2025届高考数学二轮复习题型练5大题专项三统计与概率问题理含解析

题型练5大题专项(三)统计与概率问题题型练第66页

一、解答题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球竞赛允许不同协会的运动员组队参与.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参与竞赛.(1)设A为事务“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事务A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解:(1)由已知,有P(A)=C所以,事务A发生的概率为6(2)随机变量X的全部可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=C5kC3所以,随机变量X的分布列为X1234P1331随机变量X的数学期望E(X)=1×114+2×37+32.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设全部电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜爱,用“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜爱(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.解:(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事务A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事务B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk=0则ξk明显听从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:ξ110P0.40.6D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;其次类电影:ξ210P0.20.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三类电影:ξ310P0.150.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275;第四类电影:ξ410P0.250.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875;第五类电影:ξ510P0.20.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六类电影:ξ610P0.10.9D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).3.(2024全国Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球竞赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;竞赛前抽签确定首先竞赛的两人,另一人轮空;每场竞赛的胜者与轮空者进行下一场竞赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人接着竞赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,竞赛结束.经抽签,甲、乙首先竞赛,丙轮空.设每场竞赛双方获胜的概率都为1(1)求甲连胜四场的概率;(2)求须要进行第五场竞赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.解:(1)甲连胜四场的概率为1(2)依据赛制,至少须要进行四场竞赛,至多须要进行五场竞赛.竞赛四场结束,共有三种状况:甲连胜四场的概率为116乙连胜四场的概率为116丙上场后连胜三场的概率为1所以须要进行第五场竞赛的概率为1-1(3)丙最终获胜,有两种状况:竞赛四场结束且丙最终获胜的概率为18竞赛五场结束且丙最终获胜,则从其次场起先的四场竞赛依据丙的胜、负、轮空结果有三种状况:胜输赢胜,输赢空胜,负空胜胜,概率分别为1因此丙最终获胜的概率为14.(2024全国Ⅱ,理18)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简洁随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1200,∑i=120(xi-x)2=80,∑i=120(yi-y)2=9000,∑i=120(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)依据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更精确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法.并说明理由.附:相关系数r=∑i=1n(解:(1)由已知得样本平均数y=120∑i=120yi=60,(2)样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数r=∑i=120(x(3)分层抽样:依据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采纳分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一样性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更精确的估计.5.一款击鼓小嬉戏的规则如下:每盘嬉戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘嬉戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘嬉戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘嬉戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款嬉戏的很多人都发觉,若干盘嬉戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而削减了.请运用概率统计的相关学问分析分数削减的缘由.解:(1)X可能的取值为10,20,100,-200.依据题意,P(X=10)=C3P(X=20)=C3P(X=100)=C3P(X=-200)=C所以X的分布列为X1020100-200P3311(2)设“第i盘嬉戏没有出现音乐”为事务Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=1所以,“三盘嬉戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-183=1因此,玩三盘嬉戏至少有一盘出现音乐的概率是511(3)X的数学期望为E(X)=10×38+20×38+100×1这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次嬉戏之后分数削减的可能性更大.6.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的运用状况,从全校学生中随机抽取了100人,发觉样本中A,B两种支付方式都不运用的有5人,样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下:支付金额/元(0,1000](1000,2000]大于2000支付方式仅运用A18人9人3人仅运用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都运用的概率;(2)从样本仅运用A和仅运用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变.现从样本仅运用A的学生中,随机抽查3人,发觉他们本月的支付金额都大于2000元.依据抽查结果,能否认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变?说明理由.解:(1)由题意知,样本中仅运用A的学生有18+9+3=30人,仅运用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不运用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都运用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都运用的概率估计为40100=0.4(2)X的全部可能值为0,1,2.记事务C为“从样本仅运用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事务D为“从样本仅运用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知,事务C,D相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)P(=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事务E为“从样本仅运用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅运