高考数学重难点题型归纳：第16讲 向量小题原卷版

第16讲向量小题14类

【题型一】向量基础：“绕三角形”（基底拆分）

【典例分析】

我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”,

它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若

BC=a,BA=b,BE=3EF，则8尸=（）

【变式演练】

1.如图，在中，。为8c中点，E在线段A£＞上，且A£=2田，则BE=（）

1-?1?

A.—ACH—ASB.—AC——AB

2—1—2—1一

C.—AC—ABD.-AC+-AB

2.如图，在直角梯形ABC。中，AB=2AD=2DC,E为8C边上一点，BC=3EC，尸为4E的中点,

则8尸=()

B.-AB--AD

33

1-2■

D.——AB+-AD

33

山东省淄博市桓台第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

3.0,E,R为AASC所在平面内三点，且BD=DC，AE=2EC，AF=FD＞则七/=().

1—­1—•1-1—•

A.—AB—ACB.-AB——AC

2623

C.—AB—ACD.—AB——AC

43412

【题型二】系数未知型“绕三角形”

【典例分析】

如图，在中，AN=.NC,尸是BN上的一点，若AP=(〃2+D43+£BC,则实数加的值为

93

【变式演练】

1.如图，正方形ABCO中，M、N分别是BC、CO的中点，若AC=/1AM+〃8N,则丸+4=()

D

868

Ca

3-5-5-

2.在平行四边形A8CO中，点E,尸分别满足=DF=^DC.若3O=/UE+/MF,则实数

的值为（)

1177

A.——B.-C.——D.-

5555

3.如图，/XASC中，AD=DB,AE=EC,CD与BE文丁尸，设AB=a'AC=b,AF=xa+ybf则(4)')

f22112J

33C.52D.

【题型三】求最值型“绕三角形”

【典例分析】

UUVUUDf

在AA3C中，点尸满足3P=3PC，过点尸的直线与A3、AC所在的直线分别交于点M、N,若

AM=AAB^4N=M4C（4>0,4>0）,则％+〃的最小值为（）

【变式演练】

1.已知。是AABC内一点，且OA+O8+OC=0,点M在AOBC内（不含边界），若AM=4A8+〃AC,

则zl+2〃的取值范围是（）

A-B.（1,2）c.f1,lD.（g,l）

2.在AABC中，|AC|=2,|A8|=2,N8AC=12O,AE=；IAB,AF=4AC,M为线段所的中点，若

|AM卜i,则;1+〃的最大值为（）

A.—B.-C.2D.叵

333

3.MBC中，。为AB的中点，点尸在线段CO（不含端点）上,且满足4户=xAB+yAC（x,ywR）,

12

则上+4的最小值为（）

%y

A.3+2&B.2+2&C.6D.8

【题型四】数量积

【典例分析】

已知菱形48co边长为2,点P满足4P=%AB，%£R，若BDCP=-3,则/>.的值为（）

1111

A.-B.---C.—D.--

2233

【变式演练】

1.如图，在等腰直角工的。中，OA=OB=],C为靠近点A的线段A8的四等分点，过C作A8的垂线/,

P为垂线I上任意一点，则。尸■（。4—08）的值是（）

B

A.--B.-C.-2D.2

22

2.在A4BC中，AB=4C,点”在8C上，4BW=BC，N是AM的中点，sinZBAM=LAC=2,

则AMCN=

A.1B.2C.3D.4

3.已知△ABC是边长为3的正三角形，点M是A8的中点，点、N在AC边上,旦AN=2NC,则

BNCM=（）.

A..BB.-3C.一些D.-2

2222

【题型五】数量积最值型

【典例分析】

在AABC中，BCCA=CAAB^|BA+BC|=2,且q«8V方-,则3A•BC的取值范围是（）

【变式演练】

1.已知四边形A58中，ACYBD,AB=BC喈=2,AC=CO=2jL点E在四边形A5CO上运

动，则的最小值是（）

A.3B.-1C.-3D.-4

2.如图，在平行四边形ABCO中，M是BC的中点，且AD=OM,N是线段8。上的动点，过点N作AA/的

垂线，垂足为H,当AM-MN最小时，HC=<）

D

1—3—1—1一

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

4442

1331

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

2442

3.在AA8C中，A=g,AC：BC=2:3,点。为线段A8上一动点，若D4-DC最小值为一:，则AA8C

34

的面积为.

【题型六】向量模

【典例分析】

若向量4=(%,2),b=(-3,y),<?=(-1,-2),且(a-d)­L(〃+c)，则的最小值为.

【变式演练】

1.已知a1是平面上的单位向量，则,-盟+卜+陷的最大值是.

2.已知向量a、b满足口=L1=(2,1),且久右=6(2vO),则〃+4=.

3.设a，b为单位向量，则,+4+卜-34的最大值是

【题型七】投影向量

【典例分析】

已知平面向量q和e；满足13Vl=同=2,则e；在e；方向上的投影的最小值为.

【变式演练】

1.已知点4一1,1)、3(1,2)、C(-2,-1).Z\3,4),则向量AB在CO方向上的投影为)

35/2口3厉「3近3而

---------D.-----------L■------------Un•-------------

2222

2.已知向量〃满足同=2,忖=1,口一2%2则。在。上的投影的取值范围是（）

【题型八】向量技巧1：极化恒等式

【典例分析】

如图，在中，〃是a'的中点，£"是力〃上的两个三等分点，B4.C4=4,BFCF=-1，则8ECE

的值是________.

【变式演练】

1.己知/XABC是边长为2的等边三角形，尸为平面ABC内一点，则PA・（PB+PC）的最小值是（）

34

A-2B.—C.—D.—\

23

2.已知圆C的方程为（％—1）2+（丁-1）2=2,点P在直线＞=/+3上，线段48为圆。的直径，则P4P8

的最小值为

57

A.2B.-C.3D.-

22

3、已知球。的半径为1,A,8是球面上的两点，且=若点P是球面上任意一点，则必・尸8的

31133

取值范围是A.B.C.1叼

2'22'24

【题型九】向量技巧2：等和线

【典例分析】

在ZL4BC中，已知。是A8边上一点，若而=2方，CD=^CA+XCB,则之=

A.--B.--C.-D.-

3333

【变式演练】

1.如图，在40MN中，A、8分别是OM、ON的中点，若方=工而+y而（x,y€R）,且点P落在四边形4BNM

内（含边界），则⑥的取值范围是（）

x+y+2

2.如图，R/AA3C中，尸是斜边8。上一点，且满足：百户=,斤,点M,N在过点尸的直线上，若

2

4M二;14a47=〃47,（4〃>0）,则/1+24的最小值为（）

3.如图，ABAC=y,圆M与AB、AC分别相切于点D、E,4。=1,点P是圆M及其内部任意一点，且

AP=xAD+yAE（x.yG/?）,则％+y的取值范围是（）

A.[1,4+2V3]B.[4-2V3,4+2V3]C.[1,2+网D.[2-V3,2+V3]

【题型十】向量技巧3：奔驰定理与面积

【典例分析】

设。为△A8C所在平面内一点，满足20A—70B—30C=0,则△ABC的面积与AB。。的面积的比值为

812

A.6B.—C.—D.4

37

【变式演练】

1.设4G=；（AB+Ad）,过G作直线,分别交AC（不与端点重合）于P,Q,若AP=；148，

2

4Q="AC,若AE4G与AQAG的面积之比为可，则4=

2.0为三角形内部一点，。、b、c均为大于1的正实数，且满足aOA+bO3+cOC=CB，若

、SAOBC分别表示AOAB、AO4C、\OBC的面积，则SAOAB:SAOAC:SAOBC为（）

A.(c+l):(Z?-l)：6fB.c:b:a

21

3.已知点M是二A6c所在平面内一点，满足AM=：48+，AC,则AABM与MCM的面积之比为（）

【题型十一】解析几何中的向量

【典例分析】

已知点M（l,0）,是椭圆（十丁=1上的动点，且MA・MB=0,则的取值范围是（）

【变式演练】

1.在平面直角坐标系xQy中，设直线y=-x+2与圆/+>2=/（r>0）交于两点，O为坐标原点，若

圆上一点C满足0。=*04+上03,则尸二

44

A.2&D.M

2.如图所示，已知椭圆C：彳+丁=1的左、右焦点分别为入，点M与C的焦点不重合，分别延长

-----2----------2一

M耳，.历6到P,Q,使得叫=一片尸，MF2=-F2Q,。是椭圆C上一点，延长MD到N,若

32

QD=-QM+-QNf则|PN|+|QN|=(

【题型十二】向量四心

【典例分析】

已知0,N,P在AABC所在平面内，且|od=|o@=|oq,N4+N3+NC=(),

PAPB=PBPC=PCPA,则点0,N,P依次是A48C的()

A、重心外心垂心B、重心外心内心C、外心重心垂心D、外心重心内心

【变式演练】

1.已知A48C外接圆的圆心为0,AB=26AC=2V2,A为钝角，M是8C边的中点，则AM•AO=

()

A.3B.4C.5D.6

2.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

------------ARAC

OP=OA+〃=--------+——),2G[0,+OO),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()

|AB\cosBIAC|-cosC

A.重心B.垂心C.外心D.内心

3.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

-=OB+OC+2(AB+),/lG[0+oob则动点p的轨迹一定通过AABC的

2|cosB|AC\-cosC

()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

【题型十三】综合应用

【典例分析】

已知C,。是半径为1的圆。上的动点，线段A3是圆。的直径，则ACBO的取值范围是()

A.[-2,3B.[-2,0]C.[-4,1]D.[-4,0]

【变式演练】

L.已知向量满足网=2，(瓦=60。，且^=—ER)，则『代|53|的最小值为()

A.心B.4C.2GD.@

4

2.设a，b»c为非零不共线向量,若|五-,tc+(1—N|a—c|(tWR),则()

A.(G+S)1(a-c)B.(a+b)1(g+c)

C.(a+c)1(a4-S)D.(a—c)1(S+c)

3.已知平面向量近(k=1,2,…,6)满足：|4|=女(々=1,2,…,6),且西+诟+...+瓦=6,则@*+石)•

(赤+瓦)的最大值是()

A.9B.10C.12D.14

【题型十四】超难小题

【典例分析】

已知向量〃与。的夹角为120。，且人方=-2,向量c满足。=2。+(1-冗)6(0</<1)，且〃.(;=》•(;，记向量

在向量〃与方方向上的投影分别为x、y.现有两个结论：①若4=g,则忖=2忖：②Y+y2+个的最大值为:.

则止确的判断是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【变式演练】

I.已知平面向量的夹角为£,满足卜，+力|=1.平面向量c在方上的投影之和为2,则c-5a-/的最

JzJ

小值是一.

2.已知平面向量a，b，c满足：|4叩=卜+4，卜卜2,一1=2,则帆一c|的最小值是,

3.如图，在边长为2的正方形48co中，M,N分别为边8C,CO上的动点，以MN为边作等边,PMN,使

得点4P位于直线A/N的两侧，则/W.PB的最小值为.

【课后练习】

1.如国所示，在-ABC中，设48=a,AC=b,AP的中点为。，8。的中点为R,CR的中点恰为尸,

则4尸=()

\P

A

^2.4-42-

A.-a+-^B.，万+为C.—a+—bD.-a^-b

22337777

2.如图,四边形ABC。是平行四边形,E是BC的中点，点尸在线段CO上，且b=2Ob,AE与8尸交

2

D.

3

3.如图，直角梯形ABCO中，已知AB//C£>,4AD=90。，AD=AB=2,CD=},动点P在线段BC上

12

运动，且4尸=/??743+〃4)(m,〃61<)»则—।■一的最小值是（）

mn

A.3B.3+2近C.4D.4+2近

4.边长为6的正三角形A8C中，E为8C中点,产在线段AC上且4尸=二产。，若4E与8尸交于M,

2

则M4-M8=()

1527

A.-12B.-9C.D.

2T

5.如图梯形ABC。，AB//CDRAB=5,AD=2DC=4,E在线段8c上，ACBD=U，则AEOE

的最小值为