2019届江苏专用高考数学大一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合讲义理苏教版

§10.2排列与组合基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.排列与组合的概念知识梳理名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照

排成一列组合并成一组一定的顺序2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的

的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用

表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的

的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用

表示.所有排列所有组合3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＝_______________________＝性质(1)0！＝

；

＝___

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！＝_____________判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(

)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(

)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(

)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(

)思考辨析√××√√√考点自测由题意可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有

种情况，再将剩下的4个数字排列得到

种情况，则满足条件的五位数有 (个).1.(2016·四川改编)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____.答案解析72“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为

＝4×3×2＝24.2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为____.答案解析243.(2016·苏州模拟)安排6名歌手的演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则排法的种数为_____.答案解析先全排列有

，甲、乙、丙的顺序有

，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，共4种顺序，所以不同排法的种数为 .4804.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有___种.答案解析14∴不同的选派方案有8＋6＝14(种).5.(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为____.答案解析48题型分类深度剖析题型一排列问题例1

(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有_______种不同的排法.答案解析问题即为从7个元素中选出5个全排列，2520(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有____种.答案解析216引申探究1.本例(1)中，若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解答2.本例(1)中，若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有

种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有

种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有

种排法.根据分步计数原理，共有 (种)排法.解答3.本例(1)中，若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？不相邻问题(插空法)：先安排女生共有

种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有

种排法，故共有 (种)排法.解答4.本例(1)中，若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有

＝5(种)排法；再安排其他人，有

＝720(种)排法.所以共有 (种)排法.解答排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.思维升华跟踪训练1由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数.求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？解答(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？解答题型二组合问题例2

(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是_____.答案解析66因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有 (种)不同的取法.(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有___种不同选法.只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有

＝36(种)不同的选法.36答案解析引申探究1.本例(2)中，若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解答2.本例(2)中，若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解答3.本例(2)中，若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解答组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.思维升华跟踪训练2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？从余下的34种商品中，选取2种有

＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.解答(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.解答(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？解答∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？解答∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解答∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻问题例3

(2017·扬州月考)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法种数为___.答案解析36命题点2相间问题例4某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是______.答案解析120先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有 (种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有 (种)安排方法.由分类计数原理知共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例5

(2016·常州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有____个.51答案解析分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有

＝6(个)；第二类，只有2或3其中的一个，需从1,4,5中选两个数字组成三位数，有 (个)；第三类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成 (个).由分类计数原理，知这样的三位数共有51个.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列.(2)相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用.(3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置.(4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数.思维升华跟踪训练3

(1)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为____.150答案解析(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有_____种.100答案解析先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有

(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种).现场纠错纠错心得(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件.(2)解题时要细心、周全，做到不重不漏.错解展示典例有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种.排列、组合问题现场纠错系列12答案

2736返回解析

方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理，知有 .方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：

＝1136(种).答案

1136返回课时作业1.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为____.答案解析2412345678910111213142.(2016·镇江模拟)某同学忘记了自己的QQ号，但记得QQ号是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为____.答案解析根据题意，其QQ号共由6个数字组成，将这6个数字全排列，有

种情况，而这6个数字中有两个5和两个8，则共可以组成

＝180(个)六位数，那么他找到自己的QQ号最多尝试180次.18012345678910111213143.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有____种.答案解析96由分步计数原理，知实验编排共有2×48＝96(种)方法.12345678910111213144.将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有____种.答案解析40由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，12345678910111213145.(2017·南京质检)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为____.90答案解析123456789101112131412345678910111213146.(2016·南京师大附中模拟)用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为___.答案解析首先排两个奇数1,3，有

种排法，再在2,4中取一个数放在1,3排列之间，有

种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有

种排法，即满足条件的四位数的个数为 .812345678910111213147.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.(用数字作答)答案解析541234567891011121314第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有

＝18(种)；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有

＝36(种).根据分类计数原理可得，共有36＋18＝54(种).12345678910111213148.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有___种.(用数字作答)答案解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共

种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有

种分法.总获奖情况共有 60(种).601234567891011121314答案解析9.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有___种.先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有

种摆法，而A，B可交换位置，所以有

＝48(种)摆法，又当A，B相邻且又满足A，C相邻，有＝12(种)摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36(种).36123456789101112131410.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有____种.答案解析把g、o、o、d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有

种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为

＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有

－1＝12－1＝11(种).11123456789101112131411.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有____种.(用数字作答)从左往右看，若C排在第1位，共有

＝120(种)排法；若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，共有

＝72(种)排法；若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，共有 48(种)排法；若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法.480答案解析123456789101112131412.2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码中选择.公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数.解答1234567891011121314①当后四位数恰有2个6时，“金猴卡”共有

×9×9＝486(张)；②当后四位数恰有2个8时，“金猴卡”也共有

×9×9＝486(张).但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉

＝6，即“金猴卡”共有486×2－6＝966(张).123456789101112131413.有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？解答1234567891011121314设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A