第26讲 二元一次不定方程（教师版）

第26讲二元一次不定方程（教师版）一、第26讲二元一次不定方程1.解方程2x-3y=8．【答案】解：由原方程易得

2x=8+3y，x=4+．因此，对y的任意一个值，都有一个x（=4+）与之对应，此时x与y的值满足原方程，是原方程的一组解．即原方程的解可表示为

(k为任意数)．【解析】【分析】由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解。一般地，二元一次不定方程总有无穷多组解．将其中的一个未知数看作常数，解出另一个未知数：看作常数的未知数取为任意数．对二元一次不定方程，我们通常研究它的整数解．只需取k为偶数，则x、y都是整数.2.求方程2x+6y=9的整数解．【答案】解：∵2x+6y=2(x+3y)，

∴不论x和y取何整数，都有2|2x+6y，

又∵29，

∴不论x和y取什么整数，2x+6y都不可能等于9．

即原方程无整数解．

【解析】【分析】并非所有的二元一次方程都有整数解．二元一次方程什么时候有整数解，什么时候没有整数解呢?

我们有下面的定理：定理1整系数方程ax+by=c有整数解的充分而且必要条件是a与b的最大公约数d能整除c．定理1告诉我们，若d|c，则原方程有整数解；若dc,则原方程没有整数解．3.求方程4x+10y=34的整数解．【答案】解：因为4与10的最大公约数为2，而2|34，

由定理1得原方程有整数解．两边约去2后，得2x+5y=17，故．因此，要使y为整数，必须2(1-x)是5的倍数，因为2与5互质，所以x-1是5的倍数，即x=1+5k，k为任意整数．代入得y=3-2k．即原方程的整数解为

(k为任意整数)．【解析】【分析】由定理1整系数方程ax+by=c有整数解的充分且必要条件是a与b的最大公约数d能整除c，我们知道，若ax+by=c有解，则a与b的最大公约数d|c．这时，我们可以在原方程的两边同时约去d，得x+y=．令=a1，=b1，=c1得到一个同解的二元一次方程a1x+b1y=c1．这时a1与b1的最大公约数为1．因此，只要讨论d=1的情况即可．我们有如下的定理：

定理2若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为(k为任意整数)．因此，当d=1时，ax+by=c有解，并且解这个二元一次方程的关键在于找它的一组特解x0、y0.4.求方程2x+3y=5的整数解．【答案】解：我们很容易发现，x=1，y=1是方程的一组解，

又因为(2，3)=1，由定理2，若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为，

(k为任意整数)．方程的所有整数解为，(k为任意整数)．【解析】【分析】通过观察，容易发现一组解．但有时，不定方程的特解是不容易获得的，如不定方程1999x+105y=1就很难直接找到一组整数解．5.求方程3x+5y=12的整数解。【答案】解：由3x+5y=12得

所以当且仅当3|y时，x为整数．

取y=3，得=-1．

即x=-1，y=3是原方程的一组解．

因此，原方程的所有整数解为，(k为任意整数)．【解析】【分析】通过观察，容易发现一组解；根据定理：若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为，

可得原方程的整数解.6.求方程3x+5y=31的整数解．【答案】解：由原方程，得即x=10-2y+，要使方程有整数解，必须为整数．取y=2，得x=10-2y+=10-4+1=7；

故x=7，y=2是原方程的一组解．

因此，原方程的所有整数解为，(k为任意整数)．【解析】【分析】通过观察、计算可得原方程的一组解，再由定理：若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为，

可得原方程的整数解.7.求方程3x+5y=31的正整数解．

【答案】解：∵3x+5y=31，

∴x==10-2y+，

要使方程有整数解，必须为整数；

取y=2，得x=7；

∴x=7，y=2是原方程的一组解；

∴3x+5y=31的所有整数解为

，(k为任意整数)．要求原方程的正整数解，只要使x>0，y>0即可．

即有不等式组，

这个不等式组的解为．

注意到k为整数，在这范围内的整数k只有0或-1．

分别令k=0和k=-1，得到原方程的所有正整数解为.【解析】【分析】求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代人通解，即得这个不定方程的所有正整数解．8.求方程5x-3y=-7的正整数解．【答案】解：原方程可化为，即y=4时，x=1．即为原方程的一组整数解．

因此，原方程的所有整数解为,(k为任意整数)．

再令x>0，y>0，即有不等式组解得．

所以原方程的正整数解为,(k为非负整数)．【解析】【分析】先将原方程变形，观察得出原方程的一组整数解，再由定理：若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为，

可得原方程的整数解，从而得出原方程的正整数解.9.求方程11x+5y=12的正整数解．【答案】解：如果方程有正整数解，则x≥1，y≥1．因此11x+5y≥11+5=16．方程的右端为12，所以这个方程无正整数解．【解析】【分析】一般地，若方程ax+by=c,a>0，b>0，a+b>c；则这个方程无正整数解．10.已知a、b为正整数，并且、、都是既约真分数．如果、、的分子都加上b，得到的三个分数的和为6．求这三个既约真分数的积．

【答案】解：由题意，我们有，整理得

3a+11b=64．

①

问题转化为求3a+11b=64的正整数解．

由3a+11b=64得，从而a=21-4b+．令b=2，得a=14.

即这个不定方程有一组整数解，

从而它的所有整数解为

，(k为任意整数)．

令a>0，b>0，得不等式组解得．

从而k=0或-1．