期末）已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（）A．0 B．﹣1 C．2 D．1解：∵x2+2x﹣1＝0，∴x2＝1﹣2x，x4﹣5x2+2x＝（x2）2﹣5x2+2x＝（1﹣2x）2﹣5（1﹣2x）+2x＝1﹣4x+4x2﹣5+10x+2x＝4x2+8x﹣4＝4（1﹣2x）+8x﹣4＝4﹣8x+8x﹣4＝0，故选：A．10．（2分）（2022春•拱墅区期末）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（）A．若a＝2b+1，则S＝16 B．若a＝2b+2，则S＝25 C．若S＝25，则a＝2b+3 D．若S＝16，则a＝2b+4解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，ab＝2，a＞b＞0，若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，即2b2+b﹣2＝0，解得：b＝（负值不合题意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+1）2＝（4×+1）2＝17，∴选项A不正确；若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，即b2+b﹣1＝0，解得：（负值不合题意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+2）2＝（4×+2）2＝20，∴选项B不正确；若S＝25，则（a+2b）2＝25，∵a+2b＞0，∴a+2b＝5，∴a＝5﹣2b，∴b（5﹣2b）＝2，即2b2﹣5b+2＝0，解得：b1＝，b2＝2，当b＝时，a＝5﹣2b＝4，2b+3＝4，此时，a＝2b+3；当b＝2时，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合题意，∴选项C正确；若S＝16，则（a+2b）2＝16，∵a+2b＞0，∴a+2b＝4，∴a＝4﹣2b，∴b（4﹣2b）＝2，即b2﹣2b+1＝0，解得：b1＝b2＝1，当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，∴a≠2b+4，∴选项D不正确；故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•龙湖区校级月考）分解因式：16a﹣a3＝a（4+a）（4﹣a）．解：16a﹣a3＝a（16﹣a2）＝a（4+a）（4﹣a），故答案为：a（4+a）（4﹣a）．12．（2分）（2023•济南模拟）已知x2﹣x＝2022，则代数式（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝4043．解：（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝x2﹣1+x2﹣2x＝2x2﹣2x﹣1，当x2﹣x＝2022时，原式＝2（x2﹣x）﹣1＝2×2022﹣1＝4044﹣1＝4043，故答案为：4043．13．（2分）（2022春•织金县校级期中）如果多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是±6．解：∵x2+mx+9＝x2+mx+（±3）2＝（x±3）2，∴m＝2×1×（±#）＝±6，故答案为：±6．14．（2分）（2022春•市北区期中）数学兴趣小组发现：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1利用你发现的规律：求：72021+72020+72019+…+7+1＝．解：72021+72020+72019+…+7+1＝×（7﹣1）（72021+72020+72019+…+7+1）＝×（72022﹣1）＝．故答案为：．15．（2分）（2023•大庆一模）若关于x的多项式x2﹣ax+36＝（x+b）2，则a+b的值是6或﹣6．解：由题意得：x2﹣ax+36＝x2+2bx+b2，∴，∴a＝12，b＝﹣6或a＝﹣12，b＝6．∴a+b＝6或﹣6．故答案为：6或﹣616．（2分）（2022春•榆次区期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为41．解：S阴影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2+2ab）﹣ab＝（a+b）2﹣ab∵a+b＝10，ab＝6；∴原式＝×102﹣×6＝×100﹣9＝41故答案为：41．17．（2分）（2022春•柯桥区期中）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数．如，52﹣32＝16，则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数．则2019的智慧分解数有338和335，1010和1009．解：设2019＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．其中a，b是正整数，且a＞b．∵2019＝673×3＝2019×1，∴或．∴或．∴2019的智慧分解数有338和335及1010和1009．故答案为：338和335及1010和1009．18．（2分）（2021春•东台市期中）如图，一块直径为2a+2b的圆形钢板，从中挖去直径分别为2a与2b的两个圆，已知剩下钢板的面积与一个长为a的长方形面积相等，则这个长方形的宽为2πb．解：设长方形的宽为x，S阴影＝π×（a+b）2﹣π×a2﹣πb2＝ax．∴2πab＝ax．∴x＝2πb．故答案为：2πb．19．（2分）（2021春•天桥区期末）已知在（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16中，a、b为整数，则m的值一共有5种可能．解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16，∴x2+bx+ax+ab＝x2+mx﹣16．∴x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣16．∴a+b＝m，ab＝﹣16．又∵a、b为整数，∴a＝±1或a＝±2或a＝±4或a＝±8或a＝±16．当a＝1时，b＝﹣16，则a+b＝﹣15．当a＝﹣1时，b＝16，则a+b＝15．当a＝2时，b＝﹣8，则a+b＝﹣6．当a＝﹣2时，b＝8，则a+b＝6．当a＝4时，b＝﹣4，则a+b＝0．当a＝﹣4时，b＝4，则a+b＝0．当a＝8时，b＝﹣2，则a+b＝6．当a＝﹣8时，b＝2，则a+b＝﹣6．当a＝16时，b＝﹣1，则a+b＝15．当a＝﹣16时，b＝1，则a+b＝﹣15．综上：a+b＝﹣15或15或﹣6或6或0．故答案为：5．20．（2分）（2022春•龙泉驿区期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（1，2）的化简结果是2x2+5x+2；若（a，b）乘以（b，a）的结果为9x4﹣60x3+118x2﹣60x+9，则a+b的值为±2．解：（1）（1，2）＝（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2，故答案为：2x2+5x+2．（2）（a，b）＝（ax+b）（bx+a），（b，a）＝（bx+a）（ax+b）；∴（a，b）（b，a）＝（ax+b）2（bx+a）2＝a2b2x4+（2a3b+2ab3）x3+（a4+4a2b2+b4）x2+（2a3b+2ab3）x+a2b2，∴a2b2＝9，ab＝±3，2a3b+2ab3＝﹣60，即2ab（a2+b2）＝﹣60，∴ab＝﹣3，∴﹣3×2（a2+b2）＝﹣60，a2+b2＝10，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10+2×（﹣3）＝4，∴a+b＝±2．故答案为：±2．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•盐城月考）计算：（1）a2•（﹣a）3•（﹣a4）；（2）﹣2a6﹣（﹣3a2）3；（3）；（4）（p﹣q）4÷（q﹣p）3•（p﹣q）2．解：（1）a2•（﹣a）3•（﹣a4）＝a2•（﹣a3）•（﹣a4）＝a9；（2）﹣2a6﹣（﹣3a2）3＝﹣2a6﹣（﹣27a6）＝﹣2a6+27a6＝25a6；（3）＝1﹣+9﹣4＝5；（4）（p﹣q）4÷（q﹣p）3•（p﹣q）2＝（p﹣q）4÷[﹣（p﹣q）3]•（p﹣q）2＝﹣（p﹣q）•（p﹣q）2＝﹣（p﹣q）3．22．（6分）（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．；（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，还可以表示为：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，则a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．23．（6分）（2023春•禅城区校级月考）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）：方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2．（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系式（a+b）2＝a2+b2+2ab．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知a+b＝6，a2+b2＝26，求ab的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，求（x﹣2022）2的值．解：（1）方法1：大正方形的边长为（a+b），∴S＝（a+b）2；方法2：大正方形＝各个部分相加之和，∴S＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2．（2）由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①∵a+b＝6，∴（a+b）2＝36，∵a2+b2＝26，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝36﹣26＝10，∴ab＝5．②令a＝x﹣2022，∴x﹣2021＝[x﹣（2022﹣1）]＝x﹣2022+1＝a+1，x﹣2023＝[x﹣（2022+1）]＝x﹣2022﹣1＝a﹣1，∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝48，解得a2＝23．∴（x﹣2022）2＝23．24．（6分）（2022春•顺德区校级月考）定义＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2．已知A＝，已知B＝（n为常数）．（1）若B＝4，求x的值；（2）若A的代数式中不含x的一次项时，当x＝1，求A+B的值．（3）若A中的n满足2×2n+1＝22时，且A＝B+2，求8x2−4x+3的值．解：（1）∵B＝，∴B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2+2x+1﹣x2+2x﹣1＝4x，∵B＝4，∴4x＝4，∴x＝1；（2）∵A＝，∴A＝2x（2x+1）﹣（nx﹣1）＝4x2+2x﹣nx+1＝4x2+（2﹣n）x+1，∵A的代数式中不含x的一次项，∴2﹣n＝0，∴n＝2，∴A＝4x2+1，当x＝1时，A+B＝4×12+1+4×1＝4×1+1+4＝4+1+4＝9，∴A+B的值为9；（3）∵2×2n+1＝22，∴2n+2＝22，∴n+2＝2，∴n＝0，∴A＝4x2+2x+1，∵A＝B+2，∴4x2+2x+1＝4x+2，∴4x2﹣2x﹣1＝0，∴4x2﹣2x＝1，∴8x2﹣4x＝2，∴8x2−4x+3＝2+3＝5，∴8x2−4x+3的值为5．25．（8分）（2022春•南浔区期末）小伟同学的错题本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M和N表示），污染后的习题如下：（30x4y2+M+12x2y2）÷（﹣6x2y）＝N+3xy﹣2y．（1）请你帮小伟复原被污染的M和N处的代数式，并写出练习题的正确答案；（2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式x2y+xy+y相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．解：（1）由题意得：N＝30x4y2÷（﹣6x2y）＝﹣5x2y，M＝3xy×（﹣6x2y）＝﹣18x3y2．∴正确答案为：﹣5x2y+3xy﹣2y．（2）﹣5x2y+3xy﹣2y+x2y+xy+y＝﹣4x2y+4xy﹣y．这个和能够因式分解，﹣4x2y+4xy﹣y＝﹣y（4x2﹣4x+1）＝﹣y（2x﹣1）2．26．（8分）（2022春•沙坪坝区校级期末）若在意一个三位数M，满足各数位上的数字均不为0，百位上的数字与十位上的数字的2倍之和等于十位上的数字与个位上的数字的2倍之和，则称这个三位数M为“双增数”．对于一个“双增数”M＝，规定：s＝a+c，t＝b+c，F（M）＝3s+2t．例如，M＝243，因为2+2×4＝4+2×3，故M是一个“双增数”，s＝2+3＝5，t＝4+3＝7，则F（M）＝3×5+2×7＝29．（1）请判断365，597是不是“双增数”，说明理由．若是，请求出F（M）的值；（2）若三位数N为“双增数”，N的百位数字为x﹣1，个位数字为y（其中x，y是正整数，且3≤y≤7），当N各数位上的数字之和与F（N）的和能被17整除时，求所有满足条件的“双增数”N的值．解：（1）∵3+6×2＝15，6+2×5＝16，∴365不是“双增数”．∵5+9×2＝9+7×2＝23，∴597是“双增数”．（2）设N的十位数字是a，∵N是“双增数”，∴x﹣1+2a＝a+2y，∴a＝2y﹣x+1，s＝x﹣1+y，t＝a+y＝3y﹣x+1，∴F（N）＝3（x﹣1+y）+2（3y﹣x+1）＝x+9y﹣1，∴N各数位上的数字之和与F（N）的和＝x﹣1+a+y+x+9y﹣1＝x﹣1+2y﹣x+1+y+x+9y﹣1＝12y+x﹣1，∵N各数位上的数字之和与F（N）的和能被17整除，3≤y≤7，∴当y＝4，x＝4符合题意，此时N＝354，当y＝5，x＝9合题意，此时N＝825，∴符合条件的N有：354，82527．（10分）（2019春•西湖区校级期中）如图1，小明同学用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形纸片拼成了一个长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形，它的面积为（a+2b）（a+b），于是，我们可以得到等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2，写出一个代数恒等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝40，求ab+bc+ac的值；（3）小明同学又用4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，8张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形的长为2a+3b，宽为2a+b．解：（1）如图2所示：∵由图可知，外面边长为（a+b+c）正方形的面积等于3个边长分别为a、b、c小正方形的面积，2个边长分别为a、b的长方形，2个边长分别为a、c的长方形，