2024年华东师大版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年华东师大版高一数学上册月考试卷856考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、若函数是函数且的反函数，其图象经过点则A.B.C.D.2、等差数列的前项和分别为若=则=时＝（）A.无解B.6C.2D.无数多个3、随着计算机技术的不断发展；电脑的性能越来越好，而价格又在不断降低，若每隔两年电脑的价格降低三分之一，则现在价格为8100元的电脑在6年后的价格可降为（）

A.300元。

B.2400元。

C.2700元。

D.3600元。

4、【题文】若a,b是任意实数,且a>b,则()A.a2>b2B.<1C.lg(a-b)>0D.()a<()b5、【题文】一个正四棱锥的正(主)视图如右图所示；该四棱锥侧面积和体积分别是（）

A.B.C.D.6、【题文】已知函数的图象如图所示，则的大致图象可以是图中的（）

7、【题文】已知为全集，都是的子集，且则（）A.B.C.D.8、若直线经过两点，则直线的倾斜角为()A.B.C.D.9、非零向量a鈫�b鈫�

满足|b鈫�|=2<a鈫�b鈫�>=30鈭�

且对?娄脣>0

且|a鈫�鈭�娄脣b鈫�|鈮�|a鈫�鈭�b鈫�|

恒成立，则a鈫�?b鈫�=(

)

A.4

B.23

C.2

D.3

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是____三角形．11、不等式3x+2＜31-x的解集是____．12、若函数f（x）=x2+px+q满足f（3）=f（2）=0，则f（0）=____．13、【题文】构造一个满足下面三个条件的函数实例；

①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值；

这个函数为____.14、【题文】在平面直角坐标系中，若与点的距离为1且与点的距离为3的直线恰有两条，则实数的取值范围为________．15、有五根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9（cm）．从中任取三根，能搭成三角形的概率是______．16、设函数f(x)=(sinx+1)2sin2x+1

的最大值为M

最小值为m

则M+m=

______．评卷人得分三、计算题(共5题，共10分)17、已知扇形的圆心角为150°，半径为2cm，扇形的面积是____cm2．18、已知a：b：c=4：5：7，a+b+c=240，则2b-a+c=195．19、（2009•镜湖区校级自主招生）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=4，CD=2，对角线AC与BD交于点M．则点M到BC的距离是____．20、设，c2-5ac+6a2=0，则e=____．21、分别求所有的实数k，使得关于x的方程kx2+（k+1）x+（k-1）=0

（1）有实根；

（2）都是整数根．评卷人得分四、证明题(共4题，共16分)22、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．23、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．24、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．25、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分五、作图题(共3题，共18分)26、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．27、作出函数y=的图象．28、请画出如图几何体的三视图．

评卷人得分六、综合题(共2题，共18分)29、已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．

（1）求直线和抛物线解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．30、已知抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点在直线y=-上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α2+β2=10．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设这个抛物线与y轴的交点为P；H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；

（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】试题分析：方法一：因为函数是函数的反函数，所以又的图象经过点所以解得答案选B；方法二（验算法）将四个选项依次检验，只有选项B满足条件，故答案选B.考点：反函数的性质【解析】【答案】B2、C【分析】试题分析：因为所以当时，解得故C正确。考点：1等差中项；2等差数列的前项和。【解析】【答案】C3、B【分析】

由题意可知：现在电脑的价格为8100元；

第二年时电脑的价格应该为8100×（1-）元；

第四年时电脑的价格应该为8100×（1-）2元；

第2（n-1）年时电脑的价格应该为8100×（1-）n-1-元；

∴电脑的价格是一个a1=8100，公比q=的等比数列；

∴第六年时电脑的价格应该为a4=8100×3=2400元；

故选B．

【解析】【答案】仔细阅读题意便可发现电脑的价格是首相a1=8100，公比q=的等比数列；根据等比数列第n项的求法便可得出答案．

4、D【分析】【解析】取a=1,b=-2,易知A错误,取a=-1,b=-2,易知B和C都错误,从而只有D正确.【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】

试题分析：侧面三角形的高为侧面积为体积为

考点：三视图，棱锥侧面积与体积公式.【解析】【答案】B6、A【分析】【解析】

试题分析：原函数图像在区间为直线；导数值为常数，由此可确定A项正确。

考点：函数图象与导函数图象。

点评：原函数的增区间导数值为正，原函数的减区间导数值为负，原函数的极值点处导数为零【解析】【答案】A7、D【分析】【解析】

试题分析：由题意知，所以

考点：本小题主要考查集合的运算和集合的关系.

点评：考查集合关系和运算时，要借助于韦恩图或数轴进行.【解析】【答案】D8、C【分析】【解答】直线的斜率直线AB的倾斜角是9、A【分析】解：根据条件，对|a鈫�鈭�娄脣b鈫�|鈮�|a鈫�鈭�b鈫�|

两边平方得：

a鈫�2鈭�2娄脣a鈫�鈰�b鈫�+4娄脣2鈮�a鈫�2鈭�2a鈫�鈰�b鈫�+4

隆脿2娄脣2鈭�(a鈫�鈰�b鈫�)娄脣+a鈫�鈰�b鈫�鈭�2鈮�0

设f(娄脣)=2娄脣2鈭�(a鈫�鈰�b鈫�)娄脣+a鈫�鈰�b鈫�鈭�2鈻�=(a鈫�鈰�b鈫�鈭�4)2

又二次函数f(娄脣)

的对称轴为x=a鈫�鈰�b鈫�4=2|a鈫�|cos30鈭�4>0

则要使得f(娄脣)鈮�0

恒成立，则鈻�=0

隆脿a鈫�鈰�b鈫�=4

．

故选：A

．

由条件可对不等式|a鈫�鈭�娄脣b鈫�|鈮�|a鈫�鈭�b鈫�|

两边平方并整理便可得出2娄脣2鈭�(a鈫�鈰�b鈫�)娄脣+a鈫�鈰�b鈫�鈭�2鈮�0

可设f(娄脣)=2娄脣2鈭�(a鈫�鈰�b鈫�)娄脣+a鈫�鈰�b鈫�鈭�2

可求该二次函数的判别式和对称轴，从而可判断出要满足条件，需鈻�=0

这样便可求出a鈫�鈰�b鈫�

的值．

考查向量数量积的运算及计算公式，不等式的性质，以及二次函数的判别式取值情况和二次函数值的关系，要熟悉二次函数的图象．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

由正弦定理可得2acosB=c，又由余弦定理可得cosB=

∴cosB=∴a2=b2；

故a=b；故△ABC一定是等腰三角形；

故答案为：等腰．

【解析】【答案】由正弦定理可得2acosB=c，由余弦定理可得cosB=可得化简可得a=b；进而可得答案．

11、略

【分析】

∵不等式3x+2＜31-x；

∵y=3x是一个递增函数；

∴x+2＜1-x，⇒x＜．

所以不等式的解集为：{x|x＜}

故答案为：{x|x＜}．

【解析】【答案】底数为3；根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系，得到未知数的范围．

12、略

【分析】

因为f（3）=f（2）=0，所以得到x1=2，x2=3为方程x2+px+q=0的两个解；

根据根与系数的关系得：2+3=-p；2×3=q；

即p=-5；q=6；

所以f（x）=x2-5x+6

则f（0）=6

故答案为6

【解析】【答案】由f（3）=f（2）=0；代入可得p和q的值，即可求出f（0）．

13、略

【分析】【解析】是偶函数，在区间上递减，并且有最小值0.【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】解：根据题意，从5根木棒中任取3根，有C53=10种情况；

其中能构撘成三角形的有3；5、7；3、7、9，5、7、9，共3种情况；

则能搭成三角形的概率为

故答案为．

由组合数公式可得从5根木棒中任取3根的情况数目；由三角形的三边关系分析可得取出的三根可以搭成三角形的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

本题考查等可能事件计算，涉及三角形三边的关系，关键是分析出可以成三角形的情况．【解析】16、略

【分析】解：由题可知t=sinx隆脢[鈭�1,1]

则y=f(x)=1+2tt2+1

令z=2tt2+1

则当t=0

时z=0

且函数z

为奇函数；

所以zmax+zmin=0

又因为M+m=(1+zmax)+(1+zmin)

所以M+m=2+(zmax+zmin)=2

故答案为：2

．

通过换元可知y=f(x)=1+2tt2+1

其中t=sinx隆脢[鈭�1,1]

利用z=2tt2+1

为奇函数可知zmax+zmin=0

进而M+m=(1+zmax)+(1+zmin)=2

．

本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的奇偶性，注意解题方法的积累，属于中档题．【解析】2

三、计算题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】根据扇形的面积=，直接进行计算即可解答．【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式；得

S扇==π（cm2）．

故答案为．18、略

【分析】【分析】设a=4x，则b=5x，c=7x，再代入求出x，从而得出a，b，c的值，再代入所求的代数式进行计算即可．【解析】【解答】解：∵a：b：c=4：5：7；

∴设a=4x，则b=5x；c=7x；

∵a+b+c=240；

∴4x+5x+7x=240；

解得16x=240；

即x=15；

∴a=60，b=75；c=105；

∴2b-a+c=2×75-60+105=195．

故答案为195．19、略

【分析】【分析】过M点作MN⊥BC，利用平行线的性质得到AB、CD、MN之间的关系后代入后即可求得M到BC的距离．【解析】【解答】解：如图；过M点作MN⊥BC于N；

由平行线的性质可得；

∴可求得MN=

故答案为．20、略

【分析】【分析】根据题意，将等式c2-5ac+6a2=0两边同时除以a2，得出关于e的一元二次方程，求解即可．【解析】【解答】解：∵c2-5ac+6a2=0；

∴（c2-5ac+6a2）÷a2=0；

即（）2-5×+6=0；

∵；

∴e2-5e+6=0

因式分解得；（e-2）（e-3）=0；

解得e=2或3．

故答案为2或3．21、略

【分析】【分析】（1）分类讨论：当k=0，方程变为：x-1=0，解得x=1；当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1，则-3k2+6k+1≥0，利用二次函数的图象解此不等式得≤k≤；最后综合得到当≤k≤时；方程有实数根；

（2）分类讨论：当k=0，方程变为：x-1=0，解得方程有整数根为x=1；当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1=-3（k-1）2+4，要使一元二次方程都是整数根，则△必须为完全平方数，得到k=1，2，-，k=1±；然后利用求根公式分别求解即可得到k=1、2、-时方程的解都为整数．【解析】【解答】解：（1）当k=0；方程变为：x-1=0，解得x=1；

当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1；

当△≥0，即-3k2+6k+1≥0，方程有两个实数根，解得≤k≤；

∴当≤k≤时；方程有实数根；

（2）当k=0；方程变为：x-1=0，解得方程有整数根为x=1；

当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1=-3（k-1）2+4；

一元二次方程都是整数根；则△必须为完全平方数；

∴当△=4，则k=1；当△=1，则k=2；当△=时，k=-；当△=0，则k=1±；

而x=；

当k=1；解得x=0或-2；

当k=2，解得x=-或-1；

当k=-；解得x=2或4；

当k=1±；解得x都不为整数，并且k为其它数△为完全平方数时，解得x都不为整数．

∴当k为0、1、-时方程都是整数根．四、证明题(共4题，共16分)22、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．23、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．24、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．25、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．五、作图题(共3题，共18分)26、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．27、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可28、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．六、综合题(共2题，共18分)29、略

【分析】【分析】（1）由直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，列方程组求k、m的值，再把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式求a、b；c的值；

（2）存在．根据O、A、B三点坐标求△OAB的面积，再由S△OCD=2S△OAB=12，求D点纵坐标，代入抛物线解析式求D点纵坐标．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=kx+4过A（1；m），B（4，8）两点；

∴，解得；∴y=x+4；

把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得，；

∴y=-x2+6x；

（2）存在．设D点纵坐标为h（h＞0）；

由O（0，0），A（1，5），B（4，8），可知S△OAB=6；

∴S△OCD=2S△OAB=12，×6×h=12；解得h=4；

由-x2+6x=4，得x=3±；

∴D（3+，4）或（3-，4）．30、略

【分析】【分析】（1）把顶点A的坐标代入直线的解析式得出c=a+；根据根与系数的关系求出c=1-3a，得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）求出P、B、C的坐标，BC=4，根据sin∠BCP==，和HK∥BP，得出=，求出PK=t；过H作HG⊥PC于G，根据三角形的面积公式即可求出答案；

（3）根据S=-（t-2）2+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到点K的坐标，设所求直线的解析式为y=kx+b，代入得到