2019届江苏专用高考数学大一轮复习第十四章选考部分14.3坐标系与参数方程第二课时参数方程讲义理苏教版

§14.3坐标系与参数方程第2课时参数方程基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以

从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么

就是曲线的参数方程.知识梳理通过消去参数2.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)_________________________圆____________椭圆______________________x2＋y2＝r2双曲线抛物线y2＝2px(p>0)考点自测将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.解答直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.解答3.已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 (t为参数)上，求PF的值.解答将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知PF＝3－(－1)＝4.解答题型分类深度剖析题型一参数方程与普通方程的互化例1

(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；解答由x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.解答消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.思维升华解答因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．解答直线l的普通方程为x－y－a＝0，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.题型二参数方程的应用(1)求直线l和圆C的普通方程；直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.解答(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解答因为直线l与圆C有公共点，已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.思维升华解答曲线C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0).曲线C2的普通方程为x－y－1＝0.∴曲线C1与C2的交点坐标为(2,1).题型三极坐标方程和参数方程的综合应用例3

(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

解答极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解答曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcos

θ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcos

θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a＝1.在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.思维升华(1)求圆心的极坐标；解答由圆C的极坐标方程为即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.∴圆心坐标为(1，－1)，(2)求△PAB面积的最大值.解答课时作业解答12345678910∴x＝0或x＝1.∴所截得的弦长为2.12345678910解答12345678910直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，直线与圆相切，123456789103.(2016·苏州模拟)已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程：

(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程.解答∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.123456789104.(2015·湖北)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲解答线C的参数方程为 (t为参数)，l与C相交于A，B两点，求AB的长.12345678910直线l的极坐标方程ρ(sinθ－3cosθ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，12345678910123456789105.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρsin(θ＋)＝2，求曲线C1与曲线C2的交点个数.解答曲线C1，C2化为普通方程和直角坐标方程分别为x2＝2y，x＋y－4＝0，所以方程有两个实数解.故曲线C1与曲线C2的交点个数为2.123456789106.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

解答(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.12345678910123456789107.(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin

＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；解答12345678910(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.因为C2是直线，所以PQ的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，解答12345678910解答(1)当α＝

时，求C1与C2的交点坐标；12345678910C2的普通方程为x2＋y2＝1，12345678910解答(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.12345678910依题意，C1的普通方程为xsin

α－ycos

α－sinα＝0，则A点的坐标为(sin2α，－sinαcos

α)，故当α变化时，12345678910解答(1)求圆C的直角坐标方程；12345678910又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ，12345678910(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ－)的公共点，求

x＋y的取值范围.解答12345678910所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范围是[－2,2].1234567891010.(2016·江苏命题研究专家原创题)在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－4