高考数学公式总结

(1)当a〉0时，若x=-二£[〃，/，

数学常用公式及结论2a

则

/Wmin=/(-y-)J'Wmax=max{f(P)J(4)}

1.元素与集合的关

系：xeAox/QA,xwQAox它A・

00AoAw0

X=-AP^]，

2.德摩根公2a

式：，(X)max=皿{/(P)J(9)}，

q(An8)=Q4UQ8;Q(AU8)=QAnGu"3min=,wn{，(P)J(4)}・

3.包含关系(2)当a<0时，若x=—§e[p©],

4•元素个数关系：2a

5.集合{%,%,…吗}的子集个数共则/Wnun=mn{f(p\f(q)},

有2”个；真子正有2"-1个；非空子集若x=--^-^[p,q],则

有2〃-1个；非空的真子集有2”-2个.2a

6.二次函数的解析式的三种形式/(X)max=max{/(〃)"(/}»

(1)一般式/。)=⑪2+灰+或〃工0)；f(X)min=min{/(p)"(g)}・

(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a*0);10・一元二次方程"r)=x2+px+q

(当已知抛物线的顶点坐标(人次)时，=0的实根分布

设为此式)(1)方程f(x)=0在区间(肛+8)内

(3)零点式有根的充要条件为f(tn)<0或

2

/(x)=a(x-x})(x-x2)(a0);(当已知抛p-4q>0

物线与x轴的交点坐标为(40),(%，0)二j；

时，设为此式).2

(4)切线式：(2)方程f(x)=0在区间内有

2

/(x)=a{x-x0)+(Ax+d),(当已根的充要条件为

知抛物线与直线y=b:+d相切且切点/。%)/(〃)<0或

m+nn

的横坐标为“。时，设为此式).----<--<n

7.解连不等式N</(x)vM常有以22

'p2-4q>0或<p2-4q>0;

下转化形式

/w>o/(/w)>0

8.方程ax2+bx+c=0(。工0)在

«次2)内有且只有一个实根，等价于

(3)方程/(x)=0在区间(-co,㈤内

,__b_,

/(勺)/(右)<。或・,<-2^<2•有根的充要条件为/(m)<0或

2

A=Z?2-4ac=0p-4(7>0

9.闭区间上的二次函数的最值乜机.

二次函数/(工)=⑪2+法+或口。0)在2

11•定区间上含参数的不等式恒成

闭区间［p,q］上的最值只能在(

立(或有解)的条件依据

处及区间的两端点处取得，具体如下:(1)在给定区间(-8,+00)的子区间L

(形如[。，⑶，(-8,冽，[a,+oo)不同)对任何存在某P且r2或r

上含参数的不等式(，为参数)X，不成X,成q

恒成立的充要条件是/(观血2A。G乙).

(2)在给定区间(-00,+00)的子区间L14.四种命题的相互关系：

15.充要条件(记p表示条件，,表

上含参数的不等式〃元)3(，为参数)

示结论)

恒成立的充要条件是/(x)2</,(XGL).

(1)充分条件：若pnq,则p是

(3)在给定区间(-8,+8)的子区间

夕充分条件.

L上含参数的不等式/(幻小(f为参数)

(2)必要条件：若q=>p,则p是

的有解充要条件是/(X)max"(/CL).

夕必要条件.

(4)在给定区间(-8,+8)的子区

(3)充要条件：若p=>q,且

间L上含参数的不等式为参

qnp，则〃是4充要条件.

数)有解的充要条件是

f(X)min)・注：如果甲是乙的充分条件，则乙

12•真值表

13•常见结论的否定形式是甲的必要条件；反之亦然.

原

原结论反设词反设词

结10函数的单调性的等价关系

论⑴设W可，石工与那么

a—电)[/(^)-f(x)]>o=

是不是至一个也没有2

/(内)-/但)〉在上是增

少oQ/⑴*，u

有

函数；

个

都是不都是至至少有两个)一)<0o)(幻在木，“上是减

多王一工2

有函数.

(2)设函数y=/(x)在某个区间内

个可导,如果八x)>0,则/(x)为增函数；

大于不大于至至多有如果ra)<o,则/*)为减函数.

少

(H-1)个17.如果函数“X)和g(x)都是减函

有

n数，则在公共定义域内，和函数

个

/(x)+g(x)也是减函数；如果函数

至

小于不小于至少有f(x)和g(X)都是增函数，则在公共定

多

(九+1)个

有义域内，和函数/«+g(x)也是增函数;

个如果函数丁=/(〃)和"=8(X)在其对应

的定义域上都是减函数，则复合函数

对所有存在某p或-P且ry=f[gM]是增函数；如果函数

X,成立X,不q

y=f(U)和〃=gQ)在其对应的定义域

成立

上都是增函数，则复合函数y=〃g*)]

是增函数；如果函数y=/(〃)和M=g(x)y=f(b-mx)的图象关于直线工=空女

在其对应的定义域上一个是减函数而2m

另一个是增函数，则复合函数对称.

y=/［以幻］是减函数・(3)函数y=/(X)和y=/(x)的图

18.奇偶函数的图象特征象关于直线y二x对称.

奇函数的图象关于原点对称，偶函25.若将函数y=f(x)的图象右移

数的图象关于y轴对称;反过来，如果。、上移力个单位，得到函数

一个函数的图象关于原点对称,那么这y=f{x-a)+b的图象；若将曲线

个函数是奇函数;如果一个函数的图象f(X,y)=0的图象右移〃、上移8个单

关于y轴对称,那么这个函数是偶函数位，得到曲线/(x-a,y-»=0的图象.

•19•常见函数的图像：26.互为反函数的两个函数的关系:

20.对于函数f(a)=bo『(b)=ci・

y=(XG/?),f(x-^-d)=f(b-x)1S27.函数y=f(x)与其反函数

成立，则函数f(x)的对称轴是工=等)=01(幻的图像的交点不一定全在直

线y=x上.

两个函数》=/(工+々)与》=/(6-%)的28.几个常见的函数方程

图象关于直线x=*对称.(1)正二匕例函数

2/W=cx=

21•若f(x)=-f(-x+a),则函数f(x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

y=/(幻的图象关于点弓,0)对称；(2)指数函数

f(x)=axo

若/(%)=—/。+幻，则函数

+y)=(y)J⑴=a。o・

),=/(笛为周期为幼的周期函数.

(3)对数函数

22.多项式函数/W=log“Xo

nn］

P(x)=anx+an_^x~+…+%的奇偶性f{xy)=/(x)+f(y),f(a)=1(。>0,。工1)・

多项式函数P(x)是奇函数=尸(幻(4)基函数

的偶次项(即奇数项)的系数全为零.fM=^a<=>f(xy)==a.

多项式函数P(x)是偶函数0P(x)(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数

的奇次项(即偶数项)的系数全为零.g(x)=sinx,

2工函数y=/(x)的图象的对称性f(x-y)=f(x)f(y)-^g(x)g(y)，

(1)函数y=f(x)的图象关于直线29•几个函数方程的周期(约定

x=〃对称a>0)

of(a+x)=f(a-x)<=>f(2a-x)=f(x).(1)/(x)=f(x+a),贝I」f(x)的周

(2)函数y=f(x)的图象关于直线期T二a；

对称of(a+rwc)=(2)f(x+d)=(f(x)0),或

fM

24.两个函数图象的对称性

八］+。)=一工(/。)工0)，贝UfM的周期

(1)函数y=/(x)与函数y=/(T)fW

的图象关于直线x=0(即y轴)对称.T=2a；

(2)函数y=f(itvc-a)与函数

(3)/(x)=l-1(/(x)^0),则35.对数的四则运算法则:若a>

f(x+a)0,aWl,M>0,N>0,则

的周期；

T=3a(1)logd(M/V)=logwM+logw7V;

/(X1)+/Cq)(2)bg“果=log“M-logaN;

(4)/($+x2)=且

)〃

f(a)=1(/(%,)-f(x2)。1,0v|玉一々K2。)(3)log'M*zkg“M(€R);

，贝lj/(x)的周期T=4a；

(4)logNn=—log”N(n,mGR).

30,分数指数累m

巴i36.设函数

n

(1)a=—j=a>0,见〃£N*,且2

f(x)=\ogni(ax+bx+c)(aw0),t己

•若的定义域为则

H>1).A=〃-4ac/(x)R,

,、_巴1a>0且Av。；若“r)的值域为R,则

(2)an=——(a>0,m,neN：且

U。>0,MA>O.

37.对数换底不等式及其推广：设

n>\).

n>m>\>〃>0，。>0，且awl，则

31.根式的性质

(1)l°g〃”(〃+P)<log,"・

(1)即)”=a.

(2)当〃为奇数时，疗=a；(2)logttwlogun<logw(一・

当〃为偶数时，38.平均增长率的问题(负增长时

日=1止卜壮°.p<0)

—a,a<0如果原来产值的基础数为N,平均

32.有理指数基的运算性质增长率为p,则对于时间x的总产值

rsr+s

(1)a-a=a(a>0,r,seQ)•y»有丁=刈1+〃),,

(2)(优39•数列的通项公式与前n项的和

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ).

的关系：n=](数列(qJ

注：若a>0,p是一个无理数，

则球表示一个确定的实数.上述有理

的前n项的和为力=4+/+•••+4),

指数累的运算性质，对于无理数指数早

都适用.40,等差数列的通项公式：

33.指数式与对数式的互化式：

an=a]+(〃-l)d=dn+a}-d{neN〃)；

log”N=boa"=N(a>0,a*1,N>0)•

34.对数的换底公其前n项和公式为：

〃(4+a)n(n-\)

式：log“N=詈”N(白>0,且s=——!----tl=na.+---------a

log,”。n212

机且加工d,,1,、

awl,>0,1,N>0)・=-n+{a,--d)n.

对数恒等式：户*=N(“>0,且

"41•等比数列的通项公式：

"1,N>0)・

4=%/=Sq"(nwN*)；

推论log/，b"=—log匕(〃>0,且

maq

awl,N>0)・其前n项的和公式为

4(7),X

5,r=]\-q或sin(a±/?)=sinacos/7±cosasinp;

cos(a±P)=cosacos/孑sinasinp;

sin(a+/3)sin(a-y^)=sin2cr-sin2p

%=ji-q-(平方正弦公式)；_____

〃q,q=las\na-hbcosa=\la2+trsin(a+e)(

42.等比差数列辅助角9所在象限由点(al)的象限决

{%}:=q%+乩%=b(q*0)的通项公定，iane=')・

式为

b+(n-\)d,q=14&二倍角公式及降幕公式

nn；

an=\bq+(d-b)q-'-d,49.三倍角公式

------:---------,3

9-150.三角函数的周期公式

其前n项和公式为：函数y=sin(ax+0),x£R及函数

nb+n(n-l)d,(q=1)y=cos(cox+(p),xER(A,3,夕为常数，

sn=",,d1-q"d•

(b---)--2-+--且AW0)的周期T二生；函数

\-qq-i\-q⑷

43•分期付款(按揭贷款)：每次还

y=tan(69x+°),k7r+—,keZ(A,

款%=吗”元(贷款。元，〃次还清,

3，e为常数，且AWO)的周期〕二.

\(o\

每期利率为8).

44.常见三角不等式51.正弦定理？：

（吟，则，一=必一=—^=2R(R为AABC外

⑴若xesinx<x<tanx.sinAsinBsinC

接圆的半径).

（2）若xw（O,1），则

252•余弦定理

1<sinx+cosx<V2.a2=b2+c2-2bccosA;

（3）|sinx|+|cosx|>Lb2=(r+a2-2cacosB;

45.同角三角函数的基本关系式：c2=a2+b2-2tz力cosC.

53•面积定理

sin2^+cos2^=l,tan夕二,融’,

cos。(1)S=—ah=—bh=—ch

tan0-cotO=1.2。2b。2c

46.正弦、余弦的诱导公式（奇变(4、4、4分别表示a、b、c边上的

偶不变，符号看象限）高)・

(2)

（一sina,（内为偶数）

——+a)=«

S=—abs\nC=—bcs\nA=—ctzsinB.

（-1）2cosa,5为奇数）222

(3)

（-1产cosa,5为偶数）

9cos/(〃^乃-+a)、=«SAOAB=gj(l砺H函)2-丽西2.

J1+1

（-1）2sina,（〃为奇数）

54•三角形内角和定理

47.和角与差角公式

在△ABC中，有⑶设A®,%),B

A+B+C=Jr<^>C=7C—(A+B)

U2,y2),则

55.简单的三角方程的通解AB=OB-OA=(x2-x],y2-yl)»

特别地,有(4)设M=(x,y),Ae/?，则

56.最简单的三角不等式及其解集2a-(2x,Ay).

57.实数与向量的积的运算律：设(5)设l=(芭加,b=(x2,y2),则

入、口为实数，那么

a•=(x1x2+ylj2).

(1)结合律：入(口(入U)63.两向量的夹角公式

a；

ab_x}x2+yxy2

(2)第一分配律：(入+口)万二人尹同•出广荷；算.总+

Ua；

(5=(%,%),b=(X,3S)).

(3)第二分配律:入(,+5)二:/2

64.平面两点间的距离公式

入b•

58.向量的数量积的运算律：

d=|画=7^示茄

(1)d•b=b•a(交换律)；AB

22

(2)(>1«)•b=2(G・B)=yl(x2-xl)+(y2-y])(A(公弘)，

99

=Ad5=a(Ab);B(孙力))•

=9

(3)(a+b)•cac•c.65•向量的平行与垂直：设

59•平面向量基本定理？

a=(x,y),=(x,y),且5工。,则

如果不、段是同一平面内的两个不1122

a||boB二人a

共线向量,那么对于这一平面内的任一

0匹％72y=0・

向量，有且只有一对实数3、3,使

aA.b(a6)<=>

得日二入田+入渗2.

a•h=0<^>xx+yy=0.

不共线的向量不、&叫做表示这一平[2[2

66•线段的定比分公式：设

面内所有向量的一组基底.

60”),鸟(孙力)，P(%y)是线段

60.向量平行的坐标表示?？

的分点，4是实数，且羽=4两，则

设方=(菁，X),B=(4％)，巨方。"

_$+

则町|B(5/0)Xy-xy=0.

l22i「1+2=格-=

53.G与6的数量积(或内积)：N+31+4

d*b=\a\\b\cos6.p-fu-

61.a-5的几何意义：

OP=fO^+(]-t)O^(/=—)・

数量积M•日等于］的长度京|与日

在M的方向上的投影I，Icose的乘积.67.三角形的重心坐标公式

62.平面向量的坐标运算△ABC三个顶点的坐标分别为

A(xi，y，、B(X,y)>(Xx?,yj,贝!J^ABC

(1)设L=(内,乂),b=(x2,y2),则22

的重心的坐标是

=(演+苍，,+%)・

/M+3+W/+/+%、

(2)设,二(%［，M),B=(x2,y2),则(3'3•

a-b=(xi-x2ty］-y2).6&点的平移公式

注：图形F上的任意一点P(x,y)(4)柯西不等式：

21222

在平移后图形F'上的对应点为(a+b)(c+d)>(ac+bd),a,b,c,dGR.

P{x,y),且方的坐标为(九幻・(5)同_|44,+4«时+阵

69.“按向量平移”的几个结论(6____)

(1)点P(x,y)按向量方二(人用平移』而*JUZ(当且仅当

后得到点P(x+/z,y+攵).a+b2V2

(2)函数y=f(x)的图象C按向量a=b时取“二”号).

]=口女)平移后得到图象C',则C’的函72.极值定理：已知苍y都是正数，

数解析式为y=f(x-h)-\-k.则有

(3)图象C按向量2二(h,k)平移(1)若积孙是定值p,则当x=y

后得到图象。，若。的解析式y=/(x),时和x+y有最小值2y[p；

若和是定值则当

则。.的函数解析式为y=f(x+h)-k.(2)x+ys,

⑷曲线C:/(x,y)=0按向量x=y时积孙有最大值

4二仇外平移后得到图象C',则C'的方4

已知+,若

程为f(x-h,y-k)=O(3)a,b,x,y&R

9则有

(5)向量所=(羽y)按向量值二(/?,2)or+by=1

平移后得到的向量仍然为所=*,y).(4)已知4出S—+—=1

xy

70.三角形五“心”向量形式的充

则有

要条件

73.一元二次不等式

设。为AABC所在平面上一点，角

ax2+bx+c>0(或<0)

AB,C所对边长分别为则

(〃00,△=从一4ac>0),如果〃与

(1)。为MBC的外心

---«2---«2----2o?+法+C同号，则其解集在两根之

<=>OA=OB=OC.

外；如果。与依2+bx+C异号，则其解

(2)。为AABC的重心

集在两根之间.简言之：同号两根之外，

=砺+丽+元=6・

异号两根之间.

(3)O为AABC的垂心

X}<x<x2<=>(X-%1)(x-x2)<0(x,<x2)

<^OAOB=O§OC=OCOA.*

(4)。为MBC的内心

74.含有绝对值的不等式：当a>0

<=>aOA+bOB+cOC=6.

时，有

(5)。为AABC的ZA的旁心

\^\>a<^>x2>c^<^>x>a或

u>aOA=bOB+cOC.

x<—a・

71.常用不等式：

75.无理不等式

(1)A=/+〃226%(当且

[/W>0

仅当时取“二”号).

a=b(i)VTw>Jg3<=><g(x)>o

a

(2)a,bwR*=+b之^[^(当且f(x)>g(x)

2

.(2)

仅当a=b时取“二”号).

(3)

a'+Z>3+c3>3abe(a>0,/?>O,c>0).

/U)>0A、B不同时为0).

f(x)>0

u>,g(x)NO79•两条直线的平行和垂直

2g(x)VO

f(x)>[g(x)](1)若4:y=+4,l2:y=k2x+b2

g(x)>0[/(x)>0①/J|/20K=&，■工/；②

<z>或，•

J(x)>[g(x)][g(x)vO/I_L，2=%#2=

(3)(2)若

[/U)>0《：Ax+gy+G=0,

7/w<g")=，gM>0-、、

/2:A2X+B2y+C2=0,_@LAIA2SBIB2

JM<[g(x)]2都不为零，

76.指数不等式与对数不等式①/|也0劣=叁工6；②

⑴当。>1时,482c2

f(x)s(x)

a>a<=>f(x)>g(x)4_L6oA4+4为=o；

f(x)>080•夹角公式

。

logJ(x)>logg(x)=，g(x)>0.(1)tana=\~~~—|・

/W>g(x)1+V,

(2)当Ovavl时,(/j:丫=审+”,l2:y=k2x+b2,k/2工-1)

af(xy>a8(x)<^>f(x)<g(x)(2)tana"—&耳.(

7(x)>0

4:Ax+4y+C]=0,l:Ax+By+C=0,

log,J。)>log.g(x)=,g。)>02222

f(x)<g(x)A&+4避工0)・

77,斜率公式直线(i/2W,直线上与A的

k=%%（6（和%）、巴（々,必））夹角是全

到的角公式

78•直线的五种方程81./14

（1）点斜式y-y=k（x-x）（直(1)tana=——:y=k.x+b.,

xi111

1+M,

线/过点片（X，y）,且斜率为左）.

4:y=3+%,桃2=T)

（2）斜截式y=^+〃（b为直线/

A与一&片

在y轴上的截距）.⑵tana

AA,+B[Bi

（3）两点式

4:Ax+4y+G=0,

-^L=-^L（y产为）（4（%，y）、

必一凹与一当l2:A2x+B2y+C2=0,W+BXB2^0).

鸟。2，乂）（X工工2，,。必））.直线时，直线/到h

两点式的推广：的角是上.

*2—F）（y-y）-（%-y）（%-5）=0（无任2

四种常用直线系方程及直线系

何限制条件！）82.

与给定的线段相交：

（4）截距式±+上=1（%人分别（1）定点直线系方程：经过定点6（为,%）

ab

为直线的横、纵截距，〃工0、人工0）的直线系方程为y-%=2（x-/）（除直线

（5）一般式Ar+By+C=0（其中4二为），其中人是待定的系数；经过定点

£(%,%)的直线系方程为

{A.x+B.y+C,B2y+C2)>0或<0

4%-%)+5(卜一%)=0,其中48是待定的所表示的平面区域

系数.

(i4Ix+S1^4-C1)(A,x+B2y+C2)>0或

(2)共点直线系方程：经过两直线

<0所表示的平面区域是两直线

/[：4X+8])，+G=°，

4%+4)，+G=0和\x+By+C=0所

1：&X+=0的交点的直线系方程为22

2展的对顶角区域：上下或左右两部分)

(A1x+Bly4-CI)+2(A2x+B2y+C2)=0(除

圆的四种方程

»其中人是待定的系数.86.

(1)圆的标准方程

(3)平行直线系方程：直线

(x-a)2+(y-b)2=r2.

y=Ax+b中当斜率k一定而b变动

(2)圆的一般方程

时，表示平行直线系方程.与直线

x2+y2+Dx+Ey+F,=O(D2+E2-4F>

Ax+By+C=0平行的直线系方程

0).

是Ar+5)，+2=0(4m0),人是参变

(3)Iff的参数方程

量.

x=a+rcosO

(4)垂直直线系方程：与直线

y=b+厂sin6

Ax+By+C=0(AWO,BW0)垂直

(4)圆的直径式方程

的直线系方程是取-4)，+/1=0,入

(x-x)(j-x)+(y-y)(y-y)=O(圆的直径的

是参变量.1212

端点是他/)、8(孙)，2)).

(5)直线系F(x,y,2)=0与线段

87.圆系方程

AB,A(xvyi\B(x2iy2)相交

(1)过点4孙巧),BQ2,%)的圆

<=>?(%,为分尸(鸟)，2，力40・

系方程是

83.点到直线的距离：

A=(工一%)。一工2)+(丁一)%)(>-%)+4(奴+刀+。)=0

d=1yf，(点p(/,丁)，直线/：

。*，其中⑪+初+c=0是直线A8的方程，入是

22

VA+B待定的系数.

Ax+By+C=0).(2)过直线/:Ax+By+C=O与圆

84.Ar+8y+C>0或<0所表不的C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系

平面区域方程是

设