2025届高考数学二轮复习专题能力训练11等差数列与等比数列理含解析

专题实力训练11等差数列与等比数列专题实力训练第28页

一、实力突破训练1.在等差数列{an}中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为()A.20 B.-20 C.10 D.-10答案:D解析:因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.2.已知数列{an}为等比数列,且a8a9a10=-a132=-1000,则a10a12=(A.100 B.-100 C.10010 D.-10010答案:C解析:∵{an}为等比数列,∴a8a9a10=-a132∴a9=-10,a132=又a10a12=a102q2>0,∴a10a12=|a9a13|=3.(2024全国Ⅲ,理5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16 B.8 C.4 D.2答案:C解析:设等比数列{an}的公比为q(q>0),则a1(所以a3=a1q2=1×22=4.故选C.4.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0答案:B解析:设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.∵d≠0,∴a1d=-53d2<0,且a1=-53d.∵dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+35.已知数列{an}满意an+1an+1+1=12,且a2A.-12 B.23 C.12 D.答案:D解析:由已知得an+1+1an+1=2,则{an+1}是公比为2的等比数列,所以a4+1=(a2+1)·22=12.所以a46.已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=40,则a3·a8的最大值为.

答案:16解析:因为S10=10(a1+a10)2=40⇒a1+a10=a3+a8=8,a3>0,a8>0,所以a3·a8≤a3+7.中国古代数学专著《九章算术》中有这样一题:今有男子善走,日增等里,九日走1260里,第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子第三日走的里数为(注:里是我国古代计量单位,1里=500米).

答案:120解析:男子每天走的里数构成等差数列,设为{an},其公差为d,前n项和为Sn.依据题意可知,S9=1260,a1+a4+a7=390,(方法一)∵S9=9(a1+a9)2=9a5又a1+a4+a7=3a4=390,∴a4=130,∴d=a5-a4=10,∴a3=a4-d=120.(方法二)由题意,得S解得a1=100,d=10,所以a3=a8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且1x,1y,1z成等差数列答案:34解析:由题意知(12y)2=9x×15z,2y=1从而xz+zx=x2+9.已知Sn为数列{an}的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(n∈N*).(1)求证:{an-2n}为等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.答案：(1)证明由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n).又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=3≠0.故{an-2n}为等比数列.(2)解由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,∴an=2n+3n,∴Sn=2(1-2n)10.(2024全国Ⅰ,理17)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.解:(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比为-2.(2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=1-(-2)n3-n×所以Sn=111.已知数列{an}是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+…+a2n=t(a12+a22+…+an2),n(2)若在1a1与1a4之间插入k个数b1,b2,…,bk,使得1a1,b1,b2,…,bk解：设等比数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1)∵a1+a2+…+a2n=t(a12+a2∴a1(1-q2n)1-q=t·a12((2)∵1a1=且1a1,b1,b2,…,bk,1∴公差d=1a5-1a4=-116,且即18-1=(k+1)×-116,二、思维提升训练12.(2024全国Ⅱ,理4)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最终一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块答案:C解析:由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+27×262×9=3402.故选13.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=1a1a2+1a2A.1-14nC.1-12n答案:B解析:因为an=1×2n-1=2n-1,所以anan+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以1所以1an故Tn=1a1a214.已知等比数列{an}的首项为43,公比为-13,其前n项和为Sn.若A≤Sn-1Sn≤B对n∈N*恒成立,则答案:59解析:易得Sn=1--1因为y=Sn-1Sn在区间89,4所以y∈-1772,712⊆[A15.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对随意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为.

答案:4解析:要满意数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,…,所以最多由4个不同的数组成.16.已知数列{an},{bn}满意:an+1+1=2an+n,bn-an=n,b1=2.(1)证明数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)因为bn-an=n,所以bn=an+n.因为an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),即bn+1=2bn.又b1=2,所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,bn=2×2n-1=2n.(2)由(1)可得an=bn-n=2n-n,所以Sn=(21+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=2(1-2n)1-17.(2024天津,理19)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满意c1=1,cn=1,2k<n<①求数列{a2n(c②求∑i=12naici(n∈解：(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.依题意得6q=6+2d,6q2=12+4d,解得d=3,q=2,故an=4+(n-1)×3=3n+所以,{an}的通项公式为an=3n+1