2013年数学高考题分类解析考点43 直线与圆锥曲线的位置关系

高考试题分类解析③，化简得，解得，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.13.(2013·浙江高考文科·T22)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1).(1)求抛物线C的方程.(2)过F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.【解题指南】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出A,B两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|MN|表示出来,进行求解.【解析】(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为:y=kx+1,由，消去，整理得所以从而由解得点的横坐标同理点的横坐标，所以令，则当时，当时，综上所述，当时，即时，的最小值是.14.（2013·山东高考理科·Ｔ22）椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，

设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.【解题指南】（Ⅰ）由椭圆及过F1的线段长，可列出方程求出椭圆的方程；（Ⅱ）先设出点P的坐标，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距；离相等，可列出方程求出点P的横坐标与m的关系，由椭圆的范围求出m的范围.（Ⅲ）可先设出直线的点斜式方程，与椭圆联立消去y，由于l与椭圆C有且只有一个公共点，即，可得出k与点P的坐标的联系，然后将斜率用坐标表示出来的式子代入即可.【解析】（Ⅰ）由于，x=-c代入椭圆方程，得，由题意知，即，又，所以a=2,b=1,所以椭圆C的方程为（Ⅱ）设，又,所以直线的方程分别为:，:，由题意知，M到直线的距离相等，所以，由于点P在椭圆上，所以所以因为，，可得，所以因此（Ⅲ）设，则直线的方程为，联立整理得.由l与椭圆C有且只有一个公共点，所以，即即，又所以，故，由（Ⅱ）知，所以，因此为定值，这个定值为-8.15.（2013·山东高考文科·Ｔ22）在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.(I)求椭圆C的方程；(II)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P,设,求实数t的值.【解题指南】（Ⅰ）可由椭圆的定义及简单的几何性质，易知椭圆的标准方程；(II)由于A,B两点任意，因此需要考虑直线AB的斜率是否存在，斜率不存在时，设出A,B两点坐标，由已知条件得出P点坐标代入椭圆方程即可求得t的值，斜率存在时，可设直线的方程，然后与椭圆联立，根据条件得出t的关系式.【解析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意知，解得因此椭圆C的方程为.(II)当AB⊥x轴时,设A(x0,y0),B(x0,-y0),由由OP→=tOE→=t(x0,0)=(tx又P在椭圆上,所以+02=1,所以t2=QUOTE2x02=4或QUOTE43,所以t=2或QUOTE233(舍去负值).当AB不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,显然m≠0,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.…(*)由三角形面积公式知,|xAyB-xByA|=|xA(kxB+m)-xB(kxA+m)|=QUOTE12|m||xA-xB|=,所以,