第四章 因式分解（9类题型突破）

第4章因式分解（9类题型突破）题型一判定是否属于因式分解【例题】1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．巩固训练：2．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是()A． B．C． D．3．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（

）A． B．C． D．题型二公因式【例题】4．单项式与的公因式是（

）A． B． C． D．巩固训练：5．下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（

）A．和 B．和C．和 D．和6．多项式的公因式是（

）A． B． C． D．7．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（

）A． B． C． D．8．（1）多项式的公因式是；（2）多项式的公因式是；（3）多项式的公因式是；（4）多项式的公因式是．题型三提取公因式法分解因式【例题】9．因式分解：(1)． (2)巩固训练：10．把下列各式分解因式：(1)； (2)．11．将下列各式分解因式：(1)； (2)；(3)； (4)．12．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．(1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次；(2)将下列多项式分解因式：；(3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________．题型四判断是否能用公式法分解因式【例题】．13．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．巩固训练：14．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（

）A． B． C． D．15．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（

）①；

②；③；

④；

⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）（1）（2）（3）（4）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．题型五用公式法分解因式【例题】．18．分解因式：(1)； (2)．巩固训练：19．因式分解：(1)； (2)．20．分解因式：(1) (2)．题型六十字相乘法分解因式【例题】．21．如果多项式可分解为，则m，n的值分别为（

）A． B． C． D．巩固训练：22．用十字相乘法分解因式：(1)； (2)；(3)．23．因式分解：题型七分组分解法分解因式【例题】．24．因式分解：(1)； (2)；(3)．巩固训练：25．26．因式分解：；27．因式分解：题型八因式分解的应用【例题】．28．已知，，那么、的大小关系为（

）A． B． C． D．不确定巩固训练：29．如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽度相等的甬道，其余部分种草，若该场地种草部分的面积为m2，则甬道的宽度是（）A．3m B．6m C．9m D．15m30．已知a，b，c为三边，且满足，则是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定31．如果能被整除，则（

）．A． B．8 C．7 D．32．已知，则的值（

）．A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定33．已知，，那么的值为.34．已知，则的值为．题型九材料信息题【例题】．35．观察下面因式分解的过程：上面因式分解过程的第一步把拆成了，这种因式分解的方法称为拆项法．请用上面的方法完成下列题目：(1)；(2)．巩固训练：36．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：．解：将“”看成整体，令，则原式．再将代入，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：______；(2)因式分解：．37．阅读材料，解决问题：对形如的整式称为完全平方式，我们可以直接运用公式进行因式分解，例如；而对于这样无法直接运用公式进行因式分解的整式，我们可以先适当变形，再运用公式进行因式分解，例如：(1)若是一个完全平方式，则k的值为______．(2)分解因式：．(3)我们还可以仿照上面的方法解决求整式的最大（或最小）值问题，例如：．∵，∴，则当时，整式有最小值，其值为．求当x的值为多少时，整式有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．38．阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．设表示一个三位数，则因为能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．(1)①一个四位数，如果能被9整除，证明能被9整除；②若一个五位数能被9整除，则______；(2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；(3)由数字1至9组成的一个九位数，这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．

第4章因式分解（9类题型突破）题型一判定是否属于因式分解【例题】1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用因式分解的意义分析得出答案．【解析】解：A、，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；B、，右边不是乘积形式，不合题意；C、，从左到右是整式的乘法运算，，不合题意；D、，从左到右是因式分解，符合题意．故选：D．巩固训练：2．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义；运用因式分解的定义进行辨别、求解．【解析】解：A.∵不是表示整式的乘积，∴选项A不符合题意；B.，∴选项B不符合题意；C.不是整式乘积的形式，∴选项C不符合题意；D.，是因式分解，选项D符合题意，故选：D．3．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了因式分解的含义，根据分解因式的概念求解即可．解答本题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式转化为整式乘积的形式．【解析】解A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、的右边不是整式，故B不符合题意；C、，符合因式分解的定义，故C符合题意；D、的右边不是整式的积的形式，故D不符合题意．故选：C．题型二公因式【例题】4．单项式与的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．【解析】解：单项式与的公因式是．故选：C．巩固训练：5．下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键．根据公因式的概念逐一判断选项即可．【解析】A、和的公因式是，不符合题意；B、和，没有公因式，符合题意；

C、和的公因式是，不符合题意；D、和的公因式是5，不符合题意；故选B．6．多项式的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查找公因式，找数字的最大公因式，字母找相同字母最低指数即可得到答案；【解析】解：由题意可得，的公因式是：，故选：B．7．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键．【解析】，则余下的部分是x．故选：C．8．（1）多项式的公因式是；（2）多项式的公因式是；（3）多项式的公因式是；（4）多项式的公因式是．【答案】；；；．【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键．【解析】（）根据公因式的概念可得：公因式是；（）根据公因式的概念可得：公因式是；（）根据公因式的概念可得：公因式是；（）根据公因式的概念可得：公因式是；故答案为：（）；（）；（）；（）题型三提取公因式法分解因式【例题】9．因式分解：(1)．(2)【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了因式分解，掌握和灵活运用分解因式的方法是解决本题的关键．（1）首先进行多项式乘多项式的计算，再合并同类项，最后提取公因式，即可分解因式；（2）首先提取公因式，再化简即可．【解析】（1）解：原式．（2）解：原式巩固训练：10．把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首项系数为负数，需把“-”号提出来；（2）利用提公因式法解答，注意符号的变化．【解析】（1）．（2）．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，找准多项式的公因式是解题的关键．11．将下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）提取公因式因式分解解题即可；（2）提取公因式分解因式即可；（3）把看成整体提取公因式分解因式即可；（4）把看成整体提取公因式分解因式即可．【解析】（1）；（2）；（3））；（4）．【点睛】本题考查提取公因式因式分解，掌握提取公因式的方法是解题的关键．12．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．(1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次；(2)将下列多项式分解因式：；(3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________．【答案】(1)提取公因式法；2(2)(3)2023；【分析】（1）根据题意可知题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次；（2）仿照题意进行提取公因式进行分解因式即可得到答案；（3）根据题意可得规律，提n次公因式，据此求解即可．【解析】（1）解：由题意得，题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次，故答案为：提公因式法；2；（2）解：原式；（3）解：，提1次公因式，提2次公因式，提3次公因式……∴依次类推，，提n次公因式，∴，提2023次公因式，故答案为：2023；．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意掌握提公因式法分解因式是解题的关键．题型四判断是否能用公式法分解因式【例题】．13．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式.是解题的关键利用完全平方公式逐项判断即可解答．【解析】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解；B、，不能用完全平方公式进行因式分解；C、，不能用完全平方公式进行因式分解；D、，能用完全平方公式进行因式分解；故选：D．巩固训练：14．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．【解析】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意．故选：A．15．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（

）①；

②；③；

④；

⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式，属于基本题目，熟知完全平方公式的结构特点是解题的关键．根据完全平方公式逐一判断即可．【解析】解：①，不符合题意；②，不符合题意；③不能用完全平方公式分解，符合题意；④，不符合题意；⑤不能用完全平方公式分解，符合题意．故选：B．16．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）（1）（2）（3）（4）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．【解析】解：，故（1）符合题意；不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；，故（3）符合题意；，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），故选：B17．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平方差公式因式分解逐项验证即可得到答案．【解析】解：A、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；B、，不能用平方差公式进行因式分解，该选项符合题意；C、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；D、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．题型五用公式法分解因式【例题】．18．分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式；（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；（2）先利用多项式乘以多项式的法则展开，再利用完全平方公式进行因式分解．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．巩固训练：19．因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．【解析】（1）解：（2）20．分解因式：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键﹒（1）直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案；（2）直接提负号，再利用公式法分解因式即可﹒【解析】（1）解：原式（2）原式题型六十字相乘法分解因式【例题】．21．如果多项式可分解为，则m，n的值分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算多项式乘多项式，然后再进行计算即可解答．【解析】解：由题意得：，∴，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，先计算多项式乘多项式是解题的关键．巩固训练：22．用十字相乘法分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．23．因式分解：【答案】【分析】根据完全平方公式及十字相乘法可进行因式分解．【解析】解：．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．题型七分组分解法分解因式【例题】．24．因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用分组法变形为后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．（2）利用十字相乘法分解因式即可．（3）变形为后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】本题考查了常见的几种因式分解的方法，有完全平方公式，平方差公式，分组分解法，十字相乘法，熟练掌握以上分解因式的方法是解题的关键．巩固训练：25．【答案】【分析】首先把一二项分为一组、三四五项分为一组，然后再利用公式法和提公因式法分解．【解析】解：原式【点睛】本题考查因式分解，综合利用分组分解、公式法和提公因式法分解是解题关键．26．因式分解：；【答案】【分析】本题租用考查了分解因式，先分组得到，进而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可．【解析】解：．27．因式分解：【答案】【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可．【解析】解：；题型八因式分解的应用【例题】．28．已知，，那么、的大小关系为（

）A． B． C． D．不确定【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，以及积的乘方逆用，根据作差法比较两个数的大小即可．【解析】解：，．故选：B．巩固训练：29．如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽度相等的甬道，其余部分种草，若该场地种草部分的面积为m2，则甬道的宽度是（）A．3m B．6m C．9m D．15m【答案】A【分析】本题考查因式分解的实际应用，将进行因式分解后，即可得出结果．【解析】解：，∴甬道的宽度是3m，故选A．30．已知a，b，c为三边，且满足，则是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定【答案】C【分析】将已知式子因式分解为，则有或，即可判断三角形的形状．本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【解析】，，，，或，或，∴是等腰三角形，故选：C．31．如果能被整除，则（

）．A． B．8 C．7 D．【答案】D【分析】本题考查了因式分解，整式的除法，根据题意设商为，则，整理得，，则，进行计算可得a，b的值，即可得答案，正确求出m的值，掌握因式分解，整式的除法是解题的关键．【解析】解：设商为，则，整理得，，∴解得，则，，∴，故选：D．32．已知，则的值（

）．A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定【答案】B【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式．此题可直接用多项式M减去多项式N，然后化简，最后把得出的结果与零比较确定的正负．【解析】解：∵，∴．故选：B33．已知，，那么的值为.【答案】【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解析】解：，，原式．故答案为：34．已知，则的值为．【答案】/【分析】本题考查了求代数式的的值，因式分解的应用，以及二次根式的性质．把变形为，然后把代入计算即可．【解析】解：∵，∴．故答案为：．题型九材料信息题【例题】．35．观察下面因式分解的过程：上面因式分解过程的第一步把拆成了，这种因式分解的方法称为拆项法．请用上面的方法完成下列题目：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键．（1）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【解析】（1）解：；（2）解：．巩固训练：36．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：．解：将“”看成整体，令，则原式．再将代入，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：______；(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解运用公式法：灵活运用平方差公式、完全平方公式和整体思想是解决问题的关键．（1）把原式看作关于的二次三项式，然后利用完全平方公式分解因式；（2）把原式看作关于的二次三项式，然后利用完全平方公式分解因式．【解析】（1）将“”看成整体，令，则原式．再将代入，得原式；故答案为：；（2）将“”看成整体，令，则原式．再将代入，得原式．37．阅读材料，解决问题：对形如的整式称为完全平方式，我们可以直接运用公式进行因式分解，例如；而对于这样无法直接运用公式进行因式分解的整式，我们可以先适当变形，再运用公式进行因式分解，例如：(1)若是一个完全平方式，则k的值为______．(2)分解因式：．(3)我们还可以仿照上面的方法解决求整式的最大（或最小）值问题，例如：．∵，∴，则当时，整式有最小值，其值为．求当x的值为多少时，整式有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．【答案】(1)(2)(3)当时，整式有最大值，最大值为31【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方式，配方法，公式法分解因式，是解题的关键．（1）由，得，求解即可；（2）将通过配方变形为，再用平方差公式分解因式即可；（3）将通过配方变形为，再根据，得到，即可求解．【解析】（