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文档简介

郴州市重点中学2023年徐汇区学习能力诊断卷高三数学试题试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是:任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B、任务C不能相邻,则不同的执行方案共有()A.36种 B.44种 C.48种 D.54种2.过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点B,过点作准线的垂线,垂足为.若,则()A. B. C. D.3.已知函数,则()A.1 B.2 C.3 D.44.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于().A. B. C. D.5.如图,设为内一点,且,则与的面积之比为A. B.C. D.6.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的的值为1,输出的的值为()A. B. C. D.7.若函数在时取得极值,则()A. B. C. D.8.已知定义在上的奇函数满足,且当时,,则()A.1 B.-1 C.2 D.-29.已知复数(为虚数单位,),则在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()A. B. C. D.11.函数与的图象上存在关于直线对称的点,则的取值范围是()A. B. C. D.12.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的前项和公式为,则数列的通项公式为___.14.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积是______.15.的展开式中的系数为________.16.点到直线的距离为________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为;(1)求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交点分别为,,点,求的值.18.(12分)在直角坐标系x0y中,把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点M在上,点N在上,求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.19.(12分)已知函数,且.(1)求的解析式;(2)已知,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围.20.(12分)已知中,,,是上一点.(1)若,求的长;(2)若,,求的值.21.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(1)求直线和圆的普通方程;(2)已知直线上一点,若直线与圆交于不同两点,求的取值范围.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程;(2)在曲线上取一点,直线绕原点逆时针旋转,交曲线于点,求的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

分三种情况,任务A排在第一位时,E排在第二位;任务A排在第二位时,E排在第三位;任务A排在第三位时,E排在第四位,结合任务B和C不能相邻,分别求出三种情况的排列方法,即可得到答案.【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F,如果任务A排在第一位时,E排在第二位,剩下四个位置,先排好D、F,再在D、F之间的3个空位中插入B、C,此时共有排列方法:;如果任务A排在第二位时,E排在第三位,则B,C可能分别在A、E的两侧,排列方法有,可能都在A、E的右侧,排列方法有;如果任务A排在第三位时,E排在第四位,则B,C分别在A、E的两侧;所以不同的执行方案共有种.【点睛】本题考查了排列组合问题,考查了学生的逻辑推理能力,属于中档题.2.C【解析】

需结合抛物线第一定义和图形,得为等腰三角形,设准线与轴的交点为,过点作,再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出,,结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图,设准线与轴的交点为,过点作.由抛物线定义知,所以,,,,所以.故选:C【点睛】本题考查抛物线的几何性质,三角函数的性质,数形结合思想,转化与化归思想,属于中档题3.C【解析】

结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.【详解】由题意可得,则.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.4.C【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.5.A【解析】

作交于点,根据向量比例,利用三角形面积公式,得出与的比例,再由与的比例,可得到结果.【详解】如图,作交于点,则,由题意,,,且,所以又,所以,,即,所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合,三角形面积公式,属基础题,作出合适的辅助线是本题的关键.6.B【解析】

根据循环语句,输入,执行循环语句即可计算出结果.【详解】输入,由题意执行循环结构程序框图,可得:第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,满足判断条件;输出结果.故选:【点睛】本题考查了循环语句的程序框图,求输出的结果,解答此类题目时结合循环的条件进行计算,需要注意跳出循环的判定语句,本题较为基础.7.D【解析】

对函数求导,根据函数在时取得极值,得到,即可求出结果.【详解】因为,所以,又函数在时取得极值,所以,解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用,根据函数的极值求参数的问题,属于常考题型.8.B【解析】

根据f(x)是R上的奇函数,并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,而由x∈[0,1]时,f(x)=2x-m及f(x)是奇函数,即可得出f(0)=1-m=0,从而求得m=1,这样便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【详解】∵是定义在R上的奇函数,且;∴;∴;∴的周期为4;∵时,;∴由奇函数性质可得;∴;∴时,;∴.故选:B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值,此类问题一般根据条件先推导出周期,利用函数的周期变换来求解,考查理解能力和计算能力,属于中等题.9.B【解析】

分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系,可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【详解】因为时,所以,,所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的几何意义,考查学生的计算求解能力,属于基础题.10.A【解析】

根据实数满足的等量关系,代入后将方程变形,构造函数,并由导函数求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,结合存在性问题的求法,即可求得正数的取值范围.【详解】函数,,由题意得,即,令,∴,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,而,当且仅当,即当时,等号成立,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用,由基本不等式求函数的最值,存在性成立问题的解法,属于中档题.11.C【解析】

由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,可得有解,令,则,对分类讨论,得出时,取得极大值,也即为最大值,进而得出结论.【详解】解:由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,即有解,令,则,则当时,;当时,,故时,取得极大值,也即为最大值,当趋近于时,趋近于,所以满足条件.故选:C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法,考查化归与转化等数学思想,考查抽象概括、运算求解等数学能力,属于难题.12.B【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的,且按顺时针转所形成的角为负角,综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为.故选:B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

由题意,根据数列的通项与前n项和之间的关系,即可求得数列的通项公式.【详解】由题意,可知当时,;当时,.又因为不满足,所以.【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式,其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系,合理准确推导是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14.【解析】

先由三视图在长方体中将其还原成直观图,再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.【详解】由三视图知该几何体是一个三棱锥,如图所示长方体对角线长为,所以三棱锥外接球半径为,故所求外接球的表面积.故答案为:.【点睛】本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积,考查学生空间想象能力以及基本计算能力,是一道基础题.15.80.【解析】

只需找到展开式中的项的系数即可.【详解】展开式的通项为,令,则,故的展开式中的系数为80.故答案为:80.【点睛】本题考查二项式定理的应用,涉及到展开式中的特殊项系数,考查学生的计算能力,是一道容易题.16.2【解析】

直接根据点到直线的距离公式即可求出。【详解】依据点到直线的距离公式,点到直线的距离为。【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ),曲线(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)消去参数可得直线的直角坐标系方程,由可得曲线的直角坐标方程;(2)将(为参数)代入曲线的方程得:,,利用韦达定理求解即可.试题解析:(1),曲线,(2)将(为参数)代入曲线的方程得:.所以.所以.18.(1)的普通方程为,的直角坐标方程为.(2)最小值为,此时【解析】

(1)由的参数方程消去求得的普通方程,利用极坐标和直角坐标转化公式,求得的直角坐标方程.(2)设出点的坐标,利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式,结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.【详解】(1)由题意知的参数方程为(为参数)所以的普通方程为.由得,所以的直角坐标方程为.(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离,因为.当且仅当时,取得最小值为,此时的直角坐标为即.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查极坐标方程化为直角坐标方程,考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题,属于中档题.19.(1);(2)【解析】

(1)由,可求出的值,进而可求得的解析式;(2)分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出的取值范围.【详解】(1)因为,所以,解得,故.(2)因为,所以,所以,则,图象的对称轴是.因为,所以,则,解得,故的取值范围是.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.20.(1)(2)【解析】

(1)运用三角形面积公式求出的长度,然后再运用余弦定理求出的长.(2)运用正弦定理分别表示出和,结合已知条件计算出结果.【详解】(1)由在中,由余弦定理可得(2)由已知得在中,由正弦定理可知在中,由正弦定理可知故【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理,结合三角形熟练运用各公式是解题关键,此类题目是常考题型,能够运用公式进行边角互化,需要掌握解题方法.21.(1),;(2)【解析】分析:(1)用代入法消参数可得直线的普通方程,由公式可化极坐标方程为直角坐标方程;(2)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离,因此有,,直接由韦达定理可得,注意到直线与圆相交,因此判别式>0,这样可得满足的不等关系,由此可求得的取值范围.详解:(1)直线的参数方程为,普通方程为,将代入圆的极坐标方程中,可得圆的普通方程为,(2)解:直线的参数方程为代入圆的方程为可得:(*),且由题意,,.因为方程(*)有两个不同的实根,所以,即,又,所以.因为,所以所以.点睛:(1)参数方程化为普通方程,一般用消参数法,而消参法有两种选择:一是代入法,二是用公式;(2)极坐标方程与直角坐

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