2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直一同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价三十直线与平面垂直(一)(15分钟30分)1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,肯定能推出m⊥β的是 ()A.α∥β,且m⊂α B.m∥n,且n⊥βC.m⊥n,且n⊂β D.m⊥n,且n∥β【解析】选B.A中,由α∥β,且m⊂α,知m∥β;B中,由n⊥β,知n垂直于平面β内的随意直线,再由m∥n,知m也垂直于β内的随意直线,所以m⊥β,B符合题意;C,D中,m⊂β或m∥β或m与β相交,不符合题意.2.若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍,则AB与平面α所成角的大小为 ()A.60° B.45° C.30° D.90°【解析】选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示,∠ABO即是斜线段与平面所成的角.又AB=2BO,所以cos∠ABO=QUOTE=QUOTE,所以∠ABO=60°.3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 ()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC【解析】选C.因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC⊂平面OBC,所以OA⊥平面OBC.4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则平面AB1C,平面ACC1A1,平面OCN,平面A1【解析】因为AC⊥平面BDD1,所以AC⊥OM,同理可证B1C⊥OM,AC∩B1C=C,所以OM⊥平面AB1C;同理,OM⊥平面A答案:平面AB1C,平面A1C5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1,AB1∩A1B=M.求证:A1【证明】因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1,A1B∩AB1所以A1B⊥AM,AC⊥AA1,因为AB∩AA1=A,所以AC⊥平面ABB1A1所以AC⊥AB1,因为AM∩AC=A,所以A1B⊥平面MAC.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面 ()A.有且只有一个 B.至多一个C.有一个或多数个 D.不存在【解析】选B.若异面直线m,n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线B1C1与平面AB1DA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.如图,连接A1C交平面AB1D1于O,O为体对角线A1C的三等分点,直线B1C1与平面AB1D1所成角就是直线A1D1与平面AB1D1所成角,A1O⊥平面AB1D1,因为B1C1∥A1D1,所以∠A1D1O即为直线B1C1与平面AB1D1所成角,设正方体的棱长为a,则A1C=QUOTEa,A1O=QUOTEa,sin∠A1D1O=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等,则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等,作SO⊥底面ABCD,垂足为O,所以∠SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角,设AB=a,则SB=a,OB=QUOTEBD=QUOTE,所以cos∠SBO=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠SBO=45°,所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45°.4.(2024·南昌高一检测)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有 ()A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面【解析】选B.依据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,所以AH⊥平面EFH,B正确;因为过A只有一条直线与平面EFH垂直,所以A不正确;因为AG⊥EF,EF⊥AH,所以EF⊥平面HAG,所以平面HAG⊥平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,肯定在平面HAG内,所以C不正确;因为HG不垂直于AG,所以HG⊥平面AEF不正确,D不正确.【补偿训练】在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,下列结论中不成立的是 ()A.BC∥平面PDF B.BC⊥平面PAEC.DF⊥平面PAE D.AE⊥平面APC【解析】选D.因为D,F分别为AB,AC的中点,所以DF∥BC,故BC∥平面PDF,故A项正确.又AB=AC,PB=PC,E为BC的中点,所以AE⊥BC,PE⊥BC,所以BC⊥平面PAE,又DF∥BC,所以DF⊥平面PAE,故B、C项正确.由于AE与AP不垂直(否则,等腰三角形PAE将有两个直角),故AE与平面APC不垂直.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在正方体ABCD-A1B1C1D1A.A1C⊥平面AB1DB.A1C⊥平面AB1CC.A1B⊥平面AB1D1D.A1B⊥平面AB1C1【解析】选AD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,又CC1⊥B1D1,且A1C1∩CC1=C1,所以B1D1⊥平面A1C1C,则A1C⊥B1D1,同理A1C⊥AB1,则A1C⊥平面AB1D1,故A正确,B不正确;因为A1B⊥AB6.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ垂直的是 ()【解析】选ABC.对于A,AB为体对角线,MN,MQ,NQ分别为棱的中点,由中位线定理可得它们平行于面对角线,连接另一条面对角线,可得AB垂直于MN,MQ,NQ,可得AB垂直于平面MNQ;对于B,AB为上底面的对角线,明显AB垂直于MN,与AB相对的下底面的面对角线平行,且与直线NQ垂直,可得AB垂直于平面MNQ;对于C,AB为前面的面对角线,明显AB垂直于MN,QN在下底面且与棱平行,此棱垂直于AB所在的面,即有AB垂直于QN,可得AB垂直于平面MNQ;对于D,AB为上底面的对角线,MN平行于前面的一条对角线,此对角线与AB所成角为60°,则AB不垂直于平面MNQ.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与直线AC所成角的大小为;直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为【解析】连接A1C1,BC1,△BA1C1为等边三角形,所以直线A1B与直线AC所成角的大小为QUOTE,因为四边形BCC1B1是正方形,所以BC1⊥B1C,又DC⊥平面BCC1B1,所以BC1⊥CD,又因为CD∩B1C=C,所以BC1⊥平面A1B设BC1交B1C于O,则∠OA1B为直线A1B和平面A1B1在Rt△OA1B中,sin∠OA1B=QUOTE=QUOTE,所以直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为.

【解析】如图,设C在平面α内的射影为点O,连接AO,MO,则∠CAO=30°,∠CMO就是CM与α所成的角.设AC=BC=1,则AB=QUOTE,所以CM=QUOTE,CO=QUOTE,所以sin∠CMO=QUOTE=QUOTE,所以∠CMO=45°.答案:45°四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,ABCD是圆柱的一个轴截面,点E是上底面圆周上的一点,已知AB=BC=5,AE=3.(1)求证:DE⊥平面ABE.(2)求直线BE与平面ADE所成角的正切值.【解析】(1)ABCD是圆柱的一个轴截面,AB⊥平面ADE,因为ED⊂平面ADE,所以AB⊥ED,又E在底面圆上,AD为直径,所以AE⊥DE,又AE∩AB=A,所以DE⊥平面ABE.(2)因为AB⊥平面ADE,所以∠AEB为直线BE与平面ADE所成角,在Rt△ABE中,AB=5,AE=3,所以tan∠AEB=QUOTE=QUOTE.10.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,点D,E分别是BC,AB1的中点(1)求证:DE∥平面ACC1A1(2)若BB1=1,求证:C1D⊥平面ADE.【证明】(1)连接A1B,A1C因为侧面ABB1A1点E是AB1的中点,所以点E是A1B的中点,又因为点D是BC的中点,所以DE∥A1C因为DE⊄平面ACC1A1,A1C⊂平面ACC1所以DE∥平面ACC1A1(2)连接B1D,在正三棱柱ABC-A1B1C1因为BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD,又因为底面ABC是等边三角形,D为BC的中点,所以BC⊥AD,又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1,又C1D⊂平面B1BCC1,所以AD⊥C1D,由BC=2,得BD=1,又BB1=CC1=1,所以DB1=C1D=QUOTE,所以DQUOTE+C1D2=B1QUOTE,所以C1D⊥DB1,DB1∩AD=D,所以C1D⊥平面ADB1,即C1D⊥平面ADE.【补偿训练】已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,且底面ABCD为菱形,F为BB1的中点,M为线段AC1的中点.求证:MF⊥平面A1ACC1【证明】取AC的中点O,连接MO,因为M,O分别为AC1,AC的中点,所以MOQUOTECC1.又F为BB1的中点,所以BFQUOTECC1,所以MOBF,所以四边形MOBF为平行四边形,所以MF∥BO,因为F为BB1的中点,易得AF=C1F又M为AC1的中点,所以MF⊥AC1.又四边形ABCD为菱形,所以BO⊥AC.又MF∥BO,所以MF⊥AC.又AC1∩AC=A,所以MF⊥平面A1ACC1.1.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中,BC⊥AC,∠PBA=θ1,∠PBC=θ2,∠ABC=θ3.则下列关系肯定成立的是 ()A.cosθ1cosθ2=cosθ3B.cosθ1cosθ3=cosθ2C.sinθ1sinθ2=sinθ3D.sinθ1sinθ3=sinθ2【解析】选B.QUOTE⇒QUOTE⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,所以cosθ1=QUOTE,cosθ2=QUOTE,cosθ3=QUOTE.则有cosθ1cosθ3=cosθ2.2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1(1)求证:直线AE⊥直线A