2025年春新北师大版数学七年级下册课件 第一章 整式的乘除 3 乘法公式 第4课时 完全平方公式的应用

第4课时

完全平方公式的应用北师版七年级数学下册(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2前面我们学习了完全平方公式：

复习导入口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。

(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404新课探究怎样计算1022，1972更简单呢?

(2)1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=38809你是怎样做的?与同伴进行交流。例6计算：（1）(x+3)2-x2；（2）(a+b+3)(a+b-3)；（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；（4）[(a+b)(a-b)]2。解：（1）(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9；

（2）(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)2-32

=a2+2ab+b2-9例6计算：（1）(x+3)2-x2；（2）(a+b+3)(a+b-3)；（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；（4）[(a+b)(a-b)]2。（4）[(a+b)(a-b)]2=(a2-

b2)2

=a4-2a2b2+b4。（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)=x2+10x+25-(x2-5x+6)=x2+10x+25-x2+5x-6=15x+19利用整式乘法公式计算：(1)962(2)(a-b-3)(a-b+3)解：962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=10000-800+16=9216解：(a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2-32=a2-2ab+b2-9

随堂练习观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。观察·思考…1×12×23×3解:m×m

点阵中的点数:m2；

n×n

点阵中的点数:n2；m×m

点阵、n×n

点阵中的点数之和:m2+n2；(m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。(m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m

点阵、n×n

点阵中的点数之和不一样多。…1×12×23×31.若m+n=3，则代数式2m2+4mn+2n2-6的值为（）A.12

B.3C.4D.0A随堂演练2.若(a+b)2=49，ab=6，则a-b的值为（）A.-5B.±5C.5D.±4B3.已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，则多项式2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac的值为（）A.0

B.2

C.4D.6D4.计算：(1)(2x+y+1)(2x+y-1)解：(2x+y+1)(2x+y-1)=(2x+y)2-12=4x2+4xy+y2-1(2)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)解：(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)=x2-4-(x2-2x-3)=2x-1(3)(ab+1)2-(ab-1)2解：(ab+1)2-(ab-1)2

=a2b2+2ab+1-(a2b2-2ab+1)=a2b2+2ab+1-a2b2+2ab-1=4ab(4)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)解：(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)=4x2-4xy+y2-4(x2+2xy-xy-2y2)=4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2=9y2-8xy5.对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c(a，b，c

是常数)，当它们满足(x+b)2-

(x+a)(x+c)=M

，且M

为常数时，则称a，b，c是一组完美数，M

是该组完美数的完美因子。例如:对于多项式x+1，x+3，x+5，因为(x+3)2-(x+1)(x+5)=4，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子。试问:当a，b，c

之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数?并说明理由。解:当2b-a-c=0时，它们是一组完美数。理由:假设a，b，c

是完美数，则(x+b)2-

(x+a)(x+c)的结果为常数。(x+b)2-

(x+a)(x+c)=x2+2bx+b2-

[x2+(a+c)x+ac]=(2b-a-c)x+b2-ac。因为结果为常数