第20讲 奇数和偶数

第20讲奇数和偶数一、第20讲奇数和偶数（练习题部分）1.有一个班的学生，每人都参加了数学、语文或外语三个兴趣小组中的一个.参加数学兴趣小组的学生比参加语文兴趣小组的学生多3人.参加语文兴趣小组的学生又比参加外语兴趣小组的学生多5人.参加外语兴趣小组的人数是偶数.这个班的人数是奇数还是偶数?

2.求正整数中前10个奇数的和.一般地，求正整数中前n个奇数的和.

3.如图是一条浅水河的平面图.图中曲线为河岸.人在河中走，下水时脱鞋，上岸时穿鞋.某人从水中的A点走到某个点B时，他脱鞋与穿鞋的次数相同.问B点是在水中还是岸上?4.七个连续奇数的和是399.求这七个数.

5.三个连续偶数的乘积是一个六位数8****2，求这三个偶数.

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6.两人通一次电话，就认为这两个人都打了一次电话.问全世界打电话的次数是奇数的人，人数是奇数还是偶数?

7.A、B、C、D、E五盏灯，开始时都是关的.小明顺次拉动这五盏灯的开关，即从A到E拉动开关，再从A到E拉动开关……问小明拉动189次开关后，有哪几盏灯是开的?

8.桌上放着四个杯子，杯口都朝上.每次翻动三个杯子.能否翻动若干次后，将杯口全部朝下?9.能否在下式的每个方框中，填入加号或减号，使等式成立?10.能否找到自然数a和b，使a2=2002+b2.11.有9只杯子，杯口全朝上.每次翻动其中的四只杯子.能否经过若干次这样的翻动，使杯口全部朝下?12.如图是一所房子的示意图.数字表示房间号码.每个房间与隔壁的房间有门相通.小胖要从一号房间开始不重复地走遍这九间房间，最后回到一号房间.他能做到吗?12345678913.平面上有9个点，每三点都不在同一条直线上.想从每一点都正好引出三条直线和其余点中的任意三个相连：这种想法能实现吗?

14.中国象棋盘上有一只马，跳了若干步后正好回到原来的位置.问这只马所跳的步数是奇数还是偶数?为什么?

15.已知a、b、c中有一个是2001，一个是2002，一个是2003.试证明：(a+1)(b+2)和(c+3)的乘积一定是偶数.

答案解析部分一、第20讲奇数和偶数（练习题部分）1.【答案】解：∵参加外语兴趣小组的人数是偶数，

则设参加外语兴趣小组的人数是2n，

∵参加语文兴趣小组的学生又比参加外语兴趣小组的学生多5人，

∴参加语文兴趣小组的学生人数为2n+5，

∵参加数学兴趣小组的学生比参加语文兴趣小组的学生多3人，

∴参加数学兴趣小组的学生人数为2n+5+3，

∴全班总人数为：2n+2n+5+2n+5+3=6n+13，

∵6n偶数，13是奇数，

∴6n+13是奇数，

即这个班的人数是奇数.

【解析】【分析】根据题意设参加外语兴趣小组的人数是2n，从而得出参加语文、数学兴趣小组的学生人数为2n+5，2n+5+3，列式，计算即可得出全班人数.2.【答案】解：∵正整数中前10个奇数为1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，

∴正整数中前10个奇数和为：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19，

=（1+19）+（3+17）+（5+15）+（7+13）+（9+11），

=20×5，

=100；

又∵正整数中前10个奇数为1、3、5、7、9……2n-1，

∴正整数中前n个奇数的和为：1+3+5+……+2n-1，

=（1+2n-1）+（3+2n-3）+……+（n-1+n+1）,

=2n×

=n2.

【解析】【分析】根据条件列式，找出规律，计算即可得出答案.3.【答案】解：∵人在河中走，下水时脱鞋，上岸时穿鞋，

∴从水中到岸上再到水中，穿鞋与脱鞋次数和为2的倍数，

即穿鞋与脱鞋次数相加为偶数时，某人一定在水中；穿鞋与脱鞋次数相加为奇数时，某人一定在岸上；

∵某人从水中的A点走到某个点B时，他脱鞋与穿鞋的次数相同，

即在B点时他脱鞋与穿鞋次数和为偶数，

∴B点在水中.

【解析】【分析】根据题意可知从水中到岸上再到水中，穿鞋与脱鞋次数和为2的倍数，即穿鞋与脱鞋次数相加为偶数时，某人一定在水中；穿鞋与脱鞋次数相加为奇数时，某人一定在岸上；由于脱鞋与穿鞋的次数相同，可知在B点时他脱鞋与穿鞋次数和为偶数，故在水中.4.【答案】解：∵七个连续奇数的和是399，

∴399÷7=57，

∴中间那个奇数为57，

∴七个连续奇数依次为：51，53，55，57，59，61，63.

答：七个连续奇数分别为：51，53，55，57，59，61，63.

【解析】【分析】根据题意总和除以7可求得中间那个奇数，根据奇数的性质可求得其余奇数.5.【答案】解：三个连续偶数相乘，个位是2的只有4×6×8，

∵积大于800000，

90×90×90＝729000＜800000，

100×100×100＝1000000＞800000

∴这三个数大于90，小于100，

∴满足条件的三个连续偶数是：94，96，98.

【解析】【分析】根据偶数性质可得个位是2的只有4×6×8，又由于积大于800000，可得这三个数大于90，小于100，从而得出答案.6.【答案】解：依题可得：通1次电话的人数是2人，

∴通n（n自然数）次电话的次数是2n人，n是自然数时，2n是偶数，

即通话总数为偶数，

∴全世界打过奇数次电话的人数是偶数．

【解析】【分析】依题可得：通1次电话的人数是2人，由此可得通话总数为偶数，根据奇偶数性质：奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；由此即可得出答案.7.【答案】解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，改变状态，即开的变成关的，关的变成开的；一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变状态，即开的仍为开的，关的仍为关的.因此本题的关键是计算各盏灯被拉次数的奇偶性.

∵189=5×37+4，

∴A、B、C、D四盏灯的开关各被拉动了38次，而E一盏灯的开关被拉动了37次；

∴A、B、C、D四盏灯不改变状态，E一盏灯改变状态；

∵开始时A、B、C、D、E五盏灯是关着的，

∴最后E灯是开着的.

【解析】【分析】一盏灯的开关被拉动奇数次后，改变状态，即开的变成关的，关的变成开的.一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变状态，即开的仍为开的，关的仍为关的；因此本题的关键是计算各盏灯被拉次数的奇偶性.8.【答案】解：将杯口向上的杯子记为0，杯口向下的杯子记为1；∵由于四个杯子全朝上，

∴这四个数的和为0，是个偶数；又∵一个杯子每翻动一次，所记的数由0变为1或由1变为0，改变了奇偶性；每一次翻转三个杯子，因此这四个数的和的奇偶性改变了三次，从而和的奇偶性仍与原来相同；

∴不论翻动多少次，这四个数的和与原来一样，仍为偶数；当杯子全部朝下时，这四个数的和为4，是偶数.

∴经过若干次翻转，能使所有的杯子口都朝下.

【解析】【分析】将杯口向上的杯子记为0，杯口向下的杯子记为1；根据题意一个杯子每翻动一次，所记的数由0变为1或由1变为0，改变了奇偶性；每一次翻转四个杯子，因此这四个数的和的奇偶性改变了三次，从而和的奇偶性仍与原来相同；起初四个杯子全朝上，和为0，是个偶数；当杯子全部朝下时，和为4，是奇数；故能.9.【答案】解：不能，理由如下：

首先由奇偶数性质，在这个式子当中，我们可以知道，左边有5个奇数，4个偶数，

∴5个奇数的和(差）是奇数，4个偶数的和(差)是偶数，

∴奇数+偶数=奇数(奇数－偶数=奇数），

又∵右边10是偶数，

∴不管左边怎么相加减，都不能等于(10）偶数.【解析】【分析】在这个式子当中，我们可以知道，左边有5个奇数，4个偶数，由奇偶数性质可知5个奇数的和(差）是奇数，4个偶数的和(差)是偶数，奇数+偶数=奇数(奇数－偶数=奇数），而右边又是偶数，个不能.10.【答案】解：不能，理由如下：

∵a2=2002+b2，

∴a2-b2=2002，

即（a+b）（a-b）=2×1001．

①如果a、b同为奇数或同为偶数，那么（a+b）×（a-b）必定是偶数×偶数=偶数；

②如果a、b为一奇一偶，那么（a+b）×（a-b）必定是奇数×奇数=偶数．

∴上述两种情况均与等式右边的偶数×奇数=奇数相矛盾．

答：找不到自然数a和b，使a2=2002+b2．【解析】【分析】根据题意将原式变形为：（a+b）（a-b）=2×1001，再分情况讨论：

①如果a、b同为奇数或同为偶数，则左边必定是偶数×偶数=偶数；

②如果a、b为一奇一偶，则左边必定是奇数×奇数=偶数；而右边是偶数×奇数=奇数，所以奇数不可能等于偶数，故不可能.11.【答案】解：将杯口向上的杯子记为0，杯口向下的杯子记为1；∵由于9个杯子全朝上，

∴这九个数的和为0，是个偶数；又∵一个杯子每翻动一次，所记的数由0变为1或由1变为0，改变了奇偶性；每一次翻转四个杯子，因此这九个数的和的奇偶性改变了四次，从而和的奇偶性仍与原来相同；

∴不论翻动多少次，这四个数的和与原来一样，仍为偶数；当杯子全部朝下时，这九个数的和为9，是奇数.

∴不论经过多少次翻转，都不可能使所有的杯子口都朝下.

【解析】【分析】将杯口向上的杯子记为0，杯口向下的杯子记为1；根据题意一个杯子每翻动一次，所记的数由0变为1或由1变为0，改变了奇偶性；每一次翻转四个杯子，因此这九个数的和的奇偶性改变了四次，从而和的奇偶性仍与原来相同；起初九个杯子全朝上，和为0，是个偶数；当杯子全部朝下时，和为9，是奇数；故不可能.12.【答案】解：他不能做到；

∵小胖从一号房间出发，走法必为：奇→偶→奇→偶→……

∴奇数数字房间的数目与偶数数字房间的数目相等或者相差一才可以走遍每个房间；

又∵图中奇数数字房间5间，偶数数字房间4间，相差1间，

∴能走遍每个房间，但是不能走遍每一个房间而不重复的回到一号房间.

【解析】【分析】说明与整数可以分为奇数与偶数两类一样，分成两类.几个连续的整数，必然是奇偶相间，而且奇数个数与偶数个数相差至多为一个.因此，从本质上说，我们还是利用奇偶性来解决问题的。13.【答案】解：这种想法不能实现，理由如下：

假设这种想法能实现，

∵每个点都能引出三条线，

∴9个点能引出的直线为：9×3=27（条）；

又∵每条线其实连接两个点，即重复计算了一次，

∴如果能实现就会有=13.5（条），

∴这是不可能的.

【解析】【分析】假设这种想法能实现，根据题意可得出9个点能引出的直线有27条；但是每条线其实连接两个点，即重复计算了一次，故有条直线，但是这是不可能的.14.【答案】解：半张中国象棋盘，共有5×9=45个交汇点，将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色，

假如四个角的点都是黑色，共有23个黑色，22个白色，

由“马步”的行走规则，当“马”从黑点出发，下一步只能跳到白点，以后依次是黑、白、黑、白……，要回到原出发点（黑点），经过黑白点是承兑出现的，也就是说跳的步数是2的倍数，

∴这只马所跳的步数是偶数.

【解析】【分析】根据中国象棋的特征可知：半张中国象棋盘，共有5×9=45个交汇点，将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色，假如四个角的点都是黑色，则共有23个黑色，22个白色，根据“马步”的行走规则，当“马”从黑点出发，下一步只能跳到白点，以后依次是黑、白、黑、白……，可知跳的步数是2的倍数，即为偶数.15.【答案】证明：①当a=2001时，

∴a+1=2001+1=2002，是偶数；

∴(a+1)(b+2)(c+3)的乘积是偶数；

②当a=2002时，

∴a+1=2002+1=2003，是奇数；

但是b、c分别为2001，2003，为奇数，

∴奇数+3一定为偶数，

∴(a+