福建省南平市吴屯中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析

/福建省南平市吴屯中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项Tk+1=x5﹣kak，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项Tk+1=x5﹣kak，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）A.

B.

C.

D.12参考答案：C3.已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中说法正确的个数为（

）A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：C①若，，则或,不正确；②若，，则或，不正确；③若，，则，正确；④若，，则或或与相交且与不垂直，不正确，故选C.

4.一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：

过点作于点，在中，易知，梯形的面积,扇形的面积，则丹顶鹤生还的概率，故选5.已知椭圆与双曲线有公共焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】结合椭圆和双曲线有公共的焦点可得，再利用恰好将线段三等分，可求得.【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以；双曲线的一条渐近线为，设渐近线与椭圆的交点为C,D,如图，设，代入椭圆可得①因为恰好将线段三等分，所以，即有②联立①②可得，结合可得，故选C.【点睛】本题主要考查圆、椭圆和双曲线的综合，寻求题目中的等量关系是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.6.将正方体（如图（a）所示）截去两个三棱锥，得到图（b）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（

）． A． B． C． D．参考答案：B明显选择．7.如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；等体积法；立体几何．【分析】V=V半球﹣V圆锥，由三视图可得球与圆锥内的长度．【解答】解：球的半径为r，圆锥的半径为r，高为r；V圆锥=?πr3，V半球=×πr3=πr3，∴V=V半球﹣V圆锥=πr3，∴剩余部分与挖去部分的体积之比为1：1，故选：C【点评】本题通过三视图考查几何体体积的运算，关键是掌握体积公式，属于基础题．8.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）．

．

．

．参考答案：D9.设则“且”是“”的（

）A.充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件参考答案：A略10.设函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且，f[f（x）－ex＋x]＝e．若不等式f（x）＋f′（x）≥ax对x∈（0，＋∞）恒成立，则a的取值范围是A．（－∞，e－2]B．（－∞，e－1]C．（－∞，2e－3]D．（－∞，2e－1]参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为(

)A.2

B.

3

C.

5

D.

7参考答案：B12.给出如下四个结论：①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则3a+2b+c等于14；②?a∈R+，使的f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若命题p：?x∈R．ex＞x+1，则￢p为真命题．以上四个结论正确的是

．（把你认为正确的结论都填上）参考答案：③④考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；概率与统计；集合；简易逻辑．分析：对三个关系一一判断，结合集合中元素的性质，计算即可判断①；考虑抛物线和指数函数的图象的交点最多有2个交点，即可判断②；运用类似一次函数的单调性，即可判断③；取x=0，即可判断p假，进而判断④．解答： 解：对于①，已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，若①正确，则c=1，a=2，b=2不成立，若②正确，则b=3，c=1，a=3不成立，若③正确，则a=3，b=1，c=2，即有3a+2b+c=13，则①错误；对于②，?a∈R+，f（x）=﹣a，令f（x）=0则有﹣x2﹣x+1=aex，由于y=﹣x2﹣x+1为开口向下的抛物线，y=aex为下凹的指数函数图象，它们最多有2个交点，则②错误；对于③，设直线回归方程为=3﹣2x，由一次函数的单调性，可得变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位，则③正确；对于④，若x=0，则ex=x+1=1，即有p为假命题，则￢p为真命题，则④正确．故答案为：③④．点评：本题考查集合中元素的性质和函数的零点的个数，同时考查复合命题的真假和线性回归方程的特点，运用函数方程的转化思想和函数的性质是解题的关键．13._________.参考答案：[0，4）略14.若f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），x∈[﹣1，1]，且|f（x）|的最大值为，则4a+3b=．参考答案：﹣

【考点】二次函数的性质．【分析】根据x的范围以及函数的最大值得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值即可．【解答】解：若|f（x）|的最大值为，|f（0）|=|b|≤，﹣≤b≤①，同理﹣≤1+a+b≤②，﹣≤1﹣a+b≤③，②+③得：﹣≤b≤﹣④，由①、④得：b=﹣，当b=﹣时，分别代入②、③得：?a=0，故4a+3b=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查不等式问题，是一道中档题．15.已知，且，则的值为

参考答案：16.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点(1,2)，则

．参考答案：由题意得，所以

17.汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用＝年均成本费用＋年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前年的总维修费满足,已知第一年的总维修费为1000元,前两年的总维修费为3000元,则这种汽车的最佳使用年限为

年.参考答案：10略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知为实数，函数．（1）设，若，使得成立，求实数的取值范围．（2）定义：若函数的图象上存在两点、，设线段的中点为，若在点处的切线与直线平行或重合，则函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”．试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由；参考答案：（1）由，得，记，所以当时，，递减，当时，，递增；所以，，记，，，时，递减；时，递增；，，故实数的取值范围为．………………6分（2）函数的定义域为，，若函数是“中值平衡函数”，则存在使得，即，（※）①当时，（※）对任意的都成立，所以函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；②当时，有，设，则方程在区间上有解，记函数，则，所以函数在区间递增，，所以当时，，即方程在区间上无解，即函数不是“中值平衡函数”；综上所述，当时，函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，不是“中值平衡函数”；………………12分19.在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（1）求证：AC⊥平面FBC；（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．参考答案：考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）证明1：由余弦定理得，所以AC⊥BC，由此能够证明AC⊥平面FBC．证明2：设∠BAC=α，∠ACB=120°﹣α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面FBC．（2）解法1：由（1）结合已知条件推导出AC⊥FC．由平面CDEF为正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．解法2：由题设条件推导出CA，CB，CF两两互相垂直，建立空间直角坐标系利用向量法能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．解答：（1）证明1：因为AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2BC）2+BC2﹣2×2BC?BC?cos60°，即．…（2分）所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．…（3分）因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）证明2：因为∠ABC=60°，设∠BAC=α（0°＜α＜120°），则∠ACB=120°﹣α．在△ABC中，由正弦定理，得．…（1分）因为AB=2BC，所以sin（120°﹣α）=2sinα．整理得，所以α=30°．…（2分）所以AC⊥BC．…（3分）因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）取AB的中点M，连结MD，ME，因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD=MA=AD．所以△MAD是等边三角形，且ME∥BF．…（7分）取AD的中点N，连结MN，NE，则MN⊥AD．…（8分）因为MN?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．因为AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE．…（9分）所以∠MEN为直线BF与平面ADE所成角．…（10分）因为NE?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）因为，，…（12分）在Rt△MNE中，．…（13分）所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…（14分）解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）所以CA，CB，CF两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz．…（7分）因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°所以CB=CD=CF．不妨设BC=1，则B（0，1，0），F（0，0，1），，，，所以，，．…（9分）设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则有即取x=1，得=是平面ADE的一个法向量．…（11分）设直线BF与平面ADE所成的角为θ，则．…（13分）所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．20.已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+1．（Ⅰ）若a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值m（a）；（Ⅱ）记g（x）=f（x）+|x﹣a|，若g（x）在[1，2]上恰有一个零点，求a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质；函数的零点．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）对函数配方得f（x）=（x﹣a）2+1﹣a2，可得对称轴方程为x=a．只需对对称轴a进行分类讨论即可；（Ⅱ）根据问1，对a分类讨论：当a＜1时，由（Ⅰ）知，f（x）≥2﹣2a＞0，得出g（x）＞0，无零点；当a=1时，g（x）=（x﹣1）2+|x﹣1|在[1，2]上恰有一个零点x=1；当1＜a＜2时，去绝对值，利用对称轴得出分段函数单调性，解出；当a≥2时，去绝对值，讨论函数单调性，判断g（x）＜0在[1，2]上恒成立，即此时没有零点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣a）2+1﹣a2，对称轴方程为x=a．

…（1分）（1）当1≤a≤2时，m（a）=f（a）=1﹣a2．

…（3分）（2）当a＜1时，f（x）在区间[1，2]上是单调递增，所以m（a）=f（1）=2﹣2a．

…（5分）综上所述：…（6分）（Ⅱ）（1）当a＜1时，由（Ⅰ）知，f（x）≥2﹣2a＞0，从而g（x）＞0，此时g（x）在[1，2]上没有零点．

…（8分）（2）当a=1时，g（x）=（x﹣1）2+|x﹣1|在[1，2]上恰有一个零点x=1．…（9分）（3）当1＜a＜2时，…（10分）由，知g（x）在上单调递减，在单调递增．又g（1）=1﹣a＜0，所以要使得g（x）在[1，2]上恰有一个零点，只需g（2）=7﹣5a≥0，解得，所以．

…（12分）（4）当a≥2时，g（x）=x2﹣2ax