北京19年高考数学试卷

北京19年高考数学试卷一、选择题

1.已知函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的图像在下列哪个区间内存在零点？

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

2.若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则数列{an^2}的公差是？

A.d^2

B.2ad

C.2d

D.ad

3.已知函数f(x)=(x-1)/(x+1)，则f(x)的图像关于下列哪条直线对称？

A.x=1

B.y=1

C.y=-1

D.x=-1

4.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则sinC的值为？

A.√3/2

B.√2/2

C.√3/4

D.√2/4

5.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则数列{an^2}的首项为？

A.a1^2

B.a1q

C.a1q^2

D.a1q^3

6.已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的图像在下列哪个区间内单调递增？

A.(-∞,0)

B.(0,2)

C.(2,+∞)

D.(-∞,+∞)

7.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为？

A.3/5

B.4/5

C.5/3

D.5/4

8.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)的图像在下列哪个区间内单调递增？

A.(-∞,-1)

B.(-1,1)

C.(1,+∞)

D.(-∞,+∞)

9.若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则Sn的表达式为？

A.Sn=na1+(n(n-1)/2)d

B.Sn=na1-(n(n-1)/2)d

C.Sn=na1+(n^2/2)d

D.Sn=na1-(n^2/2)d

10.已知函数f(x)=(1-x)/(1+x)，则f(x)的图像关于下列哪条直线对称？

A.x=1

B.y=1

C.y=-1

D.x=-1

二、判断题

1.二项式定理中的二项式系数C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。（）

2.函数y=x^2在x=0处取得极值，因此它在该点处有拐点。（）

3.在直角坐标系中，所有抛物线的焦点都在x轴上。（）

4.若两个事件A和B相互独立，则它们的并事件AB也是独立的。（）

5.矩阵的行列式值为0时，矩阵一定是不可逆的。（）

三、填空题

1.函数f(x)=log2(x-1)的定义域为______。

2.等差数列{an}的前n项和公式为______。

3.若sinθ=1/2，且θ在第二象限，则cosθ的值为______。

4.二次方程x^2-5x+6=0的两个根的和为______。

5.矩阵A的行列式|A|=3，矩阵A的伴随矩阵A*的行列式为______。

四、简答题

1.简述函数单调性的定义，并举例说明如何在具体函数中判断其单调性。

2.请解释什么是数学归纳法，并给出一个使用数学归纳法证明数学命题的例子。

3.简要介绍三角函数的基本性质，包括周期性、奇偶性、对称性以及特殊角的三角函数值。

4.请说明什么是向量的线性运算，并举例说明向量的加法、减法和数乘运算。

5.简述解一元二次方程的求根公式，并解释公式中各个字母所代表的意义。

五、计算题

1.已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求f'(x)并找出f(x)的极值点。

2.在直角坐标系中，已知点A(2,3)和B(-4,-1)，求直线AB的方程，并计算AB的长度。

3.解一元二次方程x^2-5x+6=0，并使用求根公式计算其判别式。

4.已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，求前10项的和S10。

5.设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求矩阵A的逆矩阵A^(-1)。

六、案例分析题

1.案例背景：

某公司生产一批产品，根据市场调研，产品销量与广告投入之间存在一定的关系。公司决定通过投入不同额度的广告费用来测试市场反应，并希望找到最优的广告投入策略。

案例要求：

（1）设广告投入为x元，产品销量为y件，根据市场调研数据，建立销量与广告投入的函数模型y=f(x)。

（2）分析函数f(x)的性质，包括定义域、值域、单调性和极值点。

（3）结合实际情况，给出公司应该如何制定广告投入策略的建议。

2.案例背景：

某班级有30名学生，期末考试结束后，需要对这些学生的成绩进行统计分析。已知成绩分布大致呈正态分布，平均分为75分，标准差为10分。

案例要求：

（1）根据正态分布的性质，计算该班级成绩在60分以下和90分以上的学生人数。

（2）分析该班级成绩分布的特点，并给出提高学生整体成绩的建议。

（3）讨论正态分布在实际生活中的应用，以及如何利用正态分布来预测和评估数据。

七、应用题

1.应用题：某商店销售一种商品，根据历史销售数据，商品的日销量可以表示为二次函数y=-0.01x^2+0.3x，其中x为天数（单位：天），y为日销量（单位：件）。假设商品的成本为每件30元，售价为每件40元。

（1）求该商品何时开始盈利，并计算盈利的最低日销量是多少件？

（2）商店计划进行促销活动，预计促销期间每天销量增加10件，求促销期间的平均盈利是多少？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为3米、2米和4米。现要将其切割成若干个相同体积的小长方体，每个小长方体的长宽高比为1:2:3。

（1）计算切割后每个小长方体的体积。

（2）如果要将整个长方体切割成尽可能多的小长方体，至少需要切割多少次？

3.应用题：某工厂生产一批产品，产品质量检测的合格率服从二项分布，其中每次检测合格的概率为0.9，共检测了10次。

（1）计算这批产品中至少有8次合格的概率。

（2）如果该工厂希望合格产品的比例至少为80%，至少需要进行多少次检测？

4.应用题：一家餐厅提供两种饮料，顾客点单时，选择第一种饮料的概率为0.6，选择第二种饮料的概率为0.4。如果顾客选择第一种饮料，点单成功（即得到所点饮料）的概率为0.8；如果选择第二种饮料，点单成功的概率为0.7。

（1）计算顾客点单成功的总概率。

（2）如果顾客点单成功，计算其选择的是第一种饮料的概率。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.A

3.B

4.C

5.A

6.C

7.B

8.B

9.A

10.B

二、判断题答案：

1.×（组合数表示从n个不同元素中取出k个元素的不同组合方式）

2.×（函数在极值点处可能不连续，因此不一定有拐点）

3.×（抛物线的焦点可以在x轴、y轴或原点上）

4.×（两个事件相互独立，并不意味着它们的并事件也是独立的）

5.√（行列式值为0的矩阵是奇异的，不可逆）

三、填空题答案：

1.x>1

2.Sn=n(a1+an)/2

3.-√3/2

4.6

5.3

四、简答题答案：

1.函数的单调性是指函数在其定义域内的增减趋势。如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，则函数f(x)在该区间内是单调递增的；如果f(x1)≥f(x2)，则函数f(x)在该区间内是单调递减的。

2.数学归纳法是一种证明方法，用于证明一个对于所有自然数n都成立的命题。首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

3.三角函数的基本性质包括周期性、奇偶性、对称性和特殊角的三角函数值。周期性指三角函数的值在每隔一定角度后重复；奇偶性指三角函数在x轴的对称性；对称性指三角函数在y轴的对称性；特殊角的三角函数值是指30°、45°、60°等角度的三角函数值。

4.向量的线性运算包括向量的加法、减法和数乘运算。向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量；向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量；数乘运算是将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。

5.一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a、b、c是方程ax^2+bx+c=0的系数。公式中的a代表二次项系数，b代表一次项系数，c代表常数项。

五、计算题答案：

1.f'(x)=6x^2-6x+4，极值点为x=1/3。

2.直线AB的方程为x+2y+2=0，AB的长度为5√2。

3.根的和为5，判别式为-11。

4.S10=4851。

5.A^(-1)=\(\begin{bmatrix}-4&2\\3&-1\end{bmatrix}\)

六、案例分析题答案：

1.（1）盈利开始的天数是第5天，最低日销量是35件。

（2）促销期间的平均盈利是每件2元。

2.（1）每个小长方体的体积是24立方单位。

（2）至少需要切割4次。

3.（1）至少有8次合格的概率为0.6561。

（2）至少需要进行11次检测。

4.（1）顾客点单成功的总概率为0.784。

（2）选择第一种饮料的概率为0.843。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括函数、数列、三角函数、向量、一元二次方程、概率统计等。以下是对各知识点的分类和总结：

1.函数：包括函数的定义、性质、图像、单调性、极值等。

2.数列：包括等差数列、等比数列、数列的求和等。

3.三角函数：包括三角函数的定义、性质、特殊角的三角函数值、三角恒等变换等。

4.向量：包括向量的定义、线性运算、向量与坐标的关系等。

5.一元二次方程：包括一元二次方程的解法、判别式、根与系数的关系等。

6.概率统计：包括概率的定义、计算、事件的独立性、分布律等。

各题型所考察学生的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基本概念和性质的理解，如函数的定义域、三角函数的周期性、向量与坐标的关系等。

2.判断题：考察学生对基本概念和性质的判断能力，如函数的单调性、数列的性质、事件的独立性等。

3.填空题：考