中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题27 三角形的内切圆（基础）-（解析版）

专题27三角形的内切圆（基础）一．选择题1．如图，在△ABC中，AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，则点O是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．中线交点 D．高线交点【分析】根据三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点即可得结论．【解答】解：∵AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，∴点O是△ABC的内心．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是区分三角形的内切圆与外接圆的定义．2．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O的半径为b+c−a2A． B． C． D．【分析】根据圆切线的性质和相似三角形的性质分别进行判定即可．【解答】解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1），同样得到正方形OECD，AE＝AF，BD＝BF，则a﹣x+b﹣x＝c，∴x=a+b−c故本选项错误；B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），则△BCA∽△OFA，OFBCyay=ab故本选项错误；C、连接OE、OD，∵AC、BC分别切圆O于E、D，∴∠OEC＝∠ODC＝∠C＝90°，∵OE＝OD，∴四边形OECD是正方形，∴OE＝EC＝CD＝OD，设圆O的半径是r，∵OE∥BC，∴∠AOE＝∠B，∵∠AEO＝∠ODB，∴△ODB∽△AEO，OEBDra−r解得：r=ab故本选项错误；D、从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；∵BD＝BF，∴AD＝BD﹣BA＝BF﹣BA＝a+x﹣c；又∵b﹣x＝AE＝AD＝a+x﹣c；所以x=b+c−a故本选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．3．如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB＝9，BC＝8，CA＝10，点D，E分别为AB，AC上的点，且DE与⊙I相切，DE∥BC，则DE的长（）A．3.6 B．8827 C．3 D．【分析】如图，⊙I与AB、AC、DE的切点为M、N、G，设DG＝DM＝x，EG＝EN＝y．首先求出AM、AN的长，由DE∥BC，得到ADAB【解答】解：如图，⊙I与AB、AC、DE的切点为M、N、G，设DG＝DM＝x，EG＝EN＝y．∵AM＝AN=AB+AC−BC∴AD=112−x，AE∵DE∥BC，∴ADAB∴112解得x=116，y∴DE＝x+y=11故选：B．【点评】本题考查三角形内切圆与内心，切线长定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．4．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC=247，则sin∠A．56 B．45 C．35【分析】延长AI交BC于D，连接OI，作BH⊥AC于H，如图，根据内心的性质得∠OBI＝∠DBI，则可证明OI∥BD，再根据切线的性质得OI⊥AI，则BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC为等腰三角形，得到AB＝AC，接着在Rt△ABH中，利用正切的定义得到tan∠BAH=BHAH=247，于是可设BH＝24x，AH＝7x，利用勾股定理得到AB＝25x，则AC＝AB＝25x，CH＝AC﹣AH＝18x，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理计算出BC【解答】解：延长AI交BC于D，连接OI，作BH⊥AC于H，如图，∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，即∠OBI＝∠DBI，∵OB＝OI，∴∠OBI＝∠OIB，∴∠DBI＝∠OIB，∴OI∥BD，∵AI为⊙O的切线，∴OI⊥AI，∴BD⊥AD，∵AI平分∠BAC，∴△ABC为等腰三角形，∴AB＝AC，在Rt△ABH中，tan∠BAH=BH设BH＝24x，AH＝7x，∴AB=BH2∴AC＝AB＝25x，∴CH＝AC﹣AH＝25x﹣7x＝18x，在Rt△BCH中，BC=CH2∴sinC=BH故选：B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等腰三角形的判定与性质．5．如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM＝KQ＝FN，根据勾股定理求出OM＝ON＝OQ，根据三角形内心的定义求出即可．【解答】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，由垂径定理得：DM=12DE，KQ=12KH，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN，∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，即O到三角形ABC三边的距离相等，∴O是△ABC的内心，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的内心的应用，注意：三角形的内心到三角形三边的距离相等．6．三角形的内心是（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点【分析】根据三角形的内心的性质解答即可．【解答】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质．7．如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC，若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为（）A．174° B．176° C．178° D．180°【分析】先利用三角形内角和得到∠BAC＝80°，再根据三角形内心性质得到∠ABI＝∠DBI＝22°，∠BAI＝40°，则可计算出∠AIB＝118°，∠BID＝68°，然后根据周角的定义计算∠AID的度数．【解答】解：∵∠ABC＝44°，∠C＝56°，∴∠BAC＝180°﹣44°﹣56°＝80°，∵点I为△ABC的内心，∴∠ABI＝∠DBI=12∠ABC＝22°，∠BAI=12∠∴∠AIB＝180°﹣22°﹣40°＝118°，∵ID⊥BC，∴∠BID＝90°﹣22°＝68°，∴∠AID＝360°﹣118°﹣68°＝174°．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．8．如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知AD＝6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝6cm，设F是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AD+AE＝6+6＝12（cm）．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的内切圆、切线长定理；由切线长定理得出AM+AN+MN＝AD+AE是解题关键．9．如图，正△ABC的三边上有三点D，E，F，且AD＝BE＝CF，设AB＝x，DE＝y，△ADF的内切圆的半径为3，则关于x的函数关系式为（）A．y＝x﹣6 B．y=32x C．y＝x﹣3 【分析】首先证明△DEF是等边三角形，由S△ADF＝S△BDE＝S△EFC=12（AD+AF+DF）•3=12（x+y）•3，根据S△ABC﹣S△EDF＝3•S△ADF，可得34x2−34y2＝3•12【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF∴AF＝BD＝CE，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是一个等边三角形，∵S△ADF＝S△BDE＝S△EFC=12（AD+AF+DF）•3=12（x+∵S△ABC﹣S△EDF＝3•S△ADF，∴34x2−34y2＝3•12•（x+y∴（x2﹣y2）＝6（x+y），∴（x+y）（x﹣y）＝6（x+y），∵x+y≠0，∴x﹣y＝6，∴y＝x﹣6．故选：A．【点评】题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定及三角形面积公式，根据已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解题关键，解题的突破点是记住S△ABC=12（a+b+c）•r（r是△10．如图，Rt△ABC顶点A，B分别在y轴，x轴上，∠ABC＝90°，且AB＝20，AC＝105．将△ABC沿AC折叠，B点落在D处，∠BAD+∠CBX＝90°，则△AOB的内心的坐标是（）A．（4，4） B．（4.5，4.5） C．（6，6） D．（6，8）【分析】延长DC交x轴于E点，如图，先利用勾股定理计算出BC＝10和证明AD∥OE，再根据折叠的性质得∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝20，接着判断四边形AOED为矩形，然后判断△AOB∽△BEC，利用相似比得到OABE=OBCE=ABBC=2，设OB＝t，则CE=12t，BE＝20﹣t，在Rt△CBE中利用勾股定理得到（20﹣t）2+（12t）2＝102【解答】解：延长DC交x轴于E点，如图，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，BC=A而∠BAD+∠CBE＝90°，∴∠BAD＝∠ABO，∴AD∥OE，∵△ABC沿AC折叠，B点落在D处，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝20，∴∠BEC＝90°，∴四边形AOED为矩形，∴OE＝AD＝20，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠BAO＝∠CBE，而∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴OABE设OB＝t，则CE=12t，BE＝20﹣在Rt△CBE中，（20﹣t）2+（12t）2＝102整理得t2﹣32t+240＝0，解得t1＝12，t2＝20（舍去），∴OB＝12，∴OA=A设△AOB的内切圆的半径为r，则r=12+16−20∴△AOB的内心的坐标为（4，4）．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理、折叠的性质和相似三角形的判定与性质．11．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（）A．35° B．55° C．70° D．125°【分析】根据三角形的内切圆与圆心和圆周角定理即可求解．【解答】解：连接OD，OF，OA，如下图所示，∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∵∠DEF＝55°，∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110°（圆心角是圆周角的2倍），∵在三角形AOD与三角形AOF中，∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360°，∵AD，AF是圆的切线，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，故选：C．【点评】本题考查了三角形的内切圆与圆心和圆周角定理，解题关键根据圆周角求出圆心角∠DOF即可得出答案．12．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（）A．64° B．120° C．122° D．128°【分析】根据圆周角定理可求∠CAD＝32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC＝64°，∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．二．填空题13．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b，则△AEF的内切圆半径为a−b2【分析】根据正方形的性质可以证明△AEF≌△BFG，得AE＝BF，再根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和减去斜边的差的一半进行计算．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°，EF＝FG，∴∠AFE＝∠BGF，∴△AEF≌△BFG（AAS），∴AE＝BF，∴AE+AF＝AB＝a，∴△AEF的内切圆半径a−b2故答案为a−b【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形内切圆的半径公式：直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．14．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝130°（填度数）．【分析】运用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再根据点O是△ABC的内切圆的圆心，得出∠OBC+∠OCB＝50°，从而得出答案．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝50°，∴∠BOC＝130°．故答案为：130°．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．15．等腰△ABC中，∠A＝60°，其面积为7+4327，它的内切圆面积为73【分析】根据有一个角等于60°的三角形是等腰三角形，得到△ABC是等边三角形，设它的内切圆的半径为r，求出三角形的边长和高代入三角形的面积公式解得r2=7+43813【解答】解：∵△ABC是等腰三角形．∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，设它的内切圆的半径为r，∴BC＝23r，高＝3r，∴S△ABC=12×23r•3解得：r2=7+4∴内切圆面积为：7+43813π故答案为：73+12【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的面积，圆的面积，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题的关键．16．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，则∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°．【分析】利用切线的性质得出∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，进而利用四边形内角和定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，又∵∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，∴∠B＝360°﹣120﹣90°﹣90°＝60°，∠C＝360°﹣110°﹣90°﹣90°＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°．故答案为：50°，60°，70°．【点评】此题主要考查了切线的性质以及四边形内角和定理以及三角形内角和定理，熟练应用切线的性质定理是解题关键．17．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三边都与圆O相切，则圆O的半径r＝2．【分析】设⊙O半径是r，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式得出S△ACB＝S△OAC+S△OBC+S△OAB，代入求出即可．【解答】解：设⊙O半径是r，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O为△ABC的内切圆，切点是D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥CB，OF⊥AC，OD＝OE＝OF＝r，∵AC＝6，BC＝8，由勾股定理得：AB＝10，根据三角形的面积公式得：S△ACB＝S△OAC+S△OBC+S△OAB，∴AC×BC＝AC×r+BC×r+AB×r，即：6×8＝6r+8r+10r，∴r＝2．故⊙O半径是2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了切线的性质，三角形的内切圆与内心，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能得出S△ACB＝S△OAC+S△OBC+S△OAB是解此题的关键．18．如图，⊙O内切于△ABC，切点依次为D、E、F，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，那么AD＝3，BE＝2，CF＝5．【分析】根据切线长定理求出AD＝AF，FC＝EC，BD＝BE，设AD＝x，进而用x表示出BC的长，即可求出答案．【解答】解：∵⊙O内切于△ABC，切点依次为D、E、F，AB＝5，BC＝7，AC＝8，∴AD＝AF，FC＝EC，BD＝BE，设AD＝x，则AF＝x，∴FC＝8﹣x，BE＝BD＝AB﹣AD＝5﹣x，∴EC+BE＝8﹣x+5﹣x＝BC＝7，解得：x＝3，∴FC＝8﹣3＝5，BE＝BD＝5﹣3＝2，故答案为：3，2，5．【点评】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．19．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D、E、F，若∠A＝50°，则∠DEF＝65°．【分析】连OD，OF．则得到∠DOF与∠DEF的数量关系．而∠DOF与∠A是互补的，因此先求出∠DOF，再就能得到角DEF．【解答】解：连OD，OF，如图，则OD⊥AB，OF⊥AC；∴∠DOF＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，又∵∠DEF=12∠DOF=12×故填65°．【点评】熟练掌握切线的性质定理和圆周角定理．记住四边形的内角和为360°．20．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠A＝48°，∠BOC＝114°．【分析】利用内心的定义，OB，OC都是角平分线，因此可求出∠OBC与∠OCB的和，从而得到∠BOC的度数．【解答】解：∵O是△ABC的内心，∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣48∴∠BOC＝180°﹣66°＝114°．故答案为：114．【点评】此题主要考查了三角形的内心性质，理解三角形内心的定义，记住三角形内角和定理是解题的关键．21．如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，若∠B＝50°，则∠EDF＝65度．【分析】设△ABC的内切圆圆心为O，连接OE，OF，根据△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，可得OE⊥AB，OF⊥BC，再根据四边形内角和可得∠EOF的度数，再根据圆周角定理即可得结论．【解答】解：如图，设△ABC的内切圆圆心为O，连接OE，OF，∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠OFB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠EOF＝180°﹣50°＝130°，∴∠EDF=12∠EOF故答案为：65．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心．22．如图，△ABC的周长为24cm，AC＝8cm，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，则△BMN的周长为8cm．【分析】设⊙O与△ABC与各边的切点分别为D、E、F，⊙O与MN相切于G点，如图，利用切线长定理得到AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，MD＝MG，NG＝NE，则可计算出AD+CE＝8，接着利用AB+BC＝16得到BD+BE＝8，然后利用等线段代换得到△BMN的周长＝BD+BE．【解答】解：设⊙O与△ABC与各边的切点分别为D、E、F，⊙O与MN相切于G点，如图，∴AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，∵AC＝8，即AF+CF＝8，∴AD+CE＝8，∵△ABC的周长为24，∴AB+BC+AC＝24，∴AB+BC＝16，即BD+AD+BE+CE＝16，∴BD+BE＝8，∵⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，∴MD＝MG，NG＝NE，∴△BMN的周长＝BM+BN+MN＝BM+BN+MG+NG＝BM+BN+MD+NE＝BD+BE＝8（cm）．故答案为8．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．23．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是60°．【分析】连接OE、OF，如图，根据三角形内切圆的定义和切线的性质得到OE⊥AB，OF⊥BC，则利用四边形的内角和得到∠B+∠EOF＝180°，则可求出∠EOF＝120°，然后根据圆周角定理得到∠EPF的度数．【解答】解：连接OE、OF，如图，∵⊙O是等边△ABC的内切圆，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，∴∠B+∠EOF＝180°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，∴∠EPF=12∠EOF＝60故答案为60°．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线的性质、等边三角形的性质和圆周角定理．三．解答题24．如图，△ABC中，AC＝BC，I为△ABC的内心，⊙O经过B，I两点，且O在BC边上，⊙O与BC交于点D．（1）求证：CI为⊙O的切线；（2）若tan∠CBI=13，AB＝6，求【分析】（1）连接CI延长CI交AB于H，连接OI，作OE⊥BI于E．只要证明CH⊥AB，OI∥AB，即可推出OI⊥CI；（2）想办法求出BE，OE即可解决问题；【解答】（1）证明：连接CI延长CI交AB于H，连接OI，作OE⊥BI于E．∵I是内心，∴∠IBH＝∠IBO，∵OB＝OI，∴∠OBI＝∠OIB，∴∠IBH＝∠OIB，∴OI∥AB，∵CA＝CB，∠HCA＝∠HCB，∴CH⊥AB，∴CH⊥OI∴IC是⊙O的切线．（2）∵tan∠CBI＝tan∠IBH=1∴IHBH=13，∵∴IH＝1，IB=1∵OE⊥BI，∴BE=10∵tan∠OBE=OE∴OE=10∴OB=B∵OI∥BH，∴OIBH∴53∴OC=25∴BC＝OB+OC=15【点评】本题考查三角形的内心与内切圆、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练应用内心的性质解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．25．如图1，⊙O为△ABC的外接圆，点D在圆上，AD为△ABC中∠CAB的外角平分线．（1）如图1，证明：DB＝DC；（2）如图2，延长DA交BC的延长线于M点，△CDM的内心P在AC上，若tan∠M=34，求tan∠【分析】（1）如图1中，只要证明∠DBC＝∠3即可解决问题；（2）如图2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，连接PD、PM、PC、PA．首先证明MA＝MC，作AH⊥CM于H，由tan∠AMC=34=AHHM，设AH＝3k，HM＝4k，则AM＝CM＝5k，CF＝k，推出tan∠ACH=AHCH=3kk=3，由∠CAM＝∠【解答】（1）证明：如图1中，∵∠2+∠DAC＝180°，∠DBC+∠DAC＝180°，∴∠2＝∠DBC，∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，∴∠DBC＝∠3，∴DB＝DC．（2）解：如图2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，连接PD、PM、PC、PA．∵P是△DCM的内心，∴∠PMA＝∠PMC，∠PDA＝∠PDC，∴PE＝PF，PA＝PC，易证△PEA≌△PFC，△PEM≌△PFM，∴AE＝CF，EM＝FM，∴AM＝CM，作AH⊥CM于H，∵tan∠AMC=3设AH＝3k，HM＝4k，则AM＝CM＝5k，CF＝k，∴tan∠ACH=AH∵∠CAM＝∠DBC＝∠DCB＝∠ACB，∴tan∠DCB＝3．【点评】本题考查三角形的内心、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26．在△ABC中，M是BC边的中点，I是内切圆的圆心，AH⊥BC于点H，E是直线IM与AH的交点，求证：AE＝r．其中r是内切圆的半径．【分析】设圆I与BC相切于P，连接IP，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据已知条件得到BM=a2，根据切线的性质得到PB=a+c−b2，根据三角函数的定义得到BH＝c•cos∠B=a2+根据三角形的面积公式得到AH=a+b+ca•r【解答】证明：设圆I与BC相切于P，连接IP，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则BM=a2，PB=a+c−b2，BH＝c•cos∵△IPM∽△MEH，∴EHIP∴EH＝r•b+ca三角形的面积公式知a•AH＝（a+b+c），∴AH=a+b+ca•r结合①，②可得AE＝AH﹣EH=a+b+ca•r﹣r•【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．27．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，求证：DE＝DB．【分析】根据内心的概念得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠CBD，根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明即可．【解答】证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠DBC，∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABE+∠BAD＝∠DEB，∴DE＝DB．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．28．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．（1）若∠BAC＝θ，求∠DBC；（2）求证：BD＝DE．【分析】（1）根据内心的性质得到AD是∠BAC的平分线，根据圆周角定理解答即可；（2）根据内心的性质、三角形的外角的性质证明．【解答】（1）解：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=由圆周角定理得，∠DBC＝∠CAD=12（2）证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，又∠DBC＝∠BAD，∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠DBC，即∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE．【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心的概念和性质，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．29．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、F，BC＝7，⊙O的半径为3，（1）∠A＝60°，求△ABC的周长．（2）若∠A＝70°，点M为⊙O上异于F、E的动点，则∠FME的度数为55或125°．【分析】（1）连接OE、OF、OA，如图，根据切线长定理可切线的性质得到BD＝BF，CD＝CE，OE⊥AC，OF⊥AB，OA平分∠BAC，则∠OAE＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AE＝3，然后利用等线段代换得到△ABC的周长＝2BC+2AE；（2）先利用切线的性质得到∠OEA＝∠OFA＝90°，利用四边形内角和得到∠EOF＝180°