2025高考数学二轮复习-专题二-微专题20-极化恒等式、等和线、奔驰定理-专项训练【含答案】

微专题20极化恒等式、等和线、奔驰定理[考情分析]利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁．奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强．一般难度较大．考点一极化恒等式极化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4).(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：①eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(PQ,\s\up6(→))|2－|eq\o(NM,\s\up6(→))|2)(平行四边形模式)；②eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(NM,\s\up6(→))|2(三角形模式)．典例1(1)(2023·洛阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C.eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)答案A解析取HF的中点O，则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(GO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2).(2)(2023·葫芦岛模拟)如图，在四边形ABCD中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))＝4，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝12，E为AC的中点.eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→))，则eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的值为()A．0B．12C．2D．6答案A解析∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))＝4，E为AC的中点，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AE,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CE,\s\up6(→))))＝2，根据极化恒等式可得eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BE,\s\up6(→))))2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(EA,\s\up6(→))))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BE,\s\up6(→))))2－4＝12，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BE,\s\up6(→))))＝4，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BE,\s\up6(→))))＝2，∴eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up6(→))))2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(EA,\s\up6(→))))2＝4－4＝0.跟踪训练1(1)(2023·南京模拟)如图，已知M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝4，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.答案－4解析取MN的中点E，由向量数量积的极化恒等式，得eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(MN,\s\up6(→))2＝eq\o(AE,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)×4＝eq\o(AE,\s\up6(→))2－1＝4，∴eq\o(AE,\s\up6(→))2＝5，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝5－eq\f(1,4)×36＝－4.(2)在△ABC中，AC＝2BC＝6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝2，若eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的最小值为3，则cos∠ACB＝________.答案eq\f(2－2\r(10),9)解析取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM＝eq\f(1,2)MN＝1，由向量数量积的极化恒等式，得eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CP,\s\up6(→))2－eq\o(PM,\s\up6(→))2＝eq\o(CP,\s\up6(→))2－1，因为eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的最小值为3，则|eq\o(CP,\s\up6(→))|的最小值为2，因此CO＝2，在Rt△AOC中，cos∠OCA＝eq\f(CO,CA)＝eq\f(1,3)，所以sin∠OCA＝eq\f(2\r(2),3)，在Rt△BOC中，cos∠OCB＝eq\f(CO,CB)＝eq\f(2,3)，所以sin∠OCB＝eq\f(\r(5),3)，所以cos∠ACB＝cos(∠OCA＋∠OCB)＝cos∠OCAcos∠OCB－sin∠OCAsin∠OCB＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)－eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(2－2\r(10),9).考点二等和(高)线定理等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq\o(OP,\s\up6(→))′＝keq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))′＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP,\s\up6(→))′＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．(2)平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP,\s\up6(→))′，eq\o(OP,\s\up6(→))′＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．典例2(1)(2023·泉州模拟)在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AF,\s\up6(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．答案[3,4]解析如图，直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(AN,AM)，\f(AD,AM)))＝[3,4]．(2)在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为上的一个动点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则3x＋y的取值范围是________．答案[1,3]解析取点D使得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＝3xeq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，作一系列与BD平行的直线与圆弧相交(图略)，当点C与点B重合时，3x＋y取得最小值1，当点C与点A重合时，3x＋y取得最大值3，故3x＋y的取值范围是[1,3]．跟踪训练2(1)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且AD＝1，点P是△BCD(含边界)内的动点，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))＋μeq\o(OD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为________．答案eq\f(3,2)解析当点P位于B点时，λ＋μ取得最大值，过点B作GH∥DC，分别交OC，OD的延长线于G，H，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OG,\s\up6(→))＋yeq\o(OH,\s\up6(→))，且x＋y＝1，∵△GCB∽△COD，∴eq\f(GC,CO)＝eq\f(CB,OD)＝eq\f(1,2)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝xeq\o(OG,\s\up6(→))＋yeq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)xeq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)yeq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))＋μeq\o(OD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(3,2)x，μ＝eq\f(3,2)y⇒λ＋μ＝eq\f(3,2)x＋eq\f(3,2)y＝eq\f(3,2).(2)已知点C为扇形AOB的上任意一点，且∠AOB＝eq\f(2π,3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．[－2,2] B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)] D．[1,2]答案D解析方法一(等和线定理)设λ＋μ＝k，当C位于A或B时，A，B，C三点共线，所以k＝λ＋μ＝1；当C运动到的中点时，k＝λ＋μ＝2，∴λ＋μ∈[1,2]．方法二(常规方法)设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略)，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，B(1,0)，C(cosθ，sinθ)，∠BOC＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(2π,3)))，有eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，即(cosθ，sinθ)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋μ(1,0)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)λ＋μ＝cosθ，,\f(\r(3),2)λ＝sinθ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2sinθ,\r(3))，,μ＝cosθ＋\f(sinθ,\r(3))，))则λ＋μ＝eq\f(2sinθ,\r(3))＋cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，易得λ＋μ∈[1,2]．考点三奔驰定理定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.典例3(1)(2023·宜春模拟)设O为△ABC内部的一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,3)C．2D．3答案C解析方法一根据奔驰定理可知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3.方法二延长OB至B′，使OB′＝2OB，延长OC至C′，使OC′＝3OC，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB′,\s\up6(→))＋eq\o(OC′,\s\up6(→))＝0，∴O是△AB′C′的重心，∴S△AOC′＝S△B′OC′，∵S△AOC＝eq\f(1,3)S△AOC′，S△BOC＝eq\f(1,6)S△B′OC′，∴S△AOC∶S△BOC＝2∶1.(2)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为()A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．2∶5答案B解析方法一将3eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0变形可得eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，根据奔驰定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM＝1∶1∶1，则S△ABM∶S△ABC＝1∶3.方法二如图，D为BC边的中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，因为3eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以3eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以S△ABM＝eq\f(2,3)S△ABD＝eq\f(1,3)S△ABC.跟踪训练3(1)(2023·武汉模拟)点O是△ABC内一点，且满足3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(S△AOB,S△ABC)的值为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,7)C.eq\f(5,12)D.eq\f(1,3)答案C解析方法一根据奔驰定理及3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0可知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，所以eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(5,3＋4＋5)＝eq\f(5,12).方法二由3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\f(3,7)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(5,7)eq\o(OC,\s\up6(→))，设－eq\f(5,7)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，即eq\f(3,7)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，可知A，B，D三点共线，且eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))反向共线，如图所示，故eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→)))))＝eq\f(5,7)，eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OD,\s\up6(→)))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CD,\s\up6(→)))))＝eq\f(5,12)，eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OD,\s\up6(→)))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CD,\s\up6(→)))))＝eq\f(5,12).(2)(2023·济南模拟)已知点A，B，C，P在同一平面内，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3 B．19∶4C．24∶5 D．29∶6答案B解析由eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))可得eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→)))，整理可得eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，由eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))可得eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PR,\s\up6(→)))，整理可得eq\o(PR,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，整理得4eq\o(PA,\s\up6(→))＋6eq\o(PB,\s\up6(→))＋9eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.[总结提升]1．极化恒等式的适用范围(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化．(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题．2．等和(高)线定理的适用范围主要解决平面向量系数和与差的问题．3．奔驰定理的使用范围对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系．但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案．1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．32B．－32C．16D．－16答案D解析由题设，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝10，由极化恒等式可得，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)×(4|eq\o(AM,\s\up6(→))|2－|eq\o(BC,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,4)×(36－100)＝－16.2．(2023·昆明模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2eq\r(2)，M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值为()A．30＋4eq\r(2) B．28＋8eq\r(2)C．26＋16eq\r(2) D．24＋16eq\r(2)答案D解析如图，取AB的中点O，连接MO，BE，OE，分别过点C，D作BE的垂线，垂足分别为I，J，由极化恒等式可得eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－eq\o(OA,\s\up6(→))2＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－2，当点M与点F或点E重合时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MO,\s\up6(→))))取得最大值，易得四边形CDJI为矩形，△BCI，△DEJ为等腰直角三角形，则IJ＝2eq\r(2)，BI＝EJ＝2，则BE＝4＋2eq\r(2)，BO＝eq\r(2)，eq\o(MO,\s\up6(→))2的最大值为BO2＋BE2＝(eq\r(2))2＋(4＋2eq\r(2))2＝26＋16eq\r(2)，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值为24＋16eq\r(2).3.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq\o(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C．1D.eq\f(4,3)答案B解析如图，BC是值为1的等和线，过O作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq\f(|\o(AO,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|).由题设知O为△ABC的重心，eq\f(|\o(AO,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3).4．设O为△ABC所在平面内一点，满足2eq\o(OA,\s\up6(→))－7eq\o(OB,\s\up6(→))－3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为()A．6B.eq\f(8,3)C.eq\f(12,7)D．4答案D解析方法一根据奔驰定理的推论可得eq\f(S△BOC,S△ABC)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,2－7－3)))＝eq\f(1,4).方法二不妨设eq\o(OA1,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB1,\s\up6(→))＝－7eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC1,\s\up6(→))＝－3eq\o(OC,\s\up6(→))，如图所示，根据题意得eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＝0，即点O是△A1B1C1的重心，所以＝＝＝k，又因为＝eq\f(OB·OC,OB1·OC1)＝eq\f(1,21)，＝eq\f(OA·OB,OA1·OB1)＝eq\f(1,14)，＝eq\f(OA·OC,OA1·OC1)＝eq\f(1,6)，那么S△OBC＝eq\f(1,21)k，S△OAB＝eq\f(1,14)k，S△OAC＝eq\f(1,6)k，S△ABC＝S△OAB＋S△OAC－S△OBC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,14)＋\f(1,6)－\f(1,21)))k＝eq\f(4,21)k，故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为eq\f(\f(4,21)k,\f(1,21)k)＝4.5．(2023·南昌模拟)已知O是△ABC内一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，点M在△OBC内(不含边界)，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋2μ的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2))) B．(1,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案B解析因为O是△ABC内一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以O为△ABC的重心，M在△OBC内(不含边界)，且当点M与O重合时，λ＋2μ最小，此时eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(1,3)，即λ＋2μ＝1；当点M与C重合时，λ＋2μ最大，此时eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝0，μ＝1，即λ＋2μ＝2.因为M在△OBC内且不含边界，所以取开区间，即λ＋2μ∈(1,2)．6.如图，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A．1∶2∶3 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．2∶3∶6答案A解析O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，因此eq\f(S1,S2)＝eq\f(BP,AP)＝eq\f(OPtan∠BOP,OPtan∠AOP)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ABC)，同理eq\f(S1,S3)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ACB)，于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S1∶S2∶S3，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，由“奔驰定理”有S1·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S2·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S3·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(S1,S3)·eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(S2,S3)·eq\o(OB,\s\up6(→))，而eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，有eq\f(S1,S3)＝eq\f(1,3)，eq\f(S2,S3)＝eq\f(2,3)，即S1∶S2∶S3＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.7．(多选)如图，P为△ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则总有优美等式S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中，正确的有()A．若P是△ABC的重心，则有eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0B．若a·eq\o(PA,\s\up6(→))＋b·eq\o(PB,\s\up6(→))＋c·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则P是△ABC的内心C．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，则S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝2∶2∶1D．若P是△ABC的外心，且A＝eq\f(π,4)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋sin∠APC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－∠APC))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0答案ABD解析对于A，若P是△ABC的重心，则S△PBC＝S△PAC＝S△PAB，代入S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，正确；对于B，设点P到边BC，AC，AB的距离分别为h1，h2，h3，由S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0得，eq\f(1,2)ah1·eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)bh2·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)ch3·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即ah1·eq\o(PA,\s\up6(→))＋bh2·eq\o(PB,\s\up6(→))＋ch3·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，与已知条件a·eq\o(PA,\s\up6(→))＋b·eq\o(PB,\s\up6(→))＋c·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0比较知，h1＝h2＝h3，则P是△ABC的内心，正确；对于C，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＋eq\f(2,5)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，即2eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，与S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0比较得到，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝2∶1∶2，错误；对于D，P是△ABC的外心，且∠A＝eq\f(π,4)，则∠BPC＝eq\f(π,2)，设三角形外接圆半径为R，所以S△PBC＝eq\f(1,2)R2，S△PAC＝eq\f(1,2)R2sin∠APC，S△PAB＝eq\f(1,2)R2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－∠APC))，代入奔驰定理即可得到eq\o(PA,\s\up6(→))＋sin∠APC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－∠APC))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，正确．8．(2023·长沙模拟)在△ABC中，D是BC边上的中点，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝6，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝－2，则eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝________.答案1解析eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))))2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DB,\s\up6(→))))2＝6，同理可得eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FD,\s\up6(→))))2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DB,\s\up6(→))))2＝－2，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝9eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FD,\s\up6(→))))2，所以|eq\o(FD,\s\up6(→))|2＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DB,\s\up6(→))))