初升高数学最值垂线段最值 +三边关系最值【学生版】

单一线段最值

目标层级图

一,“垂线段最短问题”

模型(一)模型(-)

例1.如图，AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,P为直线AB上一动点，连

接PC,则线段PC的最小值是

例2.如图，AABC中，AC=3>/2,BC=5,AB=7,有一点P在AC上移动，则AP+BP+CP

的最小值为.

例3.如图，0C平分NA08,点P是0C上一点，PMJ_08于点M,点N是射线0A上的

一个动点若0M=4,OP=5,则PN的最小值为

0VB

2

例4.在锐角三角形ABC中，BC=3>/2,ZABC=45°,BD平分NABC,M、N分别是BD、

BC上的动点，则CM十MN最小值是

过关检测

1.如图，RSABC中，AC=3,AB=5,D为直线AB（与A、B可重合）上一动点，连接

CD,则线段CD的最小值是,线段CD取值范围。

2.如图，在AACB中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最

小值为.

3.如图，在RSA5C中，AB=6,ZBAC=30%N84C的平分线交8c于点O,E,尸分别

是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是,

C

3

其他“垂线段最短问题”

例1.如图，直角三角形A8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,点。是AB上的一个动点,

过点。作DE±AC于七点,DFLBC于F点，连接E凡则线段EF长的最小值为

例2.如图，矩形ABCD中，BC=IO,ZBAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、

N,使BM+MN的值最小，求这个最小值

过关检测

1.如图，在RS4BC中，ZBAC=90°,且BA=3,AC=4,点O是斜边BC上的一个动点，

过点D分别作OM_LA8于点M.OML4C于点N,连接MN,则线段MN的最小值为

2.如图，矩形ABCD中，ZBAC=30\BC=12,若在AB、AC上各取一点N、M,使得

BM+MN的值最小，这个最小值为.

4

3.在已知等腰△ABC,AB=AC,BC=4,BC边上高为3,作内接矩形DEFG,使一边EF在边

BC上，另外两个顶点D,G分别在边AB,AC上，则对角线EG长最小值为

二.三边关系解决最值问题

1.三角形的三边关系:两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.|a・b&工a+b,当A,B,C三点

共线时,c最小值=|a・b|,c最大值=a+b.利用三角形的三边关系可以巧解几何最值问题.

例1.阅读与理解：图1是边长分别为6和2的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C

与C重合）的图形.

旋转aCDE,请你猜想当a为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当a为多少度时，线段

AD的长度最小是多少？

例2.如图，在边长为2的正方形中，?是的中点，F是4）边上的一个动点，将

沿所所在直线折叠得到AGE/L连接GC,则GC长度的最小值是.

5

例3.如图，NMON=90,矩形A8CD的顶点AB分别在边QW,QV上，当B在边ON上

运动时，A随之在OM上运动，矩形45C3的形状保持不变，其中AB=4,BC=2,运动

过程中点D到点。的最大距离是.

过关检测

1.如图(1),已知是等腰直角三角形，NB4C=90。，点。是3c的中点.作正方形

DEFG,使点4、C分别在OG和上，连接AE、BG.

(1)若BC=DE=m,正方形DEFG绕点。逆时针方向旋转角度a(0°<a<360°)过程

中，当AE为最大值时，求A/为值.

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2.如图，△"（：、△EFG均是边长为2的等边三角形，点。是边8C、EF的中点，直线AG、

FC相交于点M.当AEFG绕点。旋转时，线段BM长的最大值是

3.如图，在边长为2的菱形43。中，ZA=60°,M是4力边的中点，N是AB边上一

动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到ZVlMN,连接AC,则4C长度的最小值是

4.如图，NMON=90,边长为2的等边三角形A8C的顶点A8分别在边上当5在

边OV上运动时，A随之在边0M上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C

到点。的最大距离为.

5.如图，AABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，BE_LAD于E,则CE的

最小值为___________

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学习任务

1.如图，矩形ABCD中，N84C=30'，BC=8,若在AB、AC上各取一点N、M,使得BM+MN

的值最小，这个最小值为.

2.如图，AABC中，AC=3>/2,BC=5,AB=7,有一点P在AC上移动，则AP+BP+CP的

最小值为.

3.（2020•成都模拟）如图，矩形ABCD中，AB=3,8c=4,点E是A边上一点，且AE=G,

点尸是边8c上的任意一点，把ME厂沿所翻折，点8的对应点为G,连接AG,CG,

则四边形AGCD的面积的最小值为

4.如图，AABC中，AB=BC=AC=10,D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将AADE

沿DE翻折得到△ADE,连接BA',则BA，的最小值是.

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5.如图E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE二DF,连接CF交BD于G,

连接BE交AG于点H,若正方形的边长为2,则线段DH的最小值是.

6.如图，在△ABC中，ZACB=9C°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点（不与点B重合）,

将4BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B9P,连接B，A,则B，A长度的最小值

是.

7.如图，在矩形A