2025年沪科版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高二数学下册月考试卷890考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设集合则等于（）A.｛２｝B.｛１，２，４，６｝C.｛１，２，４｝D.｛２，６｝2、如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点若则的值为（）A.B.C.D.3、已知函数的图象关于点对称，且当时，成立（其中是的导函数），若则的大小关系是（）A.B.C.D.4、【题文】已知平面向量则下列说法中错误的是()A.∥B.C.对同一平面内的任意向量都存在一对实数使得D.向量与向量的夹角为5、【题文】等比数列中，则的前4项和为（）A.81B.120C.168D.1926、【题文】在等比数列中，已知则的值为（）A.16B.24C.48D.1287、若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是()

A.B.C.D.8、在R上可导的函数当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、设抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴相交于点K，点A在抛物线C上且则△AFK的周长为____．10、从一个半径为1的圆形铁片中剪出圆心角为x弧度的一个扇形，并将其卷成一个圆锥（不考虑连接用料），若圆锥的容积达到最大时，则x的值是____．11、（x+）11，展开式中的常数项是____．（用数字作答）12、已知则从大到小的排列应为__________．13、【题文】已知则函数的最小值为____14、【题文】若为等比数列的前n项的和，则=___________15、随机写出两个小于1的正数x与y，它们与数1一起形成一个三元数组（x，y，1）．这样的三元数组正好是一个钝角三角形的三边的概率是____．16、对任意的实数x，不等式x+|x-1|＞m恒成立，则实数m的取值范围是______．17、椭圆x29+y24=1

的焦点为F1F2P

为椭圆上的一点，PF1鈫�鈰�PF2鈫�=0

则|PF1鈫�|鈰�|PF2鈫�|=

______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共15分)23、已知函数（1）当时，求的极小值；（2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；（3）设求的最大值的解析式．24、【题文】已知数列满足数列满足数列为公比大于的等比数列，且为方程的两个不相等的实根.

（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；

（Ⅱ）将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列求数列的前项和.25、已知函数f（x）=ex+ax﹣1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=1时；求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)26、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．27、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．28、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．29、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．评卷人得分六、综合题(共2题，共18分)30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．31、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于集合=｛１，２，４，６｝故答案为B.考点：集合的运算【解析】【答案】B2、B【分析】试题分析：四边形是圆的内接四边形，它的两对对角互补，进而得到∽因而有故选择B.考点：平面几何中的圆与四边形.【解析】【答案】B3、C【分析】【解析】

【解析】

∵当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（-∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．>1>>0>=-2得到结论，选C【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】

试题分析：选项A正确，因为所以选项B正确，因为所以选项C错误，因为所以向量与向量是共线向量，由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量；选项D正确，所以所以所以向量与向量的夹角为

考点：1.平面向量的基本定理；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的夹角【解析】【答案】C5、B【分析】【解析】设等比数列的公比为依题意可得

两式相除可得，解得

代入可得，

所以的前4项和为故选B。【解析】【答案】B6、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A7、C【分析】【解答】根据题意，由于函数的图象（部分）可知，函数的周期为因此可知，因为过点代入可知得到故可知答案为就；选C.

【分析】主要是考查了三角函数的解析式的求解以及运用，属于基础题。8、C【分析】【解答】在由所构成的三角形的内部，可看作点与点的连线的斜率，结合图形可知故选C。

【分析】函数在极值点处的导数为零且在极值点两侧导数一正一负，线性规划问题取得最值的位置一般是可行域的顶点处或边界处，本题有一定的综合性二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】

∵抛物线C：y2=8x的焦点为F（2；0），准线为x=-2

∴K（-2；0）

设A（x，y），过A点向准线作垂线AB，则B（-2，y）

∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x-（-2）=x+2

∴由BK2=AK2-AB2得y2=（x+2）2，即8x=（x+2）2；解得A（2，±4）

∴△AFK的周长为AF+AK+AF=AB+AK+AF=4++4=8+4．

故答案为：8+4．

【解析】【答案】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x，y），过A点向准线作垂线AB，则B（-2，y），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x-（-2）=x+2；进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的周长．

10、略

【分析】

设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2+h2=R2；

因此，V=πr2h

=π（R2-h2）h=πR2h-πh3（0＜h＜R）．（3分）

V′=πR2-πh2．

令V'=0，即πR2-πh2=0，得h=R．（5分）

当0＜h＜R时；V'＞0．

当R＜h＜R时；V'＜0．

所以，h=R时；V取得极大值，并且这个极大值是最大值．（8分）

把h=R代入r2+h2=R2，得r=R．

由Rx=2πr，得x=π．

故答案为：．

【解析】【答案】设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，求出r2+h2=R2；表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果．

11、略

【分析】

由题意可知：通项为Tr+1=

=

由解得r=3

常数项为C113=165．

故答案为：165．

【解析】【答案】利用二项展开式的通项公式，通过x的指数为0，得到r的值；即可求出常数项．

12、略

【分析】当时，所以从大到小的排列应为【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】解：因为则当x=时成立【解析】【答案】____14、略

【分析】【解析】设公比为则所以．．【解析】【答案】-715、﹣【分析】【解答】解：这个三元组正好是钝角三角形的三个边，应满足一下条件：对应的区域如图；

则圆面积的为

直线和区域围城的面积是

则这个三元组正好是钝角三角形的三个边的概率P=﹣．

故答案为：﹣．

【分析】根据几何概型的概率公式，求出这个三元组正好是钝角三角形的三个边的等价条件，即可得到结论．16、略

【分析】解：令f（x）=x+|x-1|=

∴（x+|x-1|）min=1；

∴m＜1．

故答案为：m＜1．

令f（x）=x+|x-1|，依题意，只需求得f（x）min即可求得m的取值范围．

本题考查函数恒成立问题，求得f（x）min是关键，属于中档题．【解析】m＜117、略

【分析】解：隆脽

椭圆方程：圆x29+y24=1

隆脿a2=9b2=4

可得c2=a2鈭�b2=5

设|PF1|=m|PF2|=n隆脽隆脧F1PF2=90鈭�

可得PF1隆脥PF2

m+n=6m2+n2=20

隆脿36=20+2mn

得2mn=16

即mn=8

隆脿|PF1|?|PF2|=8

．

故答案为：8

根据椭圆的定义及椭圆标准方程求得到|PF1|+|PF2|=2a=6

由隆脧F1PF2=90鈭�

可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20

两边平方即可求得|PF1|?|PF2|.

本题考查椭圆的焦点三角形为直角三角形的性质，考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等应用，属于中档题．【解析】8

三、作图题(共5题，共10分)18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共15分)23、略

【分析】【解析】试题分析：（1）1分当时，时，2分的极小值是3分（2）法1：直线即依题意，切线斜率即无解4分6分法2：4分要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立，6分（3）因故只要求在上的最大值.7分①当时，9分②当时，（ⅰ）当在上单调递增，此时10分（ⅱ）当时，在单调递增；1°当时，2°当（ⅰ）当（ⅱ）当13分综上14分考点：导数的几何意义及函数极值最值【解析】【答案】（1）-2（2）（3）24、略

【分析】【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）根据题意，由于数列满足数列满足数列为公比大于的等比数列，为方程的两个不相等的实根

（Ⅱ）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是公比均是9分。

12分。

考点：等差数列和等比数列。

点评：主要是考查了等差数列和等比数列的求和的运用，属于中档题。【解析】【答案】（1）

（2）25、解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ex+x﹣1，f（1）=e，f'（x）=ex+1；f'（1）=e+1，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x﹣1；

设切线与x轴；y轴的交点分别为A、B；

∴AB（0，﹣1）；

∴

∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为．

（Ⅱ）由f（x）≥x2得

令h（x）=

令k（x）=x+1﹣ex，k'（x）=1﹣ex；

∵x∈（0；1），∴k'（x）＜0；

∴k（x）在（0；1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．

因为x﹣1＜0，x2＞0，所以

∴h（x）在（0；1）上是增函数．

所以h（x）＜h（1）=2﹣e，所以a≥2﹣e【分析】【分析】（I）当a=1时，f（x）=ex+x﹣1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得；（II）将f（x）≥x2在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为在（0，1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．五、计算题(共4题，共20分)26、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．27、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=228、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1﹣i）与f（i）即可求出所求．29、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可六、综合题(共2题，共18分)30、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线