2025年新高考艺术生数学突破讲义专题15利用导数解决单调问题

专题15利用导数解决单调问题【考点预测】知识点一：单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．2、已知函数的单调性问题=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；【方法技巧与总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数的定义域；（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.【典例例题】例1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，即的定义域为；，当时，；当时，；的单调递增区间为．故选：A．例2．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为增函数 B．有两个零点C．的最大值为2e D．的图象关于对称【答案】D【解析】A：，令，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；B：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以函数在R上没有零点，故B错误；C：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即函数的最小值为，故C错误；D：，所以函数图象关于直线对称，故D正确.故选：D例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定义域为，且在定义域内单调递增，在上恒成立，即在上恒成立．令，，，即实数的取值范围为．故选：B例4．（2024·高三·北京·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】，，令得：，函数的单调递减区间为，函数在上单调递减，，，又函数在上连续，或，或.故选：C．例5．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的导函数为 B．在上单调递减C．的最小值为 D．的图象在处的切线方程为【答案】C【解析】A：，因此本选项不正确；B：由上可知：，当时，，函数单调递增，因此本选项不正确；C：由上可知：，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确；D：由上可知，因为，所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确，故选：C例6．（2024·高三·河北·期末）设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，在上恒成立，记，则在上恒成立，在上单调递增，所以只需，解得，故选：A．例7．（2024·高二·广西河池·期末）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由.①当时，函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得；综上所述：实数a的取值范围为.故选：B.例8．（2024·高三·甘肃兰州·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，则函数的定义域是，又函数在区间上单调递减，由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：A．例9．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中，讨论的单调性.【解析】函数，定义域是，，时，时，，时，，的减区间是，增区间是；时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是；时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是.综上所述：时，的减区间是，增区间是；时，的增区间是和，减区间是；时，的增区间是，无减区间；时，的增区间是和，减区间是.例10．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，当时，求函数的单调区间.【解析】当时，，该函数的定义域为，，由可得，由可得或，故当时，函数的增区间为和，减区间为.例11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中R.讨论的单调性；【解析】依题意，的定义域为，由，得，①当时，恒成立，所以在单调递增；②当时，令，得，当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增；综上，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.【过关测试】一、单选题1．（2024·高三·山西晋城·开学考试）若在处有极值，则函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，，解得，故，当时，，单减；当时，，单增，故函数的单调递增区间是.故选：A2．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递增区间为.故选：D3．（2024·高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】解析：f′（x）＝2xln2＋1＞0，所以f（x）在R上单调递增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函数的零点个数为1.故选B.4．（2024·高二·河南·阶段练习）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的定义域为，，由，可得，故的单调递减区间为．故选：C．5．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上恒成立，即，所以，则的取值范围是.故选：B.6．（2024·高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，知在区间上恒成立，即在区间上恒成立．因为，所以，所以，所以.故选：C．7．（2024·全国·模拟预测）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数是上的增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，,则，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，所以．故选：C．8．（2024·安徽池州·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（

）A．是奇函数 B．是周期函数C．是的唯一零点 D．在上单调递增【答案】B【解析】对于A中，函数的定义域为，且，所以为奇函数，所以A正确；对于B中，由函数，可得，则为单调递增函数，所以不存在实数，使得，所以函数一定不时周期函数，所以B错误；对于C中，由，得到为单调递增函数，又由，所以函数有唯一的零点，所以C正确；对于D中，由，得到为上单调递增函数，所以D正确.故选：B.9．（2024·高三·全国·专题练习）设函数，则函数（

）A．在区间，内均有一个零点B．在区间，内均无零点C．在区间内有一个零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有一个零点【答案】D【解析】当时，函数图象连续不断，且，所以函数在上单调递减.又所以函数有唯一的零点在区间内.故选：D10．（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在区间上单调递增等价于在区间上大于等于恒成立，即在上恒成立，即，故是的充分不必要条件，故D正确.故选：D.11．（2024·高三·北京通州·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A,,所以在上单调递增，故A错误，对于B，由于，所以在上单调递增，B错误，对于C，，故在上单调递减，C正确，对于D，的图象如下所示：故在单调递减，在单调递增，故D错误，

故选：C二、多选题12．（2024·高三·安徽六安·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】A选项，定义域为，且，故为偶函数，且时，单调递增，故A正确；B选项，的定义域为，故不是偶函数，故B项错误；C选项，时，单调递减，故C项错误；D选项，的定义域为R，且，故是偶函数，且时，，函数单调递增，故D项正确.故选：AD13．（2024·山西晋城·一模）若一个函数在区间上的导数值恒大于0，则该函数在上纯粹递增，若一个函数在区间上的导数值恒小于0，则该函数在上纯粹递减，则（

）A．函数在上纯粹递增B．函数在上纯粹递增C．函数在上纯粹递减D．函数在上纯粹递减【答案】BC【解析】若，则，因为，所以A错误．若，则，当时，恒成立，所以B正确．若，则，所以C正确．若，则在上不恒成立，所以D错误．故选：BC14．（2024·高三·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于A，函数的定义域为R，是增函数，A不对；对于B，函数的定义域为R，是奇函数，并且在上单调递减，B对；对于C，函数的定义域为，是奇函数，并且在上单调递减，C对；对于D，函数的定义域为R，且，是奇函数，对函数求导，当，函数单调递减，即，解得，所以递减区间是.D不对．故选：BC三、填空题15．（2024·高三·全国·专题练习）若函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x在区间(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】由条件知f′(x)＝＋2ax＋(2a＋1)≤0，x∈(1，＋∞)恒成立．所以2a(x＋1)＋＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以2a≤－，所以a≤－.16．（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为．【答案】【解析】因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即时，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，即，所以，故答案为：.17．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围．【答案】【解析】存在，使得可得，构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：.18．（2024·高三·全国·专题练习）下列四个函数：①；②，；③；④．其中，能使恒成立的函数是．【答案】①③【解析】法1：(图象法)分别画出各个函数的大致图象．①函数图象如下图所示：由图象可知该函数是凹函数，符合题意；②，，图象如下图所示：

由图象可知，该函数是先凸后凹，不符合题意；③；函数图象如下图所示：

由图象可知，该函数是凹函数，符合题意；④，函数图象如下图所示：

由图象可知：该函数是凸函数，不符合题意，故答案为：①③法2：利用二阶导数判断．①，所以该函数是凹函数，②，显然当时，，当时，，因此当时，函数先凸后凹，③，是凹函数，④，是凸函数，故答案为：①③.19．（2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为．【答案】【解析】函数的定义域为，，由得或（因为，故舍去），所以在区间上单调递增．故答案为：四、解答题20．（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线为轴．(1)求的值；(2)求的单调区间．【解析】（1）因为，所以，依题意且，所以，解得.（2）由（1）可得函数的定义域为，又，令，则，所以（）在定义域上单调递增，又，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.21．（2024·广东·一模）已知，函数.(1)求的单调区间.(2)讨论方程的根的个数.【解析】（1）因为（）.所以：.由，又函数定义域为，所以函数在和上单调递减，在上单调递增.（2）因为，所以：当时，，方程无解；当，函数在上递减，在递增，所以，所以方程无解.综上可知：方程的根的个数为.22．（2024·江西南昌·一模）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)求的最大值.【解析】（1），令，得，即，所以的单调递减区间为；（2）当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即的最大值为.23．（2024·广东韶关·二模）已知函数在点处的切线平行于轴．(1)求实数；(2)求的单调区间和极值．【解析】（1）由可得：，由题意，，解得；（2）由（1）得，，则，当时，，则在上是减函数；当时，，在上是增函数.故时，函数有极小值为，无极大值.故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值.24．（2024·高三·贵州安顺·期末）已知函数(1)求的单调增区间；(2)方程在有解，求实数m的范围.【解析】（1）的定义域为R，，当时，；时，；故单调增区间为，；（2）由（1）知，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，∵，，，，∴，，故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，∴，∴.25．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.【解析】函数的定义域为，求导得，①当，即时，由，得，由，得，因此在上单调递增，在上单调递减；②当，即时，由，得或，由，得，因此在，上单调递增，在上单调递减；③当，即时，恒成立，因此在上单调递增；④当，即时，由，得或，由，得，因此在，上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．26．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，，证明：函数在上单调递减.【解析】证明：因为，，所以，因为，所以，所以在上单调递减.27．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）已知函数在处的切线方程为.(1)求，的值；(2)证明：在上单调递增.【解析】（1）因为，所以，依题意可得，即，解得，所以.（2）证明：由（1）可得，则，令，，则，所以在上单调递增，又，所以当时，即当时，所以在上单调递增.28．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，∴，由，得，由，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）原条件等价于：在上存在实数解．化为在上存在实数解，令，

则，∴在上，，得，故在上单调递增，∴的最小值为，∴时，不等式在上存在实数解．29．（2024·高二·安徽滁州·开学考试）已知函数在处有极值.(1)求、的值；(2)求出的单调区间，并求极值.【解析】（1）因为，该函数的定义域为，，则，解得，此时，，经检验，，合乎题意.因此，，.（2）因为，该函数的定义域为，，令，可得，列表如下：减极小值增所以，函数的递减区间为，递增区间为，函数的极小值为，无极大值.30．（2024·高三·吉林长春·期末）已知函数．(1)，求函数的最小值；(2)若在上单调递减，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以，令，则有，当时，单调递减，当时，单调递增，因此当时，则