高考数学一轮复习 132 合情推理与演绎推理 理 苏教版

13.2合情推理与演绎推理

、填空题

1.下列表述正确的是.

①归纳推理是由部分到整体的推理②归纳推理是由一般到一般的推理③演绎推理是由

一般到特殊的推理④类比推理是由特殊到一般的推理⑤类比推理是由特殊到特殊的推

理

解析归纳推理是由个别到一般的推理，故②错.

答案①③⑤

2.已知数列｛乩｝满足a”=logs+1>(〃+2)(〃£N"),定义使8•史・a.....a为整数的数k[k

WN*)叫做幸运数，则衣£[1,2011]内所有的幸运数的和为________.

皿l1g31g4lg51g女+2

解析a・1a........a=-~~-・-~~-•---...................7-[7i-

k1g21g3lg4lgk+1

J；'=log2(〃+2)为整数,所以A=2'一2(，£N*),又在£[1,2Oil],

所以左=2,2^23，…,210,和为2。°-1)=2046.

答案2046

3.观察(/)'=2x,(x)f=4x,(cosx)'=—sinx,由归纳推理可得：若定义在R上

的函数F(x)满足F(-x)=F(x),记g(x)为f(x)的导函数，则

g(—x)=.

解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导

函数应为奇函数，故g(—X)=—g(x).

答案一g(x)

4.在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2,则它们的面积比为1：4,类似地，在空间

中，若两个正四面体的楂长比为1：2,则它们的体积比为.

解析•・•两个正三角形是相似的三角形，，它们的面积之比是相似比的平方.同理，两个正

四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1：8.

答案1：8

5.设等差数列｛4｝的前n项和为Sn,则SQx-S49Si2-58,S16-成等差数歹1类比以上

李成等比数列.

结论有:设等比数列｛"｝的前n项积为7；,则几—,

,12

解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和、差有关，等比数列与积、商有

关,因此当等差数列依次每4项之却仍成等差数列时,类比到等比数列为依次每4项的积成等

比数列.下面证明该结论的正确性：

设等比数列｛"｝的公比为q,首项为3

则4=仇力6,『雨+2++7=邛泮兀=邛产川=Wq”,

；・*=b：q”,*=b：滑,即亭)2=4.却故4,举伞成等比数列.

，4，8,4，8’4，8

法案ZL112.

‘4/8

6.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求

动点轨迹方程的方法，可以求出过点力(-3,4),且法向量为〃=

(1,一2)的直线(点法式)方程为lX(x+3)+(—2)X(y-4)=0,化简得x-2y+ll=0.类

比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点1(1,2,3)且法向量为

刀=(-1,—2,1)的平面(点法式)方程为(请写出化简后的结果)；

解析类比可得一1X(x—1)—2X(厂2)+(z—3)=0,即x+2y—z—2=0.

答案x+2y—z—2=0

7.已知5X5数字方阵

当33wa、

的改’期fl提I.的整数倍，

如"弧中，国尸3不是办整数倍.

a#an&5

353354Q^J

则ga3」+^Qi4=..

产2j=2

54

解析Za?j十方1川=32+@33十a3t十恻)十十a%十即)

7=2

六2

=(-1+1-1~1)+(1-1+1)=-1.

答案T

8.已知揄=g)n,把数列｛aj的各项排成如下的三角形：

ai

S2333-1

或比a?as的

记A(s,t)表示第s行的第t个数，则A(U,12)=-

解析由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1,3,5,7,9,…，可得前10行共有

H

2如=]oo个数,A(11,⑵表示第11行的第12个数，则A(11,12)是数列⑸｝的笫100

+12=112个数，即可得A(ll,12)=4)”2,故应选D.

答案(1)"2

9.观察下列等式：

①cos2a=2cos2。一1；

②cos4a=8cos4a—8cos2a+1；

③cos6a=32cos15a_48cos'a+18cos2—1；

©cos8a=128cossa—256cosba+160cos*a—32cos2a+1；

⑤cos10o=/»coslt，a—1280cos"+l120cos6a+ncosa+pcos2—1.

可以推测m—n+p=.

解析勿=29=512,0=5X10=50.

又卬一1280+1120+〃+〃-1=1,

.*./?=-400.

答案962

10.如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写

在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第

13行，第10个数为.

1234567-

35791113…

812162024…

解析观察数表可知，每行数分别构成公差为2°2詈23,…的等差数列，所以第13行的公

差为212.

又每行第一个数分别为1,3=2+1X2"8=22+2X2,20=23+3X2248=2'+4X2*256=25+

5X2,，…故第13行第一个数为2”+12X2”=7X2。第10个数为7X212+9X2亶=16X2”

=216.

答案2H5(或65536)

11.已知%>0,不等式x+，22,彳十223,X+424,可推广为刀+々2〃+1,则勿的值

xxxx

为.

4xx427xxx27

解析才+W=5+5+二，六1■一^=鼻+鼻+鼻+r,易得其展开后各项之积为定值1,所以可猜

X乙乙XXJJJX

想出----F乙+4,也满足各项乘积为定值1,于是加=〃".

xnnnx

答案n

12.己知结论：“在三边长都相等的△48。中，若〃是回的中点，点G是△48。外接圆的圆

心，则点=2”.若把该结论推广到空间，则有结论：”在六条棱长都相等的四面体ABCD

bu

An

中，若点W是△腼的三边中线交点，0为四面体力腼外接球的球心，则不7=________

解析如图，设四面体力用力的棱长为a,则由汹是△成力的重心，

阳勺幸a,设OA=R,则OB=R,。仁幸a一死

OO

返

于是由#=(乎)+8-4解得q将所以京昌”工

3l4a

答案3

13.将正△47。分割成〃2(〃？2,〃£N")个全等的小正三角形((1),(2)分别给出了〃=2,3的

情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△力a'的三边及平行于某边的任一直线

上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列，若顶点4B,C处的三个数互不相

同且和为1,记所有顶点上的数之和为以力，则有〃2)=2,/(3)=，…，

f(n)=

BCBC

⑴⑵

解析当〃=3时，如图所示4(，)"1,2C(c\分别设各顶点的数用小写字

母表示，即由条件知a+Z?+c=l,汨+彳2=々+。，%+%=6+。，

zi+z2=c+a,M+也+y+%+zi+的=2(a+A+c)=2,

2尸小+_^=^+Z1=M+Z2,6尸汨+型+y+%+zi+z2=2(a+b+c)=2,

即g=\

0

而f(3)=a+ZH-c+x】+>2+yi+%+z】+z2+Ll+2+；=¥，

进一步可求得A4)=5.由上知Al)中有三个数,f(2)中有6个数,1(3)中共有10个数相加,

/'(4)中有15个数相加…，若F(〃-1)中有&个数相加，可得/(〃)中有(&r+〃+l)

个数相加，且由

/(1)=1=1,A2)=|=^=A1)+1,

*3)=学=*2)+\,f⑷=5=f(3)+£,•••

c313

可得

«5

所以/*(〃)=/(/?-1)+^^=/'(〃-2)-

JKJ<5

〃+1/7,n—1,,3।八/、

=-

7J--FJ7H-J7—~I-----FTJ+AD

------!■„+/=!(〃+1)(〃+2)•

OOOOOOD

答案7T・(〃+2)

二、解答题

14.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆

点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.

(1)求第n行实心圆点个数与第n-1,n-2行实心圆点个数的关系.

(2)求第11行的实心圆点的个数.

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

【解题指南】设出第n行实心圆点的个数①，空心圆点的个数整，则它与第n—l行的关系

由题意不难得出，整理可得解.

【解析】（1）设第n行实心圆点有心个，空心圆点有bn个，由树形图的生长规律可得

bn=an-l

AnSn_1+Bn—1

a”=8n—1+bn—I=1+dn

即第n行实心圆点个数等于第n-1行与第n-2行实心圆点个数之和.

（2）由（1）可得数列｛a,.｝为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…，，第11行实心圆点的个数

就是该数列的第11项55.

【方法技巧】解决“生成”数列的方法

解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结

论，另一方面也可以通过第n项与第n-1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点.

15.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：（1）三角形

两边之和大于第三边；（2）三角形的面积S=：X底X高；（3）三角形的中位线平行于第三边

且等于第三边的看……

请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.

解析由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：

（D四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

（2）四面体的体积勺Jx底面积X高；

（3）四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的京

16.如图所示，D,E,F分型是BC,CA,N8上的点，N跖且加/%.求证：ED=AF（要

求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来）.

A

证明（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）

NM9与N4是同位角，且NBFD=NA,（小前提）

所以办'〃£2.（结论）

（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）

DE〃FAQDF，EA,（小前提）

所以四边形47应为平行四边形.（结论）

（3）平行四边形的对边相等，（大前提）

切和"'为平行四边形的对边，（小前提）

所以破=":（结论）

NBFD=4A=DF〃EA\

上面的证明可简略地写成：=四边形力&应是平行四边形n折力汽

DE//FA

17.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那

么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列｛a,｝是等和数列，且向

=2,公和为5,（1）求人的值；（2）求该数列的前〃项和S.

解析（1）由等和数列的定义，数列加才是等和数列，且句=2,公和为5,易知/-=2,

期=3（〃=1,2,…），故ai8=3.

⑵当〃为偶数时，

$=句+/+…+/=（功