中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题25 轨迹、路径类综合练习（基础）-（解析版）

轨迹、路径类综合练习（基础）一．选择题1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【解答】解：展开图为：则AC＝100cm，BC＝15×3+10×3＝75cm，在Rt△ABC中，AB=AC2所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．2．如图，一个底面圆周长为24m，高为5m的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（）A．12m B．15m C．13m D．9.13m【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短解答．【解答】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB．如图所示：由于圆柱体的底面周长为24m，则AD＝24×12=又因为AC＝5m，所以AB=122即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13m．故选：C．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决此类问题，一般方法是先根据题意把立体图形展开成平面图形，再确定两点之间的最短路径．通常情况是根据两点之间，线段最短的性质．本题将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键．3．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）A．13 B．17 C．5 D．2+【分析】把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．【解答】解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，所以MC=12在直角三角形中AM=2故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．4．底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．10 B．8 C．5 D．4【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为12cm，则BC＝12×12=又因为AC＝8cm，所以AB=62+故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．故选：A．【点评】此题趣味性强，有利于培养同学们的学习兴趣，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键．5．如图，BC是⊙O的直径，BC＝42，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在MN上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）A．2π3 B．4π3 C．8π3【分析】如图，连接BE、CE，由∠BAC＝90°，E是内心，推出∠BEC＝135°，推出点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是GH），求出PG，∠GPH即可解决问题．【解答】解：如图，连接BE、CE，∵∠BAC＝90°，E是内心，∴∠BEC＝135°，∴点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是GH），在⊙P上取一点M′，连接BM′、CM′，则∠M′＝180°﹣135°＝45°，∠BPC＝2∠M′＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形，∵BC＝42，∴PB＝PC＝4，∵∠HPC＝2∠HBC＝∠NBC=12∠NOC，同理∠GPB=1∴∠HPC+∠GPB=12（∠NOC+∠MOB）＝30∴∠GPH＝60°，∴点E运动的路径长是60π⋅4180=故选：B．【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC'A．π3−33 B．π3−【分析】如图连接AC′，首先证明A、B′、C共线．根据S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′′计算即可．【解答】解：连接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB=3，BC∴tan∠BAC=BC∴∠BAC＝30°，∵旋转角为30°，∴A、B′、C共线．∴AC=AB∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S阴=30°×π×4故选：B．【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，扇形的面积的计算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分割法求阴影部分面积．7．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB上的三等分点，E、F是弧AB上的动点，∠EOF＝60°，线段AE、BF相交于点D，M是线段BD的中点．当点E从点B运动到点C时，则M、E两点的运动路径长的比是（）A．32 B．2π8 C．3【分析】先求出点M的运动轨迹，再分别求出点E，点M的运动路径长，即可求解．【解答】解：设⊙O的半径是r，∵点E从点B运动到点C，∴点E的运动路径长为120°×π×r180°∵∠EOF＝60°，∴∠AOF+∠BOE＝120°，∴∠EAB+∠ABF＝60°，∴∠ADB＝120°，如图，作△ABD的外接圆圆H，连接DH，AH，BH，OH，取BH中点G，连接OG，MG，∵∠ADB＝120°，∴∠AHB＝2×（180°﹣∠ADB）＝2（180°﹣120°）＝120°，∵AH＝BH，AO＝BO，∴OH⊥AB，∠HBO＝30°，∴OH=OB3=33r∵M是BD中点，G是BH中点，∴MG=12DH=∴点M在以点G为圆心，MG为半径的圆上，∵点E从点B运动到点C，∴点D从点B运动到点A，∴点M从点B运动到点O，∵∠BOH＝90°，GH＝BG，∴OG＝BG＝GH，∴∠OBH＝∠GOB＝30°，∴∠BGO＝120°，∴点M的运动路径长为120°×π×33r∴M、E两点的运动路径长的比=3故选：C．【点评】本题考查了轨迹，圆的有关知识，弧长公式，确定点M的运动轨迹是本题的关键．8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为（）A．3 B．4 C．92 【分析】如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN．求出KG的长即可解决问题．【解答】解：如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN．∵AD＝4，AE：ED＝1：3，∴AE＝1，DE＝3，在Rt△AEB中，AE＝1，AB＝3，∴BE=AE∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG，又∵∠A＝∠BEG＝90°，∵△AEB∽△EBG，∴BEBG∴BG=10∵BK＝AE＝1，∴KG＝BG﹣BK＝9，∴HN=12KG∴点M的运动路径的长为92故选：C．【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．二．填空题9．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为35【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．【解答】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π，以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，设展开后的圆心角是n°，则nπ×6180=6解得：n＝180，即展开后∠BAC=12×180°AP=12AC＝3，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，由勾股定理得：BP=AB2故答案为：35．【点评】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．10．如图，一个圆柱形水杯深20cm，杯口周长为36cm，在杯子外侧底面A点有一只蚂蚁，它想吃到杯子相对的内壁上点B处的蜂蜜，已知点B距离杯子口4cm，不考虑杯子的厚度，蚂蚁爬行的最短距离为30cm．【分析】将杯子侧面展开，建立B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知B′A的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B'A=AC故答案为：30cm．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．11．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm．【分析】将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，在直角△A′DB中，由勾股定理得A′B=A'D2故答案为：20．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为23π【分析】因为∠CFB＝90°，推出点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，求出圆心角∠BOM即可解决问题．【解答】解：如图，取BC的中点O，连接AC，BD交于点M，连接OM．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，AM＝CM，当点E与A重合时，点F与AC中点M重合，∵∠CFB＝90°，∴点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，∵点O是BC中点，AM＝CM，∴BO＝OM＝1，OM∥AB，∴∠BOM＝120°，∴BM的长=120°⋅π⋅1180°故答案为23π【点评】本题考查轨迹，菱形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．13．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（4，0），如图C在x轴上，BC＝2，Q从O向C运动，以AQ、BQ为边作等边△AEQ、等边△FBQ．连接EF，点P为EF中点，则P点运动的路径长为1．【分析】如图所示，延长AE，BF交于点H，则△ABH为等边三角形，再由三角形AEQ与三角形BGF为等边三角形，得到两对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EQ与AH平行，EQ与BH平行，进而确定出四边形EQFH为平行四边形，根据P为EF的中点，得到P为HQ的中点，随着点Q从O点向C点运动，点P也由P1运动到P2，利用中位线定理求出P点运动的路径长即可．【解答】解：如图所示，延长AE，BF交于点H，则△ABH为等边三角形，∵△AEQ与△BFQ都为等边三角形，∴∠EAQ＝∠FQB＝60°，∠AQE＝∠QBF＝60°，∴FQ∥AH，EQ∥BH，∴四边形EQFH为平行四边形，∵P为EF的中点，∴P为HQ中点，∵A（﹣2，0），B（4，0），BC＝2，∴OC＝2，随着点Q从O点向C点运动，点P也由P1运动到P2，∴P1P2=12即P运动的路径为1．故答案为：1．【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的判定与性质，坐标与图形性质，中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．如图，△ABC是边长为4的等边三角形△ABC，将绕边AB的中点O逆时针旋转60°，点C的运动路径为CC'，则图中阴影部分的面积为2π−3【分析】如图，连接OC，OC'，设AC于OC'交点为D，由等边三角形的性质和旋转的性质可求OC'＝OC＝23，∠COC'＝60°，由三角形内角和定理可求∠ADO＝90°，由面积的和差关系可求解．【解答】解：如图，连接OC，OC'，设AC与OC'交点为D，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝4，∵点O是AB的中点，∴AO=12AB＝2，OC⊥∴∠BOC＝∠AOC＝90°，∴OC＝BC•sin60°＝23，∵将△ABC绕边AB的中点O逆时针旋转60°，∴OC'＝OC＝23，∠COC'＝60°，∴∠AOC'＝∠AOC﹣∠COC'＝30°，∴∠ADO＝180°﹣∠AOC'﹣∠BAC＝90°，∴AD＝AO•sin30°＝1，∴S阴影＝S△AOC′+S扇形C'OC﹣S△AOC=60°×π×(23)2360°+12×23×故答案为：2π−3【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，旋转的性质，扇形的面积公式，求出AD的长是本题的关键．15．如图，有一条长度为1的线段EF，其端点E、F分别在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动．当EF绕着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M形成的路径所围成的图形面积是9−14π【分析】先分析点E在AB上，点F在BC上的情况，根据直角三角形的性质得到BM=12EF【解答】解：当点E在AB上，点F在BC上时，连接BM，在Rt△EBF中，∠B＝90°，点M是EF的中点，∴BM=12EF∴点M的轨迹是以B为圆心、以12圆面的面积=14×π×（12）当E、F在同一条边上时，点M也在这条边上，∴EF的中点M形成的路径所围成的图形面积＝32−116π×4＝9−故答案为：9−14【点评】本题考查的是点的轨迹、正方形的性质、直角三角形的性质，根据题意正确表示出EF的中点M形成的路径轨迹是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，点M为AC的中点．将△ABC绕点M逆时针旋转90°得到△DEF，其中点B的运动路径为BE，则图中阴影部分的面积为2π﹣3．【分析】连接BM、EN，由题意可知∠BME＝90°，BC＝CM＝2，BM=2BC＝22，DF⊥AC，可求MN为△DEF的中位线，则有S阴影＝S扇形﹣S△EMN﹣S△BMH=90×π(22)【解答】解：连接BM、EN，由题意可知∠BME＝90°，BC＝CM＝2，BM=2BC＝22，DF⊥AC∴MN∥EF，M为DF的中点，∴MN为△DEF的中位线，∴MN=12EF＝1，MF=∴S阴影＝S扇形﹣S△EMN﹣S△BMH=90×π(22)2【点评】本题考查扇形的面积，旋转的性质；熟练掌握扇形的面积公式和三角形面积公式是解题的关键．三．解答题17．如图，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向在1上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，若BC＝1，AC=3，则当点A转动到点A″的位置时，求点A【分析】根据旋转的性质和弧长公式即可求出点A两次转动所经过的路程．【解答】解：∵BC＝1，AC=3∴tan∠ABC=AC∴∠ABC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝2，∴点A两次转动所经过的路程为：120×π×2180=4π答：点A两次转动所经过的路程为4π3【点评】本题考查了轨迹、旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．18．一块等边三角形木块，边长为1，如图所示，现将三角形木块沿水平线翻滚五次，那么点B从开始至结束所走过的路径长是多少？【分析】根据正三角形的性质及弧长公式求出点B绕点C、点A、点C旋转的三段弧长相加即可．【解答】解：∵点B所经过的这三段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为120度∴点B所经过的路线长为3×120180π×1＝2【点评】本题主要考查了正三角形的性质及弧长公式l=n180π19．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【解答】解：如图1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=122如图2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=182+10如图3中，MN=222+6∵20＜2106＜2130∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．20．如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB=12底面周长=12×π×16π=8（所以AP=82+故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．【点评】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．21．问题探究：（1）如图①，已知等边△ABC，边长为4，则△ABC的外接圆的半径长为433（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线BD与边BC的夹角为30°，点E在为边BC上且BE=14BC，点P是对角线BD上的一个动点，连接PE，PC，求△问题解决：（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图③，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为△ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由．【分析】（1）作△ABC外接圆，作直径AD，连接BD，根据等边三角形性质求出∠C＝60°，根据圆周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．（2）△PEC周长的最小实质是PE+PC，转化为将军饮马模型求出P点，然后利用勾股定理即可求出E′C即可解答，（3）先由定角定高可知BC的最小值为三角形是等腰三角形AB＝AC时，BC最小，而求AB+AC，可以先将A点沿BC方向平移BC，构造平行四边形将AB转化为长，则AB+AC最小转化为AC+CD最小，作A点对称点A′，连接A′D，与BC交点与C重合，此时BC、AB+AC同时取最小值，即可知三角形周长有没有最小值．【解答】解：（1）如图，作三角形外接圆⊙O，作直径AD，连接BD，∵等边△ABC内接于⊙O，AD为直径，∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，∵sin∠D=AB∴AD=2AB3∴⊙0的半径是43故答案为：43（2）如图2，作点E关于BD的对称点E′，连接E′C交BD于P，连接PE，此时△PEC周长周长最小．连接BE′，过E′作E′H⊥BC，∵∠DBC＝30°，AB＝CD＝4，∴BC＝43，又∵BE=14∴BE=∵点E′是关于BD的对称点E∴∠E′BH＝60°，BE′＝BE=3∴BH=32，E′H∴HC=7∴E′C=∵△PEC周长＝PC+PE+EC＝PE′+EC=（3）如图3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，∴当AB＝AC时，边BC取最小值，∴此时BC＝AC＝203，作▱ABCD，作A点关于直线BC的对称点A′，连接A′D，AB+AC＝CD+A′C，当A′，C，D在一条直线上时，AB+AC最小，此时，△ABC应为等边三角形，AB+AC＝403∵AB+AC和BC的最小值能够同时取到，故△ABC的周长最小值为603．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（0，3）、（3+1，1）、（1，0），将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度，点C恰好落在x轴的负半轴上，得到△AB′C′（1）直接写出点B′的坐标，C′的坐标，点B到点B经过的路径长；（2）求△ABC扫过的面积．【分析】（1）画出△AB′C′，如图所示，写出B′，C′的坐标，根据弧长公式即可得到结论；（2）△ABC扫过的面积为扇形ABB′面积加上三角形ABC面积，求出即可．【解答】解：（1）画出△AB′C′，如图所示，∵A（0，3），B（3+1，1），C∴AC＝BC＝2，△ABC为直角三角形，AC′＝AC＝2，∠C′AC＝∠BAB′＝60°，∴△CAC′为等边三角形，即旋转角为60°，∴AB＝22，则C′（﹣1，0），B′（3−1，﹣∴点B到点B经