2024届高考物理 专题08 抛体运动九大问题（解析版）

专题08抛体运动九大问题

目录

题型一平抛运动的基本规律.....................................................................1

题型二平抛运动的临界、极值问题...............................................................5

题型三斜面上的平抛问题.......................................................................8

类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角................................................8

类型2.顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角......................................13

类型3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角........................16

类型4对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角...................21

题型四有约束条件的平抛运动模型..............................................................24

类型1对着竖直墙壁的平抛运动...........................................................24

类型2半圆内的平抛问题.................................................................26

题型五平抛的多解问题........................................................................31

题型六平抛与圆周的临界问题..................................................................34

题型七斜抛运动的理解和分析..................................................................38

题型人类平抛运动.............................................................................43

题型九抛体运动中的功能与动量................................................................48

题型一平抛运动的基本规律

【解题指导】1.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。

2.研究方法：运动的合成与分解

（1）水平方向：匀速直线运动。

（2）竖直方向：自由落体运动。

水平方向：VX=VQ

（1）速度

竖直方向：Vy=gt

合速度的大小=+屋》

设合速度的方向与水平方向的夹角为仇有

tan0=匕=图

Vxvo

水平方向：x=vot

（2）位移，

竖直方向：

合位移的大小巧=y（vo/）

设合位移的方向与水平方向的夹角为扇有

1史

tana==T-

x2voO

（3）三个重要结论：①合速度方向与水平方向的夹角。和合位移方向与水平方向的夹角a的关系，tan。=

2tana。

②做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即X"

_x

=2°

③速度变化：平抛运动是匀变速曲线运动，故在相等的时间内，速度的变化量（Av=gAf）相等，且必沿竖

直方向，如图所示。任意两时刻的速度与速度的变化量Av构成三角形，Av沿竖直方向。

【例1】（2023春•湖南衡阳•高三校考阶段练习）如图所示，甲、乙两人练习配合传球投篮，两人分别以2m/s、

3m/s的速度同时匀速垂直通过篮球场地中线时，二者相距3m,甲继续匀速奔跑2s后从1.7m的高度将篮球

近似水平抛出，乙在1.5m的高度接住篮球并奔向篮板。不考虑篮球的自转，忽略空气阻力，重力加速度g

取IOm/s2,则篮球被甲抛出瞬间的速度大小约为（）

A.10m/sB.15m/sC.18m/sD.20m/s

【答案】D

【详解】从场地中线开始，甲匀速跑动2s后，甲、乙两人沿垂直场地中线方向的位移差为（3-2）x2m=2m,

甲抛出篮球后，球做平抛运动，乙接到球时，球下落的竖直高度

力=(1.7—1.5)m=0.2m

由

.1

h=Qgl

可得球运动的时间

t—0.2s

在球做平抛运动的0.2s内，乙仍然做匀速运动，此过程篮球的水平位移

x=户+(2+3x02)2m«3.97m

由

可解得篮球被甲抛出瞬间的速度

%=19.85m/s

故选D。

【例2】(2023•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习)从。点以水平速度，抛出一小物体，经过M

点时速度大小为&v，N点为。到M之间轨迹上与直线OM距离最远的点，不计空气阻力，下列说法正确

的是：)

A.小物体经N点时的速度方向与。M不平行

B.小物体从。到N经历的时间为《

C.0、N之间的距离为江

8g

D.曲线ON与MN关于过N点且与OM垂直的直线对称

【答案】B

【详解】A.小物体运动过程中与OM的距离最远，即沿与OM垂直方向的分速度为零，所以此时的速度方

向与OM平行，选项A错误；

B.经过M点时的速度与水平方向的夹角为45。，设OM与水平方向的夹角为a,由几何关系可知

tana=〔tan450

2

所以经N点时的速度竖直分量

v,=vtana=-^

故从。到N的时间为

v

/=一

2g

选项B正确；

C.ON之间的水平位移

x=vt

竖直位移

y=-1st

。、N之间的距离为

B噜

选项c错误；

D.初速度为％末速度为&心所以曲线ON与MN不对称，选项D错误；

故选B。

【例3】.（2022•浙江金华十校4月模拟）图甲是消防车正在机场进行水柱灭火演练的情景，小刘模拟消防水

柱的示意图如图乙所示。水在空中运动，A、B为其运动轨迹上的两点，已知水在A点时的速度大小为丫=6

m/s,速度方向与竖直方向的夹角为45°,它运动到B点时，速度方向与竖直方向的夹角为37°（sin37°=0.6）,

不计空气阻力，重力加速度g取lOm/s?,则（）

甲乙

A.图中A点是水在空中运动过程的最高点

B.水在空中运动过程为变加速曲线运动

C.水在B点时的速度大小为8m/s

D.4、B两点间的高度差为0.7m

【答案】D

【解析】图中A点速度方向不是水平的，则图中A点不是水在空中运动过程的最高点，选项A错误；水

在空中运动过程中，加速度恒定为g,则水在空中运动，为匀加速曲线运动，选项B错误；水在A、6两点

时水平速度相同,则v八sin450=vfisin37c.解得B点时水的速度大小为m=5啦m/s,选项C错误：A、B

廿、,（VBCOS370）2—（wos450）2"一一人

两点间的高度差为力=------------云-------------=0.7m,选项D正确。

【例4】.（2023•广东广州•高三广州市白云中学校考期中）如图，正在平直公路行驶的汽车紧急刹车，位于

车厢前端、离地高度分别为3.2m、〃=2.4m的两件物品，因没有固定而散落到路面，相距由

此估算刹车时的车速最接近（）

A.40km/hB.50km/hC.70km/hD.90kni/h

【答案】A

【详解】汽车紧急刹车后物品做平抛运动，平抛初速度等于汽车碰撞瞬间的行驶速度，设为了。

对于物品A,水平方向上，有

4=叫

竖直方式上，有

h=%

对于物品B,水平方向上，有

/=%

竖直方式上，有

根据题图分析可知

解得汽车的行驶速度

v=9.33m/s=33.6km/h

所以刹车时的车速最接近40km/h

故选A。

题型二平抛运动的临界、极值问题

【解题指导】1.平抛运动的临界问题有两种常见情形：（1）物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小

初速度；（2）物体的速度方向恰好达到某一方向.

2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜

面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题.

【例1】（2023•山东滨州•统考二模）从高H=4m处的点A先后水平抛出两个小球1和2,球1与地面碰撞

一次后，恰好越过位于水平地面上高为力的竖直挡板，然后落在水平地面上的。点，碰前碰后的速度水平

方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在。点，忽略空气阻力。挡板的高度人为（）

A.3.5mB.3mC.2.5mD.2m

【答案】B

【详解】A.设1、2球的初速度分别为耳、v2,从抛出到落到。点运动的时诃分别为《、弓则对两球在水

平方向有

卬2=M

依题意

4=3q

所以

又因两球飞过竖直挡板前的水平位移相同，而速度的水平分量的关系为

匕=3%

故它们飞过挡板前的运动时间满足

，；=训

设球1从第一次落地到飞至挡板顶端所用的时间为h则上述关系可写为

楞+,=3梅…

球1第一次落地时速度的竖直分量为

力=j2gH

到达挡板顶端时速度的竖直分量为

vf=j2g（H-〃）

两者满足

K,W+gi

联立方程并代入数据可得

3

h=-H=3m

4

故选B。

【例2】（多选）（2022•海南省模拟）将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度w水平抛出，所有

台阶的高度和宽度均为1.0m,取g=10m/s2,要使小球抛出后落到第三级台阶匕则w可能为（）

B.3.5m/s

D.2邓m/s

【答案】AB

【解析】小球抛出后越过第二台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速色动，竖直方向做自由落体运

动可矢J〃2=2L=/g&%2=W2>2L；小球抛出后不会越过第三台阶，有饱=3[=如，M=W3W33解得不

m/s<vo<\[\5m/s,故选项A、B正确。

【例3】（2022•广东五校一联）某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示.模型放到0.8m高的水

平桌子上，最高点距离水平地面2m,右端出口水平.现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小

球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（）

A.OB.0.1mC.0.2mD.0.3m

【答案】C

【解析】小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有/Mg（〃一〃）=品/，从右端出口飞出后小球做平

抛运动，有x=w,力=*产，联立解得x=2、（H—h）h,根据数学知识知，当H—力=人时，x最大，即仁1m

时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为m—0.8m=0.2m,故C正确.

【例4】（2023•广东惠州•统考一模）“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈（可视为质点）从距离

开水锅高为人处被水平削离，与锅沿的水平距离为L,锅的半径也为L忽略空气阻力，且小面圈都落入锅

中，重力加速度为g,则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是（）

A.运动的时间都相同

B.速度的变化量不相同

C.落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍

D.若小面圈刚被抛出时初速度为％,则4号<%<3

【答案】AD

【详解】A.所有的小面圈在空中均做平抛运动，竖直方向均为自由落体运动，根据

可知所有的小面圈在空中运动的时间都相同，A正确;

B.所有面圈都只受到重力作用，所以加速度均为g,根据

可知所有面圈在空中运动过程中速度的变化量相同，B错误：

CD.若小面圈刚被抛出时初速度为%,根据水平方向为匀速直线运动，落在锅里的水平距离最小值为L,

最大值为3L有

面圈落入锅中时水平速度最大值为最小值的3倍，但是竖直速度相等，根据速度的合成

可知落入锅中时，最大速度小于最小速度的3倍，C错误，D正确。

故选AD0

题型三斜面上的平抛问题

类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角

(1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图)

处理方法：分解位移.

X=Vot

12

tan

2v（）tan0

可求得f=

g

（2）物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下（如图）

处理方法：分解速度

Vt=Vo，Vy=gt

v（）tan0

【例1X2023•安徽•校联考模拟预测）如图所示，在倾角为30。的斜面上A点以初速度%水平抛出•个小球,

小球恰好落在斜面上的8点，若小球在A点抛出的初速度方向与斜面垂直，结果小球也恰好落在斜面上的B

点，则此时小球抛出的初速度大小为（）

c.%D.75%

【答案】C

【详解】根据题意，由平抛运动规律有

£2

tan30°=^—=-^-

2%

解得

2岛。

则有

2国

3g

设小球与斜面垂直方向以-抛出，则有

2回；

usin30°，］

3g

-vcos30°•%+，gf；=

23g

解得

故选C。

【例2】（2023春•湖南岳阳•高三岳阳一中校联考阶段练习）如图所示，物体在倾角为仇足够长的斜面上做

平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面上的过程，下列说法正确的是（）

A.物体在空中运动的时间与初速度成正比

B.落到斜面上时，速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大

C.抛出点和落点之间的距离与初速度成正比

D.物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比

【答案】A

【详解】A.依题意，初速度不同的小球均落在斜面上，则具有共同的位移偏向角凡根据平抛运动规律有

-gt2

tan”2上

x%，

得

物体在空中运动的时间与初速度成正比，A正确;

B.落到斜面上时，速度与水平方向夹角a满足

tanor————-2tan9

%%

则落到斜面上时速度方向与斜面夹角与初速度无关，B错误;

C.抛出点与落点间距离

抛出点和落点之间的距离与初速度的平方成正比，c错误：

D.当小球在运动过程中速度方向与斜面平行时，小球离斜面的距离最大，把小球初速度及重力加速度分解

在平行斜面与垂直斜面方向上，可得小球离斜面的最大距离为

(%sinO『

则物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度的平方成正比，D错误。

故选A。

【例3】（2023春•浙江•高三校联考阶段练习）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台4处沿水平

方向飞出，在斜面上的8处着陆，斜面与水平方向夹角为30。且足够长，不计空气阻力，下列说法

正确的是（）

A.运动员在空中相同时间内的速度变化相同B.运动员在斜面上的落点到4点的距离与初速度成正比

C.运动员落在8处的速度与水平方向夹角60。D.运动员的质量越大，落点离4越远

【答案】A

【详解】A.运动员在空中只受重力，加速度恒定，单位时间内速度变化相同，A正确；

B.落点到A的距离利用平抛规律

sin30°

2%tan30°

8

2vjsin30°

Sgcos230°

所以运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度的平方成正比，故B错误；

C.速度与水平方向夹角的正切值是2tan30。，C错误；

D.落点与质量无关，D错误。

故选Ao

【例4】・（2023•全国•高三专题练习）近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，目前已有多所冰雪特色

学校，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图所示，现有两名滑雪运动员（均视为质点）从跳台。处先后沿水平方

向向左飞出，其速度大小之比为9：玲=2:1,不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）

上的过程中，下列说法正确的是（）

A.他们飞行时间之比为％：〃=1:2

B.他们飞行的水平位移之比为七：々=2：1

C.他们速度变化之比为△匕：A%=2:1

D.他们在空中离坡面的最大距离之比为耳&=2：1

【答案】C

【详解】A.运动员从跳台〃处水平飞出，设初速度为％,飞行时间为匕斜坡的倾角为。，运动员在空中

做平抛运动，落到斜坡上时则有

tan0=——

x

解得

2vntan0

g

可得他们飞行时间之比为

ti:t2=vi:v2=2}l

A错误；

B.运动员飞行的水平位移为

片tan。

g

他们飞行的水平位移之比为

M：“2=V：：¥=4:1

B错误；

C.两运动员在水平方向的速度不变，在竖直方向的速度变化为

例,=gf

因为他们飞行时间之比为

乙：，2=2：1

则有他们速度变化之比为

△匕:AV2=:g，2=2:1

C正确；

D.运动员在空中离坡面的最大距离为

$=（%sin行

2gcos。

他们在空中离坡面的最大距离之比为

。：G=y：：g=4：1

D错误。

故选C。

类型2,顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角

1.从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面（如图）：

合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角,常用速度关系tan〃=£=?.

2.从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向

分解速度tan0=V=《

【例1】.（2023•四川•模拟预测）如图所示，从。点以初速度vo=6m/s水平抛出一质量机=0.5kg的小球（视

为质点），小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，经过最低点c,最后从d点飞

出圆孤轨道。已知圆弧轨道半径R=L2m,庆段圆弧所对的圆心角a=60。，O为圆心，Od为水平半径，不计

空气阻力，重力加速度g=10m/s20则下列分析错误的是（）

A.”、。两点的高度差为5.4m

B.小球在c点时对圆弧轨道的压力大小为70N

C.小球在d点时对圆弧轨道的压力大小为55N

D.小球从d点离开后还能上升的高度为4sm

【答案】D

【详解】A.小球恰好从竖直放置的光滑圆瓠轨道的8点沿切线进入圆弧轨道，则有

乜=tan60。

%

W=2gh

解得

力=5.4m

故A正确，不符合题意；

B.规定。点为零势能而根据能量守恒可得

mgh+（1—cos60°）R+；m片=g

在c点由牛顿第二定律

，咔=入一，叫

K

解得

/\=70N

故B正确，不符合题意；

C.由牛顿第二定律和机械能守恒定律

5=55N

故C正确，不符合题意;

D.由公式可得

V=2g%

故D错误，符合题意。

故选D。

【例2】（2023春・全国•高三专题练习）如图所示，以速度%=4m/s从。点水平抛出的小球，抵达光滑固定

的斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，已知斜面倾角为37。

（sin37°=0.6,cos370=0.8）,不计空气阻力，取重力加速度为g=lOm/s?。下列说法正确的是（）

Q/

A.0点到P点的竖直距离为0.45m

B.小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大

C.撤去斜面，小球仍从。点以相同速度水平抛出，落地时间将变小

D.撤去斜面，小球仍从。点以相同速度水平抛出，落地速度不变

【答案】AC

【详解】A.由题意可知，小球落到斜面上时速度偏转角为37。，则有

tan37。=国

t=0.3s

又因为

,12

解得

h=0.45m

故A项正确；

B.小球做平抛运动时的加速度为g=10m/s2,小球在斜面上运动时

〃?gsin37°=ma

解得

a=6m/s2<g

故B项错误；

C.由于小球在斜面上的加速度，由之前分析可知为a=6m/s2,则小球在斜面上运动时，在竖直方向的加速

度为

2

ay=asin37°=3.6m/s

由此可知，有斜面时，小球在竖直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，小球的下落时间变

小，故C项正确；

D.根据机械能守恒得

=^mv2

撤去斜面，〃不变，则落地的速率y不变，但是速度方向不同，故D项错误。

故选ACo

类型3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角

对着斜面平抛

垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下（如图）

【例4（2023•全国•二模）一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平速度4从。点抛出小球，小

球正好落入倾角为。的斜面上的洞中，洞=1处于斜面上的P点，0、P的连线正好与斜面垂直；当以水平速

度Z从O点抛出小球时，小球正好与斜面在。点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度为g,下列说法正

确的是（）

R.。点在P点的下方

C.v,>v2

D.小球落在P点所用的时间与落在。点所用的时间之比是手

【答案】AD

【详解】A.以水平速度力从O点抛出小球，正好落入倾角为。的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面,

由几何关系可知

tan0=-1-1=—

所以

gtan。

A正确；

BC.当以水平速度也从O点抛出小球，小球正好与斜面在。点垂直相碰，此时速度与斜面垂直，根据几

何关系可知

tan0=

厚2

即

gtan。

故0。连线与竖直方向的夹角满足

tana=2tan。

而O尸连线与竖直方向夹角为仇所以a〉e,故。点在尸点的上方。由y=：gf2可知，r2<r,,又因为水平

位移再,X，由％=；可知，v2>v,,故B、C错误；

D.落在P点的时间与落在Q点的时间之比是

工=生

t2匕

D正确。

故选AD<,

【例2】（2023秋•河北邢台•高三统考期末）如图所示，小球以初速度%正对倾角为。的斜面水平抛出，小球

刚好垂直碰撞斜面，已知小球做平抛运动的时间为Z,则重力加速度大小为（）

/tang

【答案】C

【详解】小球刚好垂直碰撞斜面时，碰撞速度与水平速度、竖直速度的情况如图所示

tan0=%

%

丑八

in口

%=gi

解得

故C正确。

故选C。

【例3】.（2023春•山西晋城•高三校考阶段练习）如图，飞机距离水平地面的高度为从在水平方向以速度

山匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一箱质量为机的救援物资，救援物资打在山坡上的A点，A点的

高度为小不考虑空气阻力的影响，则（）

A.这箱物资在空中飞行的时间为楞

B.这箱物资落到A点时的动能为小秋“-加

C.A点距山坡底端的水平距离为%

D.山坡的倾角。满足tan。

h

【答案】C

【详解】A.由

H-h=；g户

可得这箱物资在空中飞行的时间为

故A错误;

B.不考虑空气阻力的影响，只有重力做功，所以有

线-h)

可得

耳=mg(H-h)+^mvl

故B错误;

C.A点距山坡底端的水平距离即为物资的水平位移，则有

2(Hf)

故C正确；

D.山坡的倾角。满足

故D错误。

故选Co

【例4】.（2023•江苏盐城•高三盐城中学校考阶段练习）如图在同一竖直平面为将两个完全相同的小球从不

同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和5点（图中未画出），初速度分别为乙和乙,并且以,也，

经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜面上的同一个位置。点，不计空气阻力，则（）

A.A。连线与水平方向的夹角一定和8。连线与水平方向的夹角不相同

B.两个小球落到斜面上时的动能可能相同

C.A。连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同

D.两个小球的运动时间一定不同

【答案】D

【详解】A.两小球垂直落入斜面，速度的偏转角相同，由平抛运动的规律可知，速度偏转角的正切值是位

移偏转角的正切值的两倍，所以A。连线与水平方向的夹角一定和8。连线与水平方向的夹角相同，故A错

误；

BD.当小球落到斜面上时，将小球的速度进行分解，由几何关系可得

tan^=—

4

由平抛运动的规律

Vy=gt

解得

gtan。

由题H可知

所以

小球的末动能

「1212

片=耳山外+/机4

所以

故B错误，D正确;

C.设4。连线与水平方向的夹角为由平抛运动的规律

h

tana=—=--

联立求解可得

tana=--------

2tan夕

故C错误。

故选D,

类型4对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角

在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面

【例11（2023秋•陕西安康•高三统考阶段练习）如图所示，倾角为37。的斜面体A8C固定放置在水平面上,

斜面的高度为力，P点是A点正上方与C点等高的点，让一小球（视为质点）从P点水平向左抛出，落在斜

面的。点，已知P、。两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g,sin37=0.6、cos37=0.8,卜夕小说法止

确的是（）

A.小球在尸点的速度为

3

B.小球从P点到。点的运动时间为-

c.小球在。点的速度大小为叵

5

D.小球在。点的速度与水平方向夹角的正切值为2

【答案】A

【详解】AB.过。点作R4的垂线与办的交点为E，设平抛运动的水平位移为”,即E、。两点之间的距

离为人,如图所示

由几何关系可得

———+xtan37—h

tan37

由平抛运动的规律可得

X=VJ,---=-gt2

°tan372

解得

4、%=得疡^

255

A正确、B错误;

CD.小球在。点沿竖直方向的分速度为

%=gi

小球在。点的速度大小为

%与水平方向夹角的正切值为

tan^=—

%

解得

Jl46g〃*zj8

v=X———,tan®=-

nD1()3

CD错误。

故选Ao

【例2】（2023•广东•高三统考阶段练习）如图所示，在斜面的.上方A点，水平向右以初速度%抛出个小球,

不计空气阻力，若小球击中斜面8点（图中未画出），且A8距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间，

为（）

glan6

D.-r

2股

【详解】若小球击中斜面8点，且48距离恰好取最小值，则A8垂直斜面，此时有

，犷

可得

gtan。

故选C。

【例3】•如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为心时，小球落到一倾

角为8=60。的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则（）

A.小球从抛出到落到斜面的时间为不

B.小球从抛出到落到斜面的时间为嚓2

C.小球的抛出点到斜面的距离为"

D.小球的抛出点到斜面的距离为鬻

【答案】BC

【解析】球平抛的位移最小，则抛出点和落点的连线与斜面垂直，分解位移，如图所示。

设平抛时间为，，结合几何关系知，tan8=9,x=vQt,解得餐笔以故选项A错误，B正确；s

=高=喘5=爵选项C正确，D错误。

题型四有约束条件的平抛运动模型

类型1对着竖直墙壁的平抛运动

如图所示，水平初速度W不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，

【例1】（多选）（2022•石家庄市质检）如图所示，水平放置的网球发球机正对着竖直墙面发射网球，两次发射

的网球分别在墙上留下A、8两点印迹。测得04=440P为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，下

列说法正确的是（）

A.两球发射的初速度%:v«=l:2

B.两球发射的初速度w：V«=A/2:1

C.两球从P点发射到碰到墙面所用的时间tA：tB=\：^/2

D.两球从P点发射到碰到墙面所用的时间tA：tB=\：2

【答案】BC

【解析】设0A=A8=/n忽略空气阻力，则网球做平抛运动，竖直方向上有力=缶仇2h=^gti，整理可

得〃：加=1：啦，选项C正确，D错误；网球在水平方向上做匀速运动，而且水平位移大小相等，则有x

=VAIA=VBIB＞整理可得W:V/?=A/2：1,选项A错误，B正确。

【例2】.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，某同学从。

点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，0与A在同一高度，小球的水平初速度分别为9、匕,

不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是8、C,且48=BC,则匕：均为（）

A.2：1B.72:1C.（a+2）:1D.（72+1）:1

【答案】B

【详解】不计空气阻力，小球在空中做平抛运动，由平抛运动规律

联立得

寸幅

所以

11-但Z

又因为

墟」

4c2

所以

上="

眩1

故选B。

【例3】（2022•云南二模「飞镖”是一项深受人们喜爱的运动。镖靶如图所示，一同学练习投镖，若他每次都

是将飞镖水平投出，飞镖在空中运动可视为平抛运动。某次飞镖打在了靶中心的正上方某处，该同学下次

打靶时做出调整，可能让飞镖打在靶中心的是（）

A.保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离

B.保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，降低飞镖出手点距地高度

C.保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度

D.保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度

【答案】BD

【解析】A.保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离，则运动到靶的时

间变短，竖直位移更短，落点在靶中心的正上方，A错误；

R.保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，则运动到靶的时间不变，竖直位移不变，由于降低飞

镖出手点距地高度，落点可能在靶中心，故B正确

C.保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度，则运动到靶的时间变短，竖直

位移更短，落点在靶中心的正上方，故C错误；

D.保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度，则运动到靶的时间变长，竖直

位移变长，落点可能在靶中心，故D正确：

故选BD

类型2半圆内的平抛问题

从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，

如图所示，位移大小等于半径R

%=Vo/

cwR

y<y=2^

利用位移关系从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R

〃x=R+Rcos0

的圆弧上，如图所示，水平位移x与R

x=vot

的差的平方与竖直位移的平方之和等于y=Rsin0

半径的平方<=家

0R

口

<=R2

【例1】（2023•广东•一模）如图所示，一平台固定在竖直平面内，以平台右边缘。点为原点，沿平台右侧

竖宜向下为），轴正方向，沿水平向右为x轴正方向建立直角坐标系在该坐标系中，以坐标原点。为

圆心，半径为R的四分之一圆弧轨道竖直固定在平台的右侧。质量为m的小球从坐标原点O以初速度四（大

小未知）沿x轴正方向平抛。重力加速度大小为g,不计空气阻力。小球从O点抛出后到落到圆弧轨道上的

过程中，下列说法正确的是（）

A.当初速度％的大小为适当的值时，小球可能垂直落到圆弧轨道上

B.初速度%越大，小球在空中运动的时闾越K

C.初速度%=质嬴时，小球落到圆弧轨道上的动量最小

D.小球落到圆弧轨道上的最小动能为日用小

【答案】D

【详解】A.若小球垂直打在圆轨道上，则速度方向的反向延长线应交于圆心；而于平抛运动的规律可知,

速度方向的反向延长线应交于水平位移的中点，根据题意可知圆心和水平位移的中点不是同一位置，故A

错误；

B.小球做平抛运动，在竖直方向上物体做自由落体运动，有

h=Qgt2

解得

Y

可知/!越大，小球在空中运动时间越长，由图可知小球速度四越小，下落的高度越高，飞行时间越长，故

B错误；

CD.设落地点与。点的连线与水平方向的夹角为仇小球做平抛运动

RcosO=vot

Rain0=—gt2

由动能定理得