2024高考数学一轮复习专练45空间向量的应用含解析理新人教版

PAGE专练45空间向量的应用命题范围：利用向量解决角和距离问题[基础强化]一、选择题1．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1＝(1,0，－1)，V2＝(－3,0,3)，则l1和l2的位置关系是()A．平行B．相交C．垂直D．不确定2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为()A.eq\f(4\r(85),85)B.eq\f(\r(69),85)C．－eq\f(\r(15),15)D．03．若直线l的一个方向向量a＝(2,2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1,1，－1)，则()A．l⊥αB．l∥αC．l⊂αD．A，C都有可能4．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3,5,4)，则平面ABC的单位法向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(2,3)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，－\f(1,3)))5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－3,5)，n＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交，但不垂直D．以上均不正确6.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝()A．6eq\r(2)B．6C．12D．1447.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与AB1A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(3,5)8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝eq\r(3)，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1CA．30°B．45°C．60°D．90°9．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥面ABCD，若AB＝PA，则平面ADP与平面CDP所成的二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．11．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的面积为________．12．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD[实力提升]13．[2024·长沙一中高三测试]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1A．斜交B．平行C．垂直D．MN在平面BB1C14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1A．30°B．45°C．60°D．90°15．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则α与l所成角的正弦值为________．16.如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，BC＝2eq\r(2)，AB＝2，SA＝SB＝eq\r(3).求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为________．专练45空间向量的应用1．A∵V1＝－eq\f(1,3)V2，∴l1∥l2.2．C∵|a|＝eq\r(22＋－22＋－22)＝2eq\r(3)，|b|＝eq\r(22＋02＋42)＝2eq\r(5)，a·b＝2×2＋(－2)×0＋(－2)×4＝－4，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4,2\r(3)×2\r(5))＝－eq\f(\r(15),15).3．A∵a＝2b，∴a与b共线，∴l⊥α.4．B设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)，由题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋2z＝0，,3x＋5y＋4z＝0，))令x＝1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝\f(1,2)，,y＝－1，))∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))，∴其单位法向量为eq\f(m,|m|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(2,3)，\f(1,3))).5．C∵m与n不共线，且m·n＝－6－3－20≠0，∴α与β相交但不垂直．6．C∵AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，∴AC＝6eq\r(3)，建立如图所示的空间直角坐标系，其中O为AC的中点，则P(0，－3eq\r(3)，6)，C(0，3eq\r(3)，0)∴|PC|＝eq\r(0－02＋3\r(3)＋3\r(3)2＋62)＝12.7．A设BC＝1，则B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0，2,1)eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－2,2,1)eq\o(BC1,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×1＝3.|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝3，∴cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(AB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,\r(5)×3)＝eq\f(\r(5),5).8．A∵AB＝1，AC＝2，BC＝eq\r(3)，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C1(0，eq\r(3)，h)，B1(0,0，h)，B(0,0,0)∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(h,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(h,2))).∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，0))，明显面BB1C1C的法向量为m＝(1,0,0)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))与平面BB1C1C所成角α满意sinα＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DE,\s\up6(→))·m,|\o(DE,\s\up6(→))|·|m|)))＝eq\f(\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0°，90°))，∴α＝30°.9．D建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，明显面ADP的法向量m＝(1,0,0)，设平面CDP的法向量n＝(x，y，z)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，eq\o(CP,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝0，,－x－y＋z＝0，))令y＝1，则z＝1，∴n＝(0,1,1)，m·n＝1×0＋0×1＋0×1＝0，∴m⊥n，∴平面ADP与平面CDP所成的角为90°.10．(5,13，－3)解析：设D(x，y，z)，由题意得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴(x－4，y－1，z－3)＝(1,12，－6)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝13，,z＝－3，))∴D(5,13，－3)．11．7eq\r(3)解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2＋3＋6＝7，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(14)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(14).又cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(7,\r(14)×\r(14))＝eq\f(1,2)，∴sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),2)，∴平行四边形的面积S＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|×|eq\o(AC,\s\up6(→))|×sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝7eq\r(3).12.eq\f(2\r(3),3)解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝2x＋2z＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0.))令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离是d＝eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).13．B建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2a,3)，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，a))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3))).又C1D1⊥平面BB1C1C，所以eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→))，所以MN∥平面BB1C1C.14．C如图所示，以A1为坐标原点，A1B1所在直线为x轴，A1B1为单位长度，A1C1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A1－xyz.则可得A1(0,0,0)，B1(1,0,0，)，C1(0,1,0)，A(0,0,1)，B(1,0,1)．所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(0,1，－1)．则|cos〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(A1B,\s\up6(→))·\o(AC1,\s\up6(→))|,|\o(A1B,\s\up6(→))||AC1|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).所以异面直线BA1与AC1所成角为60°.故选C.15.eq\f(\r(21),6)解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·a,|n||a|)))＝eq\f(|2×1＋1×2＋1×3|,\r(22＋12＋12)·\r(12＋22＋32))＝eq\f(\r(21),6).16.eq\f(\r(22),11)解析：如图所示，作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.由SA＝SB，可得OA＝OB.又由∠ABC＝45°，得△ABO