巴蜀保送生考试数学试卷

巴蜀保送生考试数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，其周期为：

A.$\pi$B.$2\pi$C.$\pi/2$D.$3\pi/2$

2.在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,2)关于直线$x+y=0$的对称点分别是：

A.(-3,-2)B.(-2,-3)C.(3,2)D.(2,3)

3.若$a^2+b^2=1$，则$\sin2\alpha\sin2\beta=$：

A.$\cos(\alpha+\beta)$B.$\cos(\alpha-\beta)$C.$\sin(\alpha+\beta)$D.$\sin(\alpha-\beta)$

4.若$a>b>0$，则下列不等式成立的是：

A.$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$B.$\frac{a}{b}>1$C.$a^2>b^2$D.$a^3>b^3$

5.若$|a|<1$，则下列不等式成立的是：

A.$|a^2|<1$B.$|a^3|<1$C.$|a^4|<1$D.$|a^5|<1$

6.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，则$\cos\alpha=$：

A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$-\frac{3}{5}$

7.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1+a_3+a_5=9$，则$a_4=$：

A.3B.6C.9D.12

8.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_3+a_5=9$，则$a_4=$：

A.3B.6C.9D.12

9.若$f(x)=x^2-2x+1$，则$f(x+1)=$：

A.$x^2$B.$x^2-2x$C.$x^2-2x+1$D.$x^2-4x+4$

10.若$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则$f'(0)=$：

A.0B.1C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$

二、判断题

1.在直角坐标系中，若直线$y=2x+1$与圆$x^2+y^2=1$相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径。（）

2.若函数$f(x)=\sinx+\cosx$在区间$(0,\pi)$上单调递增，则$\sinx>\cosx$。（）

3.对于任意实数$a$，都有$a^2+1\geq0$。（）

4.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。（）

5.若等比数列$\{a_n\}$的公比$q$满足$|q|<1$，则数列$\{a_n\}$单调递减。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(h,k)$，则$a=\_\_\_\_\_\_\_，b=\_\_\_\_\_\_\_，h=\_\_\_\_\_\_\_，k=\_\_\_\_\_\_\_$。

2.在直角坐标系中，若点$(2,3)$关于直线$y=-x$的对称点坐标为$(x,y)$，则$x=\_\_\_\_\_\_\_，y=\_\_\_\_\_\_\_$。

3.若等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=2$，公差$d=3$，则第10项$a_{10}=\_\_\_\_\_\_\_$。

4.若等比数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=3$，公比$q=\frac{1}{2}$，则第5项$a_5=\_\_\_\_\_\_\_$。

5.若函数$f(x)=\lnx$在区间$(0,+\infty)$上的导数$f'(x)=\_\_\_\_\_\_\_$。

四、简答题

1.简述二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴与系数之间的关系。

2.如何求解直线与圆的位置关系？请举例说明。

3.请解释等差数列和等比数列的前$n$项和的求法，并给出相应的公式。

4.请简述对数函数的图像特征，并说明其导数的计算方法。

5.如何求一个函数的极值？请给出一般步骤和注意事项。

五、计算题

1.计算定积分$\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx$的值。

2.求函数$f(x)=x^3-3x+1$的极值点，并判断极值的类型。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前10项和$S_{10}=110$，公差$d=3$，求第5项$a_5$的值。

4.求解方程组$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=2\end{cases}$。

5.求曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程。

六、案例分析题

1.案例分析题：某班级共有30名学生，成绩分布如下表所示，请根据等差数列的性质，求出该班级的平均成绩，并分析成绩的分布特点。

|成绩区间|人数|

|----------|------|

|60-70|5|

|70-80|10|

|80-90|12|

|90-100|3|

2.案例分析题：某工厂生产一批产品，其成本函数为$C(x)=5x+1000$，其中$x$为生产的产品数量。已知该产品的售价为每件$150$元，请根据以下情况进行分析：

（1）求出该工厂的利润函数$P(x)$；

（2）若工厂希望利润最大化，请求出最佳的生产数量$x$；

（3）分析当$x$增加时，工厂的利润变化趋势。

七、应用题

1.应用题：某工厂计划在5个月内生产一批产品，如果每月生产120件，则能按时完成；如果每月生产140件，则能提前1个月完成。求该批产品的总生产量。

2.应用题：一个正方体的边长为$a$，求该正方体的表面积和体积。

3.应用题：一家公司生产两种产品，产品A和产品B。生产产品A的成本为每件10元，生产产品B的成本为每件15元。公司计划每月生产成本不超过1200元，且每月至少生产10件产品A和5件产品B。求公司每月能生产的产品A和产品B的最大数量。

4.应用题：某城市计划修建一条长为10公里的高速公路，已知每公里高速公路的修建成本为100万元。若采用传统施工方法，则整个工程需要3年时间完成；若采用新施工技术，则整个工程可以在2.5年内完成。求两种施工方法下，平均每公里高速公路的年成本。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.B

2.A

3.A

4.D

5.A

6.A

7.A

8.B

9.C

10.B

二、判断题答案

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空题答案

1.$a>0$，$b$可以是任意实数，$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

2.$x=-3$，$y=2$

3.$a_5=2+4\times3=14$

4.$a_5=3\times\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{3}{16}$

5.$f'(x)=\frac{1}{x}$

四、简答题答案

1.二次函数图像的开口方向由系数$a$决定，$a>0$时开口向上，$a<0$时开口向下。顶点坐标为$(h,k)$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$。对称轴为直线$x=h$。

2.直线与圆的位置关系可以通过计算圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系来判断。若距离小于半径，则直线与圆相交；若距离等于半径，则直线与圆相切；若距离大于半径，则直线与圆相离。

3.等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。等比数列的前$n$项和公式为$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$（$q\neq1$）。

4.对数函数的图像特征为：随着$x$的增加，$y$值单调递增；当$x=1$时，$y=0$；图像在$x$轴右侧，$x$值趋近于无穷大时，$y$值趋近于无穷大。对数函数的导数为$f'(x)=\frac{1}{x}$。

5.求函数的极值的一般步骤为：求导数，令导数等于0，求出极值点，判断极值的类型。注意事项包括：极值点可能出现在导数不存在或导数为0的点。

五、计算题答案

1.$\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx=\left[x^3-x^2+x\right]_0^1=(1-1+1)-(0-0+0)=1$

2.$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$，$f''(x)=6x$，$f''(1)=6>0$，故$x=1$为极小值点。

3.$a_5=2+(5-1)\times3=14$

4.$2x+3y=8$，$x-y=2$，解得$x=2$，$y=0$。

5.$f'(x)=e^x$，$f'(0)=e^0=1$，切线斜率为1，切线方程为$y-1=1(x-0)$，即$y=x+1$。

七、应用题答案

1.设总生产量为$N$，则$\frac{N}{5}=120$，$N=600$。

2.表面积$A=6a^2$，体积$V=