高考数学总复习《圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题》专项测试卷（含答案）

第第页高考数学总复习《圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题》专项测试卷（含答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1、（2023年全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．2、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．3、

【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AFA．2 B．22 C．3 D．32

4、【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于MA．52 B．32 C．1325、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形6、【2022年新高考1卷】（多选题）已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于PA．C的准线为y=−1 B．直线AB与C相切C．|OP|⋅|OQ|>|OA2 D．7、【2022年新高考2卷】（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)A．直线AB的斜率为26 B．C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．9、【2022年全国甲卷】记双曲线C:x2a2−y2b210、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______..题组一、双曲线的离心率1-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．31-3、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______．题组二、双曲线与抛物线的性质2-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选题）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．52-2、（2023·江苏南京·校考一模）已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为__________．2-3、（2023·山西·统考一模）已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为______.2-4、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（

）A．2 B．4 C． D．题组三、抛物线、双曲线、椭圆的综合应用3-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．3-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知P为抛物线上的动点，为坐标原点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，则（

）A．的最小值为4B．若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8C．若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值3-3、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______．1、（2023·江苏南通·统考一模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（

）A． B．C． D．2、（2022·山东青岛·高三期末）已知坐标原点为，双曲线的右焦点为，点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．3、（2022·湖北襄阳·高三期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）（多选题）已知，是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（

）A．直线过焦点时，最小值为2B．直线过焦点且倾斜角为60°时（点在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：5、（2023·安徽·统考一模）（多选题）已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（

）A．的准线方程为 B．点为线段的中点C．直线与相切 D．在点处的切线与直线平行6、（2023·江苏南京·校考一模）抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2＋y2﹣6x＝0截得的弦长为_______．7、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为___________.8、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________．参考答案1、（2023年全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D2、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.3、

【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AFA．2 B．22 C．3 D．【答案】B【解析】由题意得，F1,0，则AF即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2所以AB=故选：B

4、【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，NA．52 B．32 C．132【答案】C【解析】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G所以OG⊥NF1，因为cos∠所以OG=a，OF1=c，GF由cos∠F1NF2=35在△F2=sin由正弦定理得2csin所以NF1又NF所以2b=3a，即ba所以双曲线的离心率e=故选：C5、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形【答案】AC【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.6、【2022年新高考1卷】（多选题）已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于PA．C的准线为y=−1 B．直线AB与C相切C．|OP|⋅|OQ|>|OA2 D．【答案】BCD【解析】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=y，故准线方程为kAB=1−(−1)1−0=2联立y=2x−1x2=y，可得x设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx−1，P(x联立y=kx−1x2=y所以Δ=k2−4>0x1+又|OP|=x12所以|OP|⋅|OQ|=y因为|BP|=1+k2所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2)|故选：BCD

7、【2022年新高考2卷】（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)A．直线AB的斜率为26 B．C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°【答案】ACD【解析】对于A，易得F(p2,0)，由AF=AM可得点A在FM代入抛物线可得y2=2p⋅3p4=32对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为x=12设B(x1,y1)，则62p+y则OB=对于C，由抛物线定义知：AB=对于D，OA⋅OB=(又MA⋅MB=(−又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则故选：ACD.8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．【答案】/【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.9、【2022年全国甲卷】记双曲线C:x2a2−y2b2【答案】2（满足1<e≤5【解析】C:x2a2−结合渐近线的特点，只需0<ba≤2可满足条件“直线y=2x与C无公共点”所以e=c又因为e>1，所以1<e≤5故答案为：2（满足1<e≤510、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.【答案】【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.题组一、双曲线的离心率1-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义先推出为正三角形，然后根据余弦定理解决.【详解】，∴，∴，∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，∴．∴，∴，，，∴，于是，∴为正三角形，．中，由余弦定理，∴.故选：C.1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，因此直线的倾斜角的正切值为，即，所以有，设，由双曲线定义可知：，由余弦定理可知：，故选：B.1-3、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______．【答案】【分析】与轴交点，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有且，可求离心率的取值范围.【详解】设与轴交点，连接，由对称性可知，，如图所示，又∵，∴，∴．又∵，∴，在中，，∴，∴，由，且三角形的内角和为，，即，则综上，．故答案为：．题组二、双曲线与抛物线的性质2-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选题）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】设，根据点P在双曲线上且PA=2，则可求得的值，从而可求得的值，进而可求得PF的长度．【详解】设，则，，，则，得或，当时，，此时，当时，，此时．故选：AB．2-2、（2023·江苏南京·校考一模）已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为__________．【答案】【分析】根据向量的线性运算和数量积的性质化简，由条件结合椭圆的定义可求，由求，可得椭圆方程.【详解】因为A与关于直线l对称，所以直线l为的垂直平分线，又，所以，由椭圆的定义可得，设直线l与交于点M，则M为的中点，且，所以，解得或1（舍去），所以，，则C的方程为：．故答案为：．2-3、（2023·山西·统考一模）已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为______.【答案】【分析】过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，进而结合抛物线的定义求解即可.【详解】解：由题知，准线方程为.如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，所以周长，当且仅当为与抛物线的交点时等号成立.故答案为：.2-4、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根据抛物线定义求得点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积公式即可得的值.【详解】抛物线的焦点为，点在抛物线上，由抛物线的定义可得，，则，，解得或（舍）.故选：B.题组三、抛物线、双曲线、椭圆的综合应用3-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出的坐标可判断A，根据向量数量积的坐标运算判断B,并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C,D.【详解】设，所以，即，同理，，即，也即，B正确；不一定为A错误；正确；正确，故选：BCD.3-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知P为抛物线上的动点，为坐标原点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，则（

）A．的最小值为4B．若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8C．若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值【答案】ABD【分析】先求出抛物线的方程，利用抛物线的定义转化即可求出最小值可判断A；由直线与抛物线相交的弦长公式判断B；由点到直线的距离公式可求三角形OAB的面积判断C；设，,将已知转化为结合两点连线的斜率公式即可判断直线GH的斜率是否为定值判断D.【详解】由在抛物线C上，得，抛物线C的方程为，．对于A，过点P作抛物线的准线的垂线PD，垂足为D，由抛物线的定义知，即M，P，D三点共线时，取得最小值，为，故A正确．对于B，因为为AB的中点，点A，B的横坐标，则，，故B正确．对于C，由直线l过焦点与求得直线l的方程为，则点O到直线l的距离，则，故C错误；对于D，易知点在抛物线上且轴．设，．易知直线EG，EH的斜率存在，，同理．因为EF平分，轴，所以，即，直线，所以，直线GH的斜率为定值，故D正确．故选：ABD.3-3、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______．【答案】【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出.在，有，进而可推出，根据的范围，即可得到结果.【详解】由已知，，.如图，设点，则，，在中，有，易知，则，则，因为，，所以当时，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范围是.故答案为：1、（2023·江苏南通·统考一模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的远地点和近地点的距离可得，进而可求得，求得b，可得答案.【详解】由题意得，故，故选：D.2、（2022·山东青岛·高三期末）已知坐标原点为，双曲线的右焦点为，点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】设双曲线的右顶点为，又点，，∴垂直平分线段，∴，即.故选：A3、（2022·湖北襄阳·高三期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线为，圆的圆心为，半径，则圆心到渐近线的距离为所以弦长，化简得：，即，解得，所以.故选：B4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）（多选题）已知，是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（

）A．直线过焦点时，最小值为2B．直线过焦点且倾斜角为60°时（点在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：【答案】CD【分析】对于AB项画出函数图像，把用直线的倾斜角表示，验证是否正确；对于C项，可求解；对于D项根据点可求出，就能求出所以求出直线，分别与抛物线联立求出点，就能求出方程.【详解】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为，设直线的倾斜角为，画图为：根据抛物线的定义：，从图可知，，在中，，所以，同理则，故当时故最小值为，所以A不正确.对于B项，由A可知，，所以，故B不正确.对于C项，所以最大值为8，故C正确.对于D项，由，，知，所以所以直线的方程为，直线的方程为联立解得或，所以联立解得或，所以所以直线的方程为即，故D正确.故选：CD5、（2023·安徽·统考一模）（多选题）已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（

）A．的准线方程为 B．点为线段的中点C．直线与相切 D．在点处的切线与直线平行【答案】BCD【分析】将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线在点处的切线方程，令，