§3.1-3.2-表示力学量的算符-动量算符和角动量算符

第三章量子力学中的力学量本章要求1了解希耳伯特空间,态矢量,内积等概念,了解算符的性质和运算规则。2掌握动量算符的本征值方程及其本征函数的箱归一化问题。3掌握角动量算符的本征值方程、本征函数（球谐函数）及本征值问题。掌握角动量算符的对易关系。4掌握氢原子的量子力学处理方法和相关的结果。了解氢原子内电子坐标取值的概率分布、电流密度分布和原子磁矩的概念。5掌握厄密算符的性质：本征值为实数，本征函数的正交性和完备性。6理解和掌握测不准关系。教学内容

§1表示力学量的算符§2动量算符和角动量算符§3电子在库仑场中的运动§4氢原子§5厄密算符的本征值与本征函数§6算符与力学量的关系§7共同本征函数§8测不准关系（一）算符定义（二）算符的一般特性§1算符的运算规则代表对波函数进行某种运算或变换的符号Ôu=v表示

Ô

把函数u

变成

v，Ô就是这种变换的算符。1）du/dx=v，

d/dx

就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，

x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：（一）算符定义（1）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2，其中c1,c2是任意复常数，

ψ1,ψ1是任意两个波函数。（2）算符相等开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（二）算符的一般特性若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=

Ûψ，则算符Ô

和算符Û

相等，记为Ô=Û。（3）算符之和显然，算符求和满足交换率和结合率。可以证明线性算符之和仍为线性算符。若两个算符Ô、Û之和定义为：对体系的任何波函数ψ有：(Ô＋Û)ψ=Ôψ+Ûψ（4）算符之积一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。对易关系算符之积定义为：对于任意波函数ψ，有(ÔÛ)ψ=Ô(Ûψ)写成通式:量子力学中最基本的对易关系（5）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：

[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ不难证明对易括号满足如下对易关系：

1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0

上面的第四式称为

Jacobi恒等式。（6）逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出

ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则

ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1单位算符I:IΨ=Ψ,Ψ为任意波函数设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（8）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭。例如:坐标表象中（7）算符函数利用波函数标准条件:当|x|→∞时ψ,

→0。由于ψ、φ是任意波函数,

所以同理可证:（9）转置算符(10)厄密共轭算符由此可得：算符Ô之厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:(Ô

Â)+=Â+

Ô+

(Ô

ÂÛ...)+=...Û+

Â+

Ô+(11)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.性质I:

两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质II:

两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为

(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当

[Ô,Û]=0

成立时,

(ÔÛ)+=ÔÛ

才成立。

1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。是线性算符

不是线性算符

是线性算符

2．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。不是厄米算符。是厄米算符。

§3.1表示力学量的算符一、算符１、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。２、算符的本征值方程３、算符的例子<1> 动量算符： 分量式： 动量算符表示动量这个力学量。<2> 坐标算符：<3> 哈密顿算符：经典的哈密顿函数：，将代入中：<4> 量子力学中力学量用算符表示的规则： 如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量的算符由经典表示式中将换为算符而得出：例如，角动量算符：量子力学中的角动量算符：角动量算符三、力学量用厄米算符表示(Hermitoperator)１、当体系处于定态，即哈密顿算符的本征态时，能量有确定值，即本征值。当体系处于动量算符的本征态时，动量有确定值，这个值即在态中的本征值。２、算符表示力学量，当体系处于的本征态时，力学量有确定值，这个值即在态中的本征值。因为所有力学量的数值都是实数，而表示力学量的算符的本征值就是测量此力学量的可能值，所以，表示力学量算符的本征值必须为实数。什么类型的算符，本征值为实数？３、厄米算符量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。定义：若则称为厄米算符。式中代表所有变量，积分范围为所有变量变化的整个区域。４、证明厄米算符的本征值是实数。证：验证：坐标算符和动量算符是厄米算符。坐标值为实数，对动量算符的一个分量，有分部积分例3、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？①

②

③

④

⑤

①

②

③

④

⑤

(1)（2）利用基本对易关系证明:(3)(4)（一）动量算符

（1）动量算符的厄密性 （2）动量本征方程 （3）箱归一化（二）角动量算符

（1）角动量算符的形式 （2）角动量本征方程 （3）角动量算符的对易关系 （4）角动量升降阶算符§2动量算符和角动量算符（一）动量算符（1）动量算符的厄密性使用波函数在无穷远处趋于零的边界条件。（2）动量本征方程其分量形式：证：由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。I.求解这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。如果取|c|2(2π

)3=1则ψp(r)就可归一化为δ-函数。解之得到如下一组解：于是：

II.归一化系数的确定采用分离变量法，令：代入动量本征方程且等式两边除以该式，得：xyzAA’oL（3）箱归一化在箱子边界的对应点A,A’上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件这表明，px

只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。所以c=L-3/2，归一化的本征函数为：波函数变为这时归一化系数c可由归一化条件来确定：讨论：（1）由px

=2nx

/L,py

=2ny

/L,pz

=2nz

/L, 可以看出，相邻两本征值的间隔

p=2

/L与L 成反比。当L选的足够大时，本征值间隔可任意小， 当L

时，本征值变成为连续谱。（2）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱 归一化为

函数（3）

p(r)×exp[–iEt/

]就是自由粒子波函数，在它所描 写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算 符在这个态中的本征值。（二）角动量算符（1）角动量算符的形式根据量子力学基本假定III，量子力学角动量算符为:(I)直角坐标系角动量平方算符经典力学中，若动量为p，相对点O的位置矢量为r的粒子绕O点的角动量是：（2）角动量算符的对易关系证明：

由于角动量平方算符中含有关于x，y，z偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.球坐标这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函数）都有：将上面结果代回原式得：则角动量算符在球坐标中的表达式为：（2）本征方程(I)Lz的本征方程求归一化系数正交性：I。波函数有限条件，要求

z

为实数；II。波函数单值条件，要求 当φ转过2π角 回到原位时波函数 值相等，即：合记之得正交归一化条件：最后得Lz

的本征函数和本征值：讨论：厄密性要求第一项为零所以则这正是周期性边界条件(II)L2的本征值问题L2

的本征值方程可写为：为使Y(

,

)在

变化的整个区域(0,π)内都是有限的，则必须满足：

=

（

+1),其中

=0,1,2,...其中Y(

,

)是L2属于本征值

2的本征函数。此方程就是大家熟悉的球谐函数方程，其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述，得到的结论是：该方程的解就是球函数Ylm(

,

)，其表达式：归一化系数，由归一化条件确定其正交归一条件为：具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，