2025届高考数学一轮知能训练第八章立体几何第3讲点直线平面之间的位置关系含解析

PAGE6-第3讲点、直线、平面之间的位置关系1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c肯定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行2．(2024年浙江)已知相互垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满意m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n3．(2024年宁夏银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论肯定正确的是()A．m⊥nB．m∥nC．m与n相交D．m与n异面4．(2024年上海)如图X8­3­1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()图X8­3­1A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C15．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)6．(2024年宁夏银川模拟)如图X8­3­2所示，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4，则异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为()图X8­3­2A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(3,5)7．(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A．假如m∥α，n∥β，那么m∥nB．假如m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥nC．假如m⊥α，m⊂β，那么α⊥βD．假如α∥β，m⊂α，n∥β，那么m∥n8．(多选)设α是给定的平面，A，B是不在α内的随意两点，则()A．在α内存在直线与直线AB异面B．在α内存在直线与直线AB相交C．存在过直线AB的平面与α垂直D．存在过直线AB的平面与α平行9．(2024年新课标Ⅲ)a，b为空间中两条相互垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写全部正确结论的编号)10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB的中点．(1)求AC与D1D所成的角；(2)求AC与C1D所成的角；(3)求BD1与CE所成角的余弦值．11．(2024年上海)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图X8­3­3，长为eq\f(5π,6)，长为eq\f(π,3)，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．图X8­3­312．(2024年上海)如图X8­3­4，在正三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝BC＝AC＝eq\r(3).(1)若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；(2)求P­ABC的体积．图X8­3­4

第3讲点、直线、平面之间的位置关系1．C解析：由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，依据公理4，知a∥b，与a，b异面冲突，D错误．故选C.2．C3．A解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，∴m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，∴m⊥n.故选A.4．D5．B解析：设AD的中点为F，连接EF，CF，则EF∥BD，∴CE与EF所成角就是异面直线CE与BD所成角，设正四面体ABCD棱长为2a，EF＝a，CE＝CF＝eq\r(3)a，由余弦定理可得cos∠CEF＝eq\f(a2＋3a2－3a2,2a·\r(3)a)＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).6．B解析：补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BCC1B1的长方体BEFC­B1E1F1C1，如图D204所示．连接C1E，NE，则C1E∥BD1，于是∠NC1E即为异面直线BD1与C1N所成角(或其补角)．图D204在△NC1E中，依据已知条件可求C1N＝5，C1E＝13，EN＝eq\r(E1N2＋EE\o\al(2,1))＝4eq\r(17).由余弦定理，得cos∠NC1E＝eq\f(C1N2＋C1E2－EN2,2C1N×C1E)＝－eq\f(3,5).∴BD1与C1N所成角的余弦值为eq\f(3,5).7．BC8.AC9．②③解析：由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BD＝a，交底面圆C于点D，如图D205所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE＝b，连接AD，等腰△ABD中，AB＝AD＝eq\r(2)，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝eq\r(2).又在Rt△BDE中BE＝2，∴DE＝eq\r(2)，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF＝DE＝eq\r(2)，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，②正确，①错误．由最小角定理可知③正确；很明显，可以满意平面ABC⊥直线a，直线AB与a所成的最大角为90°，④错误．正确的说法为②③.图D20510．解：(1)D1D∥A1A，A1A⊥AC，∴AC⊥D1D即AC与DD1成90°角．(2)AC∥A1C1，AC与C1D所成的角为∠A1C1D，而△A1C1D为等边三角形，∴∠A1C1D＝60°.∴AC与C1D成60°角．图D206(3)如图D206，连接AD1，A1D交点为M，连接ME，MC，则∠MEC(或其补角)即为异面直线BD1与CE所成的角，设AB＝1，CE＝eq\f(\r(5),2)，ME＝eq\f(1,2)BD1＝eq\f(\r(3),2)，CM2＝CD2＋DM2＝eq\f(3,2).在△MEC中，cos∠MEC＝eq\f(CE2＋ME2－CM2,2CE·ME)＝eq\f(\r(15),15)，因此异面直线BD1与CE所成角的余弦值为eq\f(\r(15),15).11．解：(1)如图D207，由题意可知，圆柱的母线长l＝1，底面半径r＝1.图D207圆柱的体积V＝πr2l＝π×12×1＝π，圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π×1×1＝2π.(2)设过点B1的母线与下底面交于点B，则O1B1∥OB.∴∠COB或其补角为O1B1与OC所成的角．由长为eq\f(π,3)，可知∠AOB＝∠A1O1B1＝eq\f(π,3).由长为eq\f(5π,6)，可知∠AOC＝eq\f(5π,6)，∴∠COB＝∠AOC－∠AOB＝eq\f(π,2).∴异面直线O1B1与OC所成的角的大小为eq\f(π,2).12．解：(1)∵M，N分别为PB，BC的中点，∴MN∥PC，则∠PCA为AC与MN所成角，在△PAC中，由PA＝PC＝2，AC＝eq\r(3)，可得cos∠PCA＝eq\f(PC2＋AC2－PA2,2PC·AC)＝eq\f(3,2×2×\r(3))＝eq\f(\r(3),4)，∴AC与MN的夹角为arccoseq\f(\r(3),4)；(2)如图D208，过P作