高考数学一轮复习热点难点精讲精析22函数的单调性与最值

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高考一轮复习热点难点精讲精析:

2.2函数的单调性与最值

一、函数单调性的判定

1、用定义证明函数单调性的一般步骤

设元取值♦.作差（0）变形L:「确定符号L>［得出结论〕.

,即：

（1）.取值：即设小、X2是该区间内的任意两个值，且x<X2.

（2）作差：即f（x1-f（X1）（^f（X1）-f（x2））,并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断

差的符号的方向变形。

（3）定号：根据给定的区间和X2-均符号，确定差f,（X2）-£卬）（或£（为）-£（*2））的符号。当符号不

确定时，可以进行分类讨论。

（4）判断：根据定义得出结论。

2、利用导数的基本步骤是：

|求导函数。确定符号|r>|得出结论|

2、求函数的单调性或单调区间的方法

：1）能画出图象的函数，用图象法，其思维流程为：

作图象一|―>|看升降|—）|归纳单调性（区间）

：2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：

N好鼻墙］一1

建I——T梆辟曲——>单调性（区间）

4同增异减I—

：3）能求导的用导数法，其思维流程为：

求导~A―断f'（X）正、负~~►单调性（区间）

14）能作差变形的用定义法.，其思维流程为：

取值f［作差变形］一>国号f［单调性（区间）

注.：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y,=l/x在（-8,0）和（0,+8）

内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域印（-8,0）U（0，+8）内单调递减，只能分开写，即函数的单

调减区间为(一8,0)和(0,+8)，不能用“U”

2.例题解析

1例12(2011•江苏高考)函数f(x)=log5(2x+l)的单调增区间是.

x+2

(2)判断函数y=——在(T,+8)上的单调性.

x+l

【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间.

(1)转化为基本初等函数的单调性去判断；

(2)可用定义法或导数法.

解析：(1)函数f(x)的定义域为(―！，+8),令t=2x+l(t>0),

2

因为y=log5t在(0,+8)上为增函数,t=2x+l在(一;，+8)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+l)

的单调增区间为(一,，+8).

2

答案：(一1>1°°)

2

(2)方法一：定义法：设XI>X2>T,

ridX[+2x+2x,-x.

则…2可

Vxj>X2>-l,X2-xj<0,xj+l>0,X2+l>0,

x+2

即yi-y9<0»yi<y9-y=------在(T,+8)上是减函数.

x+l

方法二：导数法：R=(k|y=(x+"弋+2)―i

X+l(x+l)(X+1)

x+2

二在(T,+8)上，y，<0,故？=——[

X+1

在(-1,+8)上为减函数.

K例23求函数:"Jr-X-6的单调区间

思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方

函数的单调性即可.

解析：设y=Vw，U=X2+X-6.

由—+*-620,得xW-3或x22,

结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在（-8,-3］上是递减的，在［2,+8）上是递增的.

又•・•函数y=4是递增，的，，函数［=,工'+'-6在（_8,-3］上是递减的，在［2,+8）上是递增

的.

//、1】+工

/(x)=loga------

R例33设1-X

（1）试判断函数〃（工）的单调性，并用函数单调性定义，给出证明;

（2）若八%）的反函数为了’CO,证明:对任意的自然数n（n23）,都有'⑻>K；

1♦X

解析,：1）*.T-X>0且2—xXO・・・岭）的定义域为（-LD

判断〃（力在CLD上是增函数，下证明之：..............................1分

设任工卜勺e（-l.ljfixj<...............................2分

x2

W)-%(/)=------y-+崛2^2

•:/-X]4—X]1-X2]一应

一勺FjI%([f)(1+“

./(x】)一方(勺)-Qr)(2F(1+XjXl-Xj)..............................................

IX

..XpX2<X3AX,_X1>0)2-X>0,2-2>0

—^125_>0

贝！Q-々)(2-±)........................................................4分

X］.马€(一口)且X］<X)(1_X］)(l+与)>0且(1+X］)(l-马)>0・

又丁(1_丸)。+电)_(1+XjXl7“=2(勺—X。>0.

：・(1-片)(1+叼)>0+々)(1_X。>0~

.(1-^)(!+^)(l-^CUx,)……

(l+z^G-Xj)”(l+ijClf)

・・・〃(勺)・巩/)>0.则；ra“>力CD-

.，根据电函数的定义可知，11在。♦八_是墙函数.……6分・

“1+x2’■；

叱证明:由y=/(彳)=log2H得：2Z=-------,x=---，

1-x1-x2'+1

•••/“⑸=篙(XW&)・・・・・・

当B3时，/-l(w)>——……9分/

"I7+16+1?+1”+】

用数学归纳法易证2'>%+1("€”•且月23)证略.……12分

二、应用函数的单调性

1.应用函数的单调性可求解的问题

由的大小，可比较与的大小；

(DxpX2f(xpf(x2)

知与的大小关系，可得与的大小关系；

(2)f(xpfix?)X］x2

(3)求解析式中参数的值或取值范围；

(4)求函数的最值；

(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.

2.例题解析

1例1H⑴若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)〈f(m2)的实数m的取值范围是.

(2)已知函数y=f(x)是偶函数，尸f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，试比较f(T),f(0),f(2)的大小.

【方法诠释】(1)根据f(x)的单调性，得到2F与m2的大小关系，从而求解.

(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f.(x)在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图象，进而借助于单调性

或图象比较出函数值的大小.

解析：(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)<f(m2),

则有:2-m<m2,即m2+m-2>0.

解得:m<-2或m>l.

所以m的取值范围为：(-8,一2)u(1,+8).

答案：(-8,-2)U(1,+8)

(2)方法一：因为尸f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而尸f(x)为偶函数,

其图象关于直线x=0对称，

:、函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，

又y=f(x-2)在［0,2］上单调递减，

二函数y=f(x-2)在［2,4］上单调递增,

因此，尸f(x)在［0,2］上单调递增,

Xf(-1)=f(1),0<1<2,/.f(2)>f(-1)>f(0).

方法二：由方法一可得函数y=f(x)在［-2,2］上图象的大致形状为

由图象知f(2)>f(-l)>f(0).

注：1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如l"f(g(x))>f(h(x))”

的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.

2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单

调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.

R例2H已知函数f(x)对于任意a,"R,总有f(a+b)=f(a)+f(b)T,并且当x>0时，f(x)>l.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)V3；

(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f<2恒成立，求实数n的取值范围.

【解析】(1)设X］,X2£R，且X］VX2，则X2-xpO,

/.f(x2-x1)>l,

f(x2)-f(xp=f((X2-x1)+x1)-f(xi)

=flx?-X］)+f(xp-1-f(xp

=f(X2-X|)-1>O,

/.f(xp-f(%2)<0,即f(xpVflx?).

・・・f(x)在R上是增函数.

(2)Vf(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,.*.f(2)=3,

不等式f(3m2-m-2)V3即为

f(3m2-m-2)<f(2).

又在R上是增函数，

/.3m2-m-2<2,解得-lVmV土

3

因此不等式的解集为加|-1<1«<9｝；

3

(3).令a=b=O,得f(0)=2f(0)-1,Af(0)=1.

Vf(nx-2)+f(x-x2)<2,

即f(nx-2)+f(x-x^)-1<1,

/.f(nx-2+x-x2)<f(0).

由(1)知nx-2+x-x2<0恒成立,

Ax2-(n+l)x+2>0恒成立.

:.△=[-(n+1)]2-4X2<0,

.\-2V2-Kn<272-1.

注：判定复合函数的单调性及确定单调区间，关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外,

注意不要忽略函数的定义域.

三、抽象函数的单调性及最值

R例已知f(x)是定义在R上的增函数，对/WR有/'(x)>0,且F(5)=l,设H*)=f(x)+-------

讨论/(x)的单调性，并证明你的结论

解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。

在R上任取汨、照，设为<心，；♦/*(照)=f1x。，

尸(々)-F但)="5)+77^]一"a)+

f(x2)/(西)

=[/U)-/(x,)][l-

2fWf(x2^

•・"(>)是R上的增函数，且/'(10)=1,

••・当x<10时仅而当X>10时〃x)>l；

①若水至<5,则。"(甩)</*&)<[,

②，0<F(汨)/'(刘)<1,

•,*1------------<0,

/Ui)/U2)

：.FUXF(xi)；

②若的>小>5,则F(照)>f(汨)>1,

f(xi)f(x2)

:.FU)>F(题)

综上，F(x)在(-8,5)为减函数，在(5,+8)为增函数

注：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任

意M、照在所给区间内比较£(用)d(小)与0的大小，或f(W/f(*2)与大小。有时根据需要，需作适当的

变形：如为二与二或^=x2+M一工2等。

2

K例23已知函数f(x)对于任意x,y£R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(l)=一一.

3

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

思路分析：用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。

解答：(1)方法一：:函数f(X)对于任意x,y£R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),

令x=y=0,得f(0)=0.再令y=