北京劲松某中学2023-2024学年高三数学理第一次诊断性考试含解析

北京劲松第四中学2023-2024年高二数学理第一次诊断性考

试含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.若样本数据X|,X2，…，Xio的标准差为8,则数据2X]-1,2x2-1,…，2x10-1的标准

差为（）

A.8B.15C.16D.32

参考答案：

C

【考点】极差、方差与标淮差.

【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系

进行求解即可.

【解答】解：•.・样本数据刈，X2,...»XI0的标准差为8,

••.亚:8,即DX=64,

数据2xi-l,2x2-1,…，2xio-1的方差为D（2X-1）=4DX=4x64,

则对应的标准差为的（2X-1）=5/4X64=16,

故选：C.

【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关

键.

+1&0.

■x+yNO,

2.若实数%＞满足卜W0，则z=x+2＞的最小值是

2

A.0B.2C.1D.2

参考答案：

A

3.（"寸的展开式一中一的系数为（）

5

A.10B.5C.2D.1

参考答案：

C

略

4.等差数列｛°J的前n项和Z满足'二/，则其公差d等于（）

A.2B.4C.±2D.±4

参考答案：

A

5.若/,〃?是两条不同的直线，〃?垂直于平面a,则是“〃a”的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

B

【分析】

利用直线与平面垂直的关系，再利用充要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由‘，■是两条不同的直线，W垂直于平面。，则可能或

“ca、、，

反之，则"_Lm，，，

所以V*是两条不同的直线，网垂直于平面。，则Vw“是“〃Q”的必要不充分条件，

故选B.

【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的应用，以及充要条件的判定，其

中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，准确利用充要条件的判定方法是解答

的关键，着重考杳了分析句题和解答问题的能力，属「基础题.

6.定义在R上的函数f(x)既是奇函数，乂是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程

f(x)=0在闭区间［-T,T］上的根的个数记为n,则n可能为()

A.0B.1C.3D.5

参考答案：

D

【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性.

【分析】分别分析(0,T)和(-T,0)函数的根的数量.

【解答】解：因为函数是奇函数，所以在闭区间［-T,T］,一定有f(0)=0,

VT是f(x)的一个正周期，所以f(0+T)=f(0)=0,即f(T)=0,所以f(-T):-f

(T)=0,

・••-T、0、T是f(x)=0的根，若在(0,T)上没有根，则恒有f(x)>0或f(x)<

0：

不妨设f(x)>0,则(-T,0)时，f(x)VO,但又有f(x)=f(x+T)>0,矛

盾.

X工工

・・・f(x)=0在(0,T)上至少还有一个根.由于f(・/)=・f(。)=f(-2),

同理，在(・T,0)上也至少还有一个根，

・••至少有5个根.

故选I)

7,下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量X(吨)与相应的

生产能耗了(吨)的儿组对应数据

Xa456

y2.5t44.5

根据上表提供的数据，求出了关于X的线性回归方程为y=°7X+°35,那么表中Z的值

为()

A.3B.3.15C.

3.5D.4.5

参考答案:

A

略

8.已知数列瓜｝的通项为aEogw(n+2)(nWM),我们把使乘积E?a??a3?…?/为整

数的n叫做“优数”，则在(0,2015］内的所有“优数”的和为()

A.1024B.2012C.2026D.2036

参考答案：

C

【考点】数列递推式.

【专题】等差数列与等比数列.

【分析】由题意可得,a1?a2--a1,=log23?log34---lognH(n+2)

IgWlg4-("2)

=Ii2xIg3x-xlg(n+1)=log2(n+2),若使log?(n+2)为整数，则n+2=2)在

(1,2010］内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求.

【解答】解：Va„=logn-i(n+2)

:.ai?a2,**3,,=1ogj3?1og34,•,1ognu(n+2)

lg3lg4-("2)

=lg2xlg3x—x1g(n+1)

lg(n+2)

=lg2=log2(n+2),

若使log,(n+2)为整数,则n+2=2k

在(1,2015］内的所有整数分别为：2?-2,2"2，…，2,0-2

4(L2与

，所求的数的和为22-2+23-2+…+2”-2=1-2-2X9=2026

故选：C.

【点评】本题以新定义“优数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质

的应用，属于中档试题.

x-4y<-3

,3x+5»<25

9.已知目标函数z=2x+y且变量x,y满足下列条件卜？［，则（）

A.ZE=12,z.in=3B.z„„=12,无最小值

C.无最大值，zrin=3D.无最小值也无最大值

参考答案:

C

10.已知函数的导函数f*）="2+如+（；的图象如图所示，则/3）的图象可能是

D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

II.命题”对任意工£上都有』对”的否定为

参考答案：

存在1>£及，使得W"

全称命题的否定为其对应的特称命题，贝I：

命题“对任意x£R,都有乂：」产的否定为存在'KI使得S"

12.已知抛物线经对点P（4,-2）,则其标准方程是—

参考答案：

x三-8y或y2=x

【考点】K8：抛物线的简单性质.

【分析】根据题意，分析可得抛物线开口向下或向右，分2种情况讨论，求出抛物线的方

程，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，抛物线经过点P(4,-2),则抛物线开口向下或向右，

若抛物线开口向下，设其标准方程为x?=-2py,

将P(4,-2)代入可得(4)2=-2pX(-2),解可得-2p=-8,

则此时抛物线的标准方程为：x?=-8y,

若抛物线开M向右，设其标准方程为y2=2px,

将P(4,-2)代入可得(・2)2=2PX4,解可得2P=1,

则此时抛物线的标准方程为：y2=x,

综合可得：抛物线的标准方程为：x?=-8y或yJx；

故答案为：X、-8y或y2=x.

13.如图所示,正方体ABCD-ABCD的棱长为2,线段BD上有两个动点E,F且EF=2,

则下列结论中正确的有.

(1)AC1AE；

(2)EF〃平面ABCD；

(3)三棱锥A-BEF的体积为定值：

(4)异面直线AE,BF所成的角为定值.

参考答案:

(2)(3)

【考点】棱柱的结构特征.

【分析】由线面垂直证得两线垂直判断(1)；

由线面平行的定义证得线面平行判断(2)；

由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断(3)；

由两个极端位置说明两异而直线所成的角不是定值判断(4).

【解答】解：对于（1）,由题意及图形知，AC1AE,故（1）不正确；

对于（2）,由正方体ABCD-ABCD的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD

无公共点，故有EF〃平面ABCD,故正确；

对于（3）,由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DDBB,故可

得三棱锥A-BEF的体积为定值，故正确；

对于（4）,由图知，当F与&重合时，与当E与5重合时，异面直线AE、BF所成的角不

相等，故不为定值，故错误.

・••正确命题的序号是（2）（3）.

故答案为（2）（3）.

【点评】本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根

据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断.熟练掌握线面平行的判断方

法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，是中档题.

14.已知向量8=(0,-1,1)卜(4,1,0)入且X>0,则

X=_________

参考答案：

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】根据所给的向量坐标写出要求模的向量坐标，用求模长的公式写出关于变量X

的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的限制，把不合题意的结果去掉.

【解答】解：•/5(0,-1,1),b=(4,1,0)：.xa+b=(4,1-x,人)，

/.16+(X-1)2+入2=29(X>0),

:.X=3,

故答案为：3.

15pVteR,smxWl,则命题［P

为________________________________________________

参考答案：

3x,€R.sinx,>1

X=£+3

16.在平面直角坐标系中，直线？的参数方程为-'(参数£WR),圆C的参

x-2cos8

数方程为L=2sme+2(参数8w[0,2%,则圆C的圆心坐标为,圆心到直线，

的距离为—

参考答案：

(0,2)2尤__

17.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果标=(2,-1,-4),AD-

(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论：©AP1AB；②AP_LAI)；③翩是平面ABCI)

的法向量；④/〃近.其中正确的尾

参考答案:

①②③

【考点】Ml：空间向量的概念.

【分析】利用向量垂直与平行的性质能求出结果.

【解答】解：由斌(2,-1,-4),AD-(4,2,0),AF-(-1,2,-1),知：

在①中,AP•AB=-2-2+4=0,.-.,ff±AB,AAP1AB,故①正确;

在②中,AF?AD=-4+4+0=0,AAP1AC,AAP1AD,故②正确；

在③中,由AP_LAB,APIAD,ABPAD=A,知AP是平面ABCD的法向量，故③正确;

在④中,而二标-强=(2,3,4),

‘-1二2九

<2=3X

假设存在X使得而二人玩,则-1=4X,无解,

/.WBD.故④不正确;

综上可得：①②③正确.

故答案为：①②③.

三、解答题，木大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分10分)已知"BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c

2acosC=bcosC+ccosB.

（1）求角C的大小;

(2)若c=币,a2+b2=\0,求A4BC的面积.

参考答案：

解：(1)•••△A4C的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,2acosC=bcosC+ccosIL

2sinAcosC=sinBcosC+siitCcosB,

A+B+C=K,/.2sinAcosC=sin(B+C)-sinA,

12L

cosC=2,ZC=3.(5分)

n

(2)(?=V7,a2+b2=10»,3,

•••由余弦定理得：(r=a2+b2-2abeosC,

即7=10-abi解得ab=3,

117t3J3

「.△ABC的面积s=5absme笈X3XsiyK.QU分)

19.（本小题满分12分）己知点（1,3）是函数/S）=ar（a>°,且4=1）的图象上一

点，等比数列｛&）的前看项和为78）-c,数列的首项为匕，且前刃项和工

满足S*-S»4=A/^（??>2）

（I）求数列SJ和｛瓦｝的通项公式

（ID求数列（久儿♦，前用项和为4

m

参考答案:

⑴・・・/(1)“=:/⑶呜)

为=[7(3)-c]-[/(2)-c]=9

4

a18121

a,=—==-一=--c

出_工33

又数列｛&)成等比数列，27,所以c=l；

利二不

又公比,3,所以3分

•・,S/Sz=（病-闷（区+师卜后+瓦（心2）

又2>°>。，二=1.

数列（图构成一个首相为1公差为1的等差数列，拘=1+卜-9幻=，，之二/

当q2,4=与-$1=/-("1『=2T；

[4=2・l("eAT)；.....................7分

1111

4」+—+♦

（2）物44物斗&]1x33x55x7…(2«-l)x(2«+l)

=；(1-9+氐)9+；t・9♦…+g(击2^-1・2«.+1

二扑£上岛

12分

20.已知S-5+9*13+...+101,分别用“For”语句和“While”语句描述计算S这一问题的算

法过程。

参考答案:

S^(k'

S-皿1-5"

5To101Step“WhileI<=101“

S-S-US-S*

IT4

PrintS“

PrintS/

无

21.设锐角三角形.C的内角4&C的对边分别为a从%a=2ismH.

(I)求B的大小；

(II)求co$4+sinC的取值范围.

参考答案，

sin5=-

(I)由a=»sind,得$in4=2sinBsm4,所以2,

八B」

由A4FC为锐角三角形得6......3分

..(n

cosH+sinC=cos^+smln---J4I：=coSz+sin—+为

(II)16J【6

=coSi4+—cos«^+—$mJ4