2025年新高考艺术生数学突破讲义专题23复数经典问题

专题23复数经典问题【考点预测】一.基本概念（1）叫虚数单位，满足，当时，.（2）形如的数叫复数，记作.=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.二.基本性质1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数.（3）.实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.【典型例题】例1．（2024·河北唐山·一模）已知i为虚数单位，复数，则=（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】,所以，，.故选：D例2．（2024·陕西西安·二模）复数，（，是虚数单位）对应的点在第二象限，则（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由，故有，解得.故选：C.例3．（2024·宁夏石嘴山·一模）若复数为纯虚数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为复数为纯虚数，所以且，解得，又，，，，则.故选：A．例4．（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且复数，则下列说法中正确的是（

）.A．复数为实数 B．C．复数为纯虚数 D．【答案】A【解析】，故，故A正确，B、C、D错误.故选：A.例5．（2024·浙江·模拟预测）若复数的实部大于0，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，代入，得，解得：，所以.故选：D.例6．（2024·浙江金华·模拟预测）若复数z满足，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】设，则，则有，即，化简可得，故.故选：D.例7．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知的两共轭虚根为，，且，则．【答案】3【解析】由题设，可令，且，所以，所以.故答案为：3例8．（2024·高三·上海静安·期末）已知，是虚数单位，的虚部为.【答案】【解析】由题，所以的虚部为.故答案为：例9．（2024·高三·广东·专题练习）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数【答案】【解析】由，结合题意，则，解得.故答案为：.例10．（2024·全国·模拟预测）设为实数，且，虚数为方程的一个根，则的值为.【答案】1【解析】由题意可知虚数为方程的一个根，也为方程的一个根，所以，设，则，，所以，故答案为：.例11．（2024·高三·上海·阶段练习）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是.【答案】【解析】因为的解为，设所对应的两点分别为，则，，设的解所对应的两点分别为，，记为,,，当，即时，因为关于轴对称，且，，关于轴对称，显然四点共圆；当，即或时，此时,,，且，故此圆的圆心为，半径，又圆心到的距离，解得，综上：,故答案为：.例12．（2024·天津南开·一模）i是虚数单位，复数，则的虚部为【答案】【解析】.所以复数的虚部为.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（

）A． B． C．3 D．0【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以复数的虚部.故选：A2．（2024·北京·模拟预测）记复数的共轭复数为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.3．（2024·河南新乡·二模）设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，故选：B4．（2024·全国·模拟预测）已知复数（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方法一：，.方法二：.故选：B.5．（2024·高三·江西·阶段练习）复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，将向量绕点逆时针旋转后得到向量，点对应复数为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，设其与实轴正半轴夹角为，则，故可设，设与实轴正半轴夹角为，则，故，故，则，，.故选：C6．（2024·陕西西安·一模）i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，所以.故选：A7．（2024·重庆·模拟预测）已知为虚数单位，复数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，则.故选：D.8．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，在复平面内所对应的点为，在第二象限.故选：B.9．（2024·山东济南·一模）已知复数，满足，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】设则所以，，即，则故选：B.10．（2024·全国·二模）若复数满足，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以，所以的共轭复数，对应的点坐标为位于第四象限.故选：D11．（2024·高三·全国·专题练习）已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则＝（）A．1 B．0 C．1＋i D．1－i【答案】D【解析】解析：若z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，则a＝1，则＝＝＝1－i.12．（2024·福建·模拟预测）若复数z满足，则（）A． B．0 C． D．2【答案】D【解析】因为，所以，则，故选：D.13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设，为复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则且C．若，则D．若，且，则在复平面对应的点在一条直线上【答案】D【解析】设、，、、、，对A：若，则有，即且，故A错误；对B：取、，亦有，故B错误；对C：取，，则有，，故C错误；对D：设，、，若，则有，即有，整理得，由，故与不能同时成立，故在复平面对应的点在直线上，故D正确.故选：D.14．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【解析】，所以,所以的虚部为.故选:B.二、多选题15．（2024·福建漳州·一模）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由题意可得：，则，解得，可得，故BCD正确，A错误.故选：BCD.16．（2024·云南·一模）已知、都是复数，下列正确的是（

）A．若，则B．C．若，则D．【答案】BD【解析】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；对于C：令、，则，，所以，但是，故C错误；设，，所以，则，又，所以，故B正确；，又，所以，故D正确.故选：BD17．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）设，是关于的方程的两根，其中，.若为虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因为，是关于的方程的两根，其中，且，所以，所以，所以，，所以，则，故A错误，B正确，C正确；，故D正确.故选：BCD18．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限C． D．是方程的一个根【答案】BD【解析】因为，所以，则的虚部为，故A错误；由于，则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确；由于，故C错误；方程可化为，方程的根为，故D正确．故选:BD．19．（2024·辽宁大连·一模）设，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由可得，所以，即A正确；可得，即B正确；，，显然错误，即C错误；，而，所以D错误.故选：AB20．（2024·吉林白山·二模）已知为复数，则（

）A．若，则为实数B．C．若，则D．若，则复数在复平面内所对应的点位于坐标轴上【答案】ABD【解析】设，故为实数，故A正确；，故B正确；令，故，但，故C错误；若，则，故，即或，故D正确.故选：ABD21．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知复数，满足，，且，则（

）A． B．C．若，则 D．【答案】ACD【解析】由题意知复数，满足，，且，则，故，即，得，故，D正确；，得，A正确；由于，故，B错误；由以上D的分析可知，若，则，故，C正确；故选：ACD22．（2024·山东枣庄·一模）已知，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】设，则.对于A：若，且，可得，所以，正确；对于B：若，则，即，得或，所以，正确；选项C：令、，则，，所以，但是，错误；选项D：因为，所以，，所以，正确.故选：ABD23．（2024·海南省直辖县级单位·一模）若（为虚数单位），则下列说法正确的为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】对于A，，则，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，所以，故D正确.故选：ACD.24．（2024·广东江门·一模）下列说法正确的是（

）A．，B．C．若，，则的最小值为1D．若是关于x的方程的根，则【答案】ACD【解析】对于A，，设复数，则，，故，A正确；对于B，由于，故，B错误；对于C，，设，由于，则，故，由，得，则，故当时，的最小值为1，C正确；对于D，是关于x的方程的根，故，即，故，D正确，故选：ACD25．（2024·全国·模拟预测）已知复数，则下列命题一定成立的有（

）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】AC【解析】设，则.对于A：，若，则，所以，即，故A一定成立；对于B：，若，则①，，同理，若，则需满足且，与①式不同，故B不一定成立；选项C：，，所以，故C一定成立；选项D：②，，与②式不同，故D不一定成立.故选：AC26．（2024·广东韶关·二模）已知复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若是非零复数，且，则 D．若是非零复数，则【答案】BC【解析】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误；对于B项，设，则，，故而，故B项正确；对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确；对于D项，当时，是非零复数，但，故D项错误.故选：BC.27．（2024·高三·全国·专题练习）（多选）已知复数z1＝2－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2－i|＝1，则下列结论正确的是（）A．点P1的坐标为（2，－2）B．z1＝2＋2iC．|z2－z1|的最大值为＋1D．|z2－z1|的最小值为2【答案】ABC【解析】解析：因为复数z1＝2－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，所以点P1的坐标为（2，－2），故A正确；因为z1＝2－2i，所以z1＝2＋2i，故B正确；设z2＝x＋yi（x，y∈R），在复平面内对应的点为P（x，y），设A（0，1），因为|z2－i|＝1，所以点P（x，y）到点A的距离为1，因此点P（x，y）的轨迹是以A（0，1）为圆心，1为半径的圆，|z2－z1|表示圆A上的点到点P1的距离，因此|z2－z1|max＝AP1＋1＝＋1＝＋1，|z2－z1|min＝AP1－1＝－1＝－1，故C正确，D不正确．故选ABC.【考查意图】复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．28．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有(

)A． B．C．的最小值为 D．的最大值为【答案】BC【解析】设，则，即，它表示以原点为圆心，半径为1的圆；设，则由，得，即，它表示一条直线；对于选项A：，故选项A错误；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度，该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）；故选：BC．29．（2024·贵州毕节·二模）若复数满足，，则（

）A．在复平面内，对应的向量与对应的向量所成角的正切值为2B．在复平面内，对应的点在第四象限C．的虚部为2D．的实部为【答案】CD【解析】设，、，由，即有，即，由，即有，即，即，对A：设对应的向量与对应的向量所成角为，则，即，故A错误；对B：在复平面内，对应的点为，在第二象限，故B错误；对C、D：的虚部为2，实部为，故C、D正确.故选：CD.30．（2024·高三·江西·开学考试）若、为复数，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A选项，取，，则，，所以，，，所以，，所以，，，故，A错；对于B选项，设，，则，，，，则，所以，