2019-2020学年江苏省徐州市古邳中学高一数学下学期期中试题

PAGE江苏省徐州市古邳中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题一、选择题（每小题5分，合计50分）1．若直线过点(,－3)和点(,－4),则该直线的方程为（）A．y＝x－4B.y＝x＋4C.y＝x－6D.y＝x＋22.不等式的解集为（）A.B.C.D.3．如果A(3,1)、B(－2,k)、C(8,11)在同一直线上，那么k的值是（）A.－6B.－7C.－8D.－94．下列四个命题中错误的是()A．若直线，b互相平行，则直线，b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面5.在△ABC中，＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（）A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定6．设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∥γ))⇒β∥γ；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,m∥α))⇒m⊥β；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m∥β))⇒α⊥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊂α))⇒m∥α.其中正确的命题是()A．①④ B．②③C．①③ D．②④7.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(2\r(2),3)9．已知b>>0且＋b=1，则有（）A．B．C．D．2＋b2＞b＞＞eq\f(1,2)＞2b10．三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，合计30分）.11．不等式的解集为___▲____.12．若圆锥的母线长是5，高是4，则该圆锥的体积是__▲____.13．过点，在轴上和轴上的截距分别是且满足的直线方程为___▲____.14.若钝角三角形三边长分别是，则三角形的周长为__▲___.15．已知直线:,则恒过定点___▲____.16.在中，若，则的最小值为_▲_.三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．(5分+5分)在直三棱柱中,,为棱上任一点.(1)求证：直线∥平面；(2)求证：平面⊥平面.18.(4分+8分)在锐角中，已知.(1)求的值；(2)若，，求的值.19.(6分+6分)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=DB，点C为圆O上一点，且BC=AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：PA⊥CD；（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．20．(4分+8分)直线过点且斜率为＞，将直线绕点按逆时针方向旋转45°得直线，若直线和分别与轴交于，两点．（1）用表示直线的斜率；（2）当为何值时，的面积最小？并求出面积最小时直线的方程．21．(4分+8分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧eq\o(BC,\s\up4(⌒))组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为eq\f(π,3)．若在半圆弧eq\o(BC,\s\up4(⌒))，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（eq\s\do1(\f(π,3))≤θ＜eq\s\do1(\f(π,2))）．（1）试用θ表示BD的长；（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.22.(6分+6分)已知函数,（1）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；（2）若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值．高一数学期中试卷答案2019.4一选择题:ACDCBCDABC二、填空题:11.12.13.或；14.915.16.三、解答题:17.(1)证明:由直三棱柱,得………………2分………5分(2)因为三棱柱为直三棱柱,所以,又,而,,且,所以……………8分又,所以平面⊥平面…………………10分18.解：（1）因为锐角△ABC中，，所以又A＋B＋C＝，所以.……….4分（2），，即，……….6分将，，代入余弦定理：得：，……….11分即.………..12分19.解析：（1）连接OC，由AD=BD知，点D为AO的中点，又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，∵AC=BC，∴∠CAB=60°，∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．……….2分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，PD∩AO=D，∴CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴PA⊥CD．……….6分（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，∴CE⊥PB，∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角．……….9分设AB=4,则由（1）可知CD=，PD=BD=3，∴PB=3，则DE==，∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，∴cos∠DEC=，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．……….12分20.解：(1)设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，………4分(2)直线的方程为，直线的方程为令，得，∴……….6分∵，∴≥………9分由得舍去，∴当时，的面积最小，最小值为，此时直线的方程是．………12分21.解：（1）连结DC．在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为eq\f(π,3)，所以∠CBA＝eq\f(π,6)，AB＝4，BC＝2eq\r(3)．因为BC为直径，所以∠BDC＝eq\f(π,2)，所以BD＝BCcosθ＝2eq\r(3)cosθ．……….4分（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋eq\f(π,6)，∠BFD＝eq\f(π,3)，BD＝2eq\r(3)cosθ，所以eq\f(DF,sin(θ＋eq\f(π,6)))＝eq\f(BF,sin(eq\f(π,2)－θ))＝eq\f(BD,sin∠BFD)，所以DF＝4cosθsin(eq\f(π,6)＋θ)，且BF＝4coseq\s\up4(2)θ，所以DE＝AF=4－4coseq\s\up4(2)θ，……….6分所以DE＋DF＝4－4coseq\s\up4(2)θ＋4cosθsin(eq\f(π,6)＋θ)=eq\r(3)sin2θ－cos2θ＋3＝2sin(2θ－eq\f(π,6))＋3．………8分因为eq\f(π,3)≤θ＜eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)≤2θ－eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，所以当2θ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,3)时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．………11分答