大一微积分考前复习2

总复习二第二章极限与连续

1、正确理解数列极限与函数极限的定义，能用定义证明简单函数的极限.

2.

熟练掌握极限存在的充要条件，会用充要条件判定分段函数在分段点的极限的存在性.证明因为所以不存在

例1、证明

不存在

设则有(2)(3)(4)(1)3熟练掌握极限的四则运算法则熟练掌握极限存在的准则.

准则I设函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的某空心邻域内满足条件（1）

g(x)≤f(x)≤h(x)（2）则有准则II单调有界数列必有极限.5、熟练掌握重要极限

(1)用四则运算法则求极限.(2)用“适当变型法”求极限.(3)用重要极限求极限.(4)用无穷小量的性质求极限.(5)用极限存在的充要条件来确定分段函数在分段点处的极限.6、熟练掌握求极限的方法

7.理解无穷小量与无穷大量的定义。

(1)以零为极限的变量叫做无穷小量.(2)绝对值可以无限增大的变量叫做无限大量.8.熟记无穷小的性质，熟练掌握用性质求极限的方法.

性质1有限个无穷小量的和是无穷小量.

性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量.

性质3有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.设f(x)和g(x)为同一变化过程中的无穷小量，

(1)如果0<K<＋∞，则称f(x)和g(x)为此变化过程中的同阶无穷小量；

(2)如果K＝0，则在此变化过程中，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小量，简称f(x)是g(x)的高阶无穷小量，记作f(x)＝o(g(x))；

(3)如果K＝∞，则在此变化过程中，称f(x)是比g(x)低阶的无穷小量，简称f(x)是g(x)的低阶无穷小量.9.理解无穷小的阶的概念，会比较无穷小的阶.

一些常见的等价无穷小量例2、求下列各极限

(1)解

(2)解

(3)解

(4)解

(5)解

(6)解

(7)解

(8)解若

求k的值所以当x3时

x3与x2

2xk是同阶的无穷小量

因此k3

例3、

解因为例4、

当x

0时

无穷小量xsin

x2是x的几阶无穷小量？所以当x0时

xsin

x2与x是等价无穷小量

解因为1、

下列极限存在的有()

(B)

(C)

(D)例5、选择题

(B)

(C)

(D)

(A)

(A)

提示

答A

2

下列极限不正确的是().

(A)不存在

这是因为

(B)当x0

时

(C)当x0

时

(D)当x

时

(B)

(C)

(D)(A)答

A

3

f(x)在点x

x0处有定义

是当x

x0时

f(x)有极限的()

(A)必要条件

(B)充分条件

(C)充分必要条件

(D)无关的条件

答

D

函数f(x)在x0点的极限与函数f(x)在x0点的定义情况无关

(A)1

(B)0

(C)2

(D)答

C

十、函数在一点连续的定义；

定义1设函数)(xf在)(0xUd内有定义,如果0lim0=D®Dyx

,则称函数)(xf在点0x连续。

定义2设函数)(xf在)(0xUd内有定义,如果

,则称函数)(xf在点0x连续。

2.间断点—函数的不连续点十一．初等函数的连续性

(1)、连续函数经过有限次四则运算后得到的函数仍为连续函数．

(2)、连续函数经过有限次复合运算后得到的复合函数仍为连续函数．

(3)、严格单调的连续函数的反函数仍为严格单调的连续函数．

(4)、基本初等函数在其定义域内连续．

(5)、一切初等函数在其定义区间内都连续。十二．闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续，则(1)有界性定理：若函数它在上有界．

(2)最大值和最小值定理：若函数在闭区间上连续，则它在上必能取得最大值和最小值．

(3)介值定理：若函数在闭区间上连续，则它必取得介于端点函数值f（a）与f（b）之间的一切值C.(4)根的存在定理：若函数在闭区间上连续，且，则方程在（a,b）内至少。有一个实根例6、证明下列函数y3x2

1在(

)内是连续函数。从而y3x2

1在(

)内是连续函数

解因为所以y3x21在(

)内任意点处都连续

例7、函数在其定义域内是否连续？

解、函数的定义域为[

3,3]

因为f(1)

|

1|

1

而所以函数在x1处不连续因此函数在定义域内不连续

例8、解因为所以令f(0)1能使f(x)在点x0处连续给f(0)补充定义一个什么数值

能使在点x0处连续？例9、设问当k为何值时

函数f(x)在其定义域内连续？解因为函数在区间(,0)和(0,)内是连续，所以当k1时

函数f(x)在其定义域内连续又在x0处

f(0)k

f(00)

f(00)

1，例10、设解因为函数在区间(,0)和(0,)内是连续，所以函数f(x)在x0处是连续的

问当k为值时

函数f(x)在其定义域内连续？所以当k2时

函数f(x)在其定义域内连续

又当k2时

f(0)2

并有例11、证明方程y

x4

3x2

7x

10在(1

2)内至少有一个实根证明设f(x)x4

3x2

7x

10

则f(x)是闭区间[12]上的连续函数，且f(1)5

0

f(2)18

0。根的存在定理知

至少有一点x

(1

2)使f(x)0

即方程y

x4

3x2

7x

10在(1

2)内至少有一个实根例12、解因为是初等函数且在x

0有定义求所以例13、选择题

(A)是连续函数

(B)有界函数

(C)有最大值与最小值

(D)有最大值无最小值

函数在x0处取得最大值

无最小值

所以(D)是正确的

1、

当|x|1时

()

答

A

B

D

是初等函数

在其定义域[1,1]内是连续有界当然在(1,1)内也是连续的有界的

所以(A)、(B)正确

(A