2024年四川省遂宁市中考数学试题含解析

秘密★启用前2024年遂宁市初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷试卷满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各数中，无理数是（）A. B. C. D.02.古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（）A. B. C. D.3.中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.5.不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B. C. D.6.佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（）A. B. C. D.7.分式方程的解为正数，则的取值范围（）A. B.且C D.且8.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（）A. B. C. D.9.如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（）A1对 B.2对 C.3对 D.4对10.如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）①；②；③；④若方程两根为，则．A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11.分解因式：______．12.反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限．13.体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛．甲乙14.在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则如图①当时，如图②当时，如图③当时，……直接写出，当时，______．15.如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是______．（填序号）三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算：．17.先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．18.康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．（1）实践与操作

①任意作两条相交的直线，交点记为O；②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；③顺次连结所得的四点得到四边形．于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．（2）猜想与证明通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．19.小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（）20.某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．（1）求两种客房每间定价分别是多少元？（2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？21.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等实数根；（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．22.遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告数据收集调查方式抽样调查调查对象xx学校学生数据的整理与描述景点A：中国死海B：龙凤古镇C：灵泉风景区D：金华山E：未出游F：其他数据分析及运用（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______；（2）请补全条形统计图；（3）该学校总人数为人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游人数；（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．23.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出时，的取值范围；（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．24.如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．（1）求证：；（2）延长至点，使，连接．①求证：是的切线；②若，，求的半径．25.二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．（1）求二次函数的表达式；（2）当两点关于抛物线对轴对称，是以点为直角顶点直角三角形时，求点的坐标；（3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．秘密★启用前2024年遂宁市初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷试卷满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各数中，无理数是（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的概念，根据无限不循环小数为无理数即可求解，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：1、开方开不尽的数，2、无限不循环小数，3、含有的数．【详解】解：，，0都是有理数，是无理数，故选：C．2.古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．【详解】解：由实物图可知，从从正面看到的图形是，故选：．3.中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：万，故选：．4.下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方运算、平方差公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．详解】解：、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项正确，符合题意；故选：．5.不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键．【详解】解：，由得，，由得，，∴不等式组的解集为，∴不等式组的解集在数轴上表示为，故选：．6.佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．【详解】解：设这个正多边形的边数为，则，∴，∴这个正多边形的每个外角为，故选：．7.分式方程的解为正数，则的取值范围（）A. B.且C. D.且【答案】B【解析】【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．【详解】解：方程两边同时乘以得，，解得，∵分式方程的解为正数，∴，∴，又∵，即，∴，∴的取值范围为且，故选：．8.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．【详解】解：过点作于，则，，∵圆的直径为米，∴，∴在中，，∵，∴为等边三角形，∴，∴淤泥横截面的面积，故选：．9.如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对【答案】D【解析】【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．【详解】解：∵，∴，在和中，，在中，，中，，在中，综上所述，共有4对“伪全等三角形”，故选：D．10.如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）①；②；③；④若方程两根为，则．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知，∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，，则，∵抛物线与轴的交点在，之间，∴，则，故①错误；设抛物线与轴另一个交点，∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，解得，则，故②错误；∵，，，∴，解得，故③正确；根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，方程两根为满足，故④正确；故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答．【详解】解：故答案为：12.反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限．【答案】四##【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴∴∴点在第四象限，故答案为：四．13.体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛．甲乙【答案】甲【解析】【分析】本题考查了方差，分别求出甲乙的方差即可判断求解，掌握方差计算公式是解题的关键．【详解】解：甲的平均数为，∴，乙的平均数为，∴，∵，∴甲成绩更稳定，∴应选甲参加比赛，故答案为：甲．14.在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则如图①当时，如图②当时，如图③当时，……直接写出，当时，______．【答案】##0.73【解析】【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可．【详解】解：根据题意可得，当时，，则当时，，故答案为：．15.如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是______．（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】设正方形边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解．【详解】解：如图所示，∵为的中点，∴设正方形的边长为，则∵折叠，∴，∴∴是等腰三角形，故①正确；设，∴∴∴∴又∵∴四边形是平行四边形，∴，∴，即是的中点，故②正确；∵，∴在中，，∵∴设，则，∴∴∴，，∴，故③正确；连接，如图所示，∵，，又∴∴又∵∴∴又∵∴∵∴∴∴在中，∴，故④不正确故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算：．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．【详解】解：．17.先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．【答案】；【解析】【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解．【详解】解：∵∴当时，原式18.康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．（1）实践与操作

①任意作两条相交的直线，交点记为O；②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；③顺次连结所得的四点得到四边形．于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．（2）猜想与证明通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；（2）先证明，再证明，可得，从而可得结论．【小问1详解】解：由作图可得：，，∴四边形是平行四边形，该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；【小问2详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键．19.小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（）【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，，在图2中求得，进而根据灯柱高，点到桌面的距离为，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作交于点，在图1中，∵∴∴四边形是平行四边形，∴在中，在图2中，过点作于点，∴∵灯柱高，点到桌面的距离为答：此时台灯最高点到桌面的距离为．20.某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．（1）求两种客房每间定价分别是多少元？（2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？【答案】（1）种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；（2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．【解析】【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解；（）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．【小问1详解】解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，由题意可得，，解得，答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；【小问2详解】解：设种客房每间定价为元，则，∵，∴当时，取最大值，元，答：当种客房每间定价为元时，种客房一天营业额最大，最大营业额为元．21.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）或．【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明恒成立即可；（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．【小问1详解】证明：，∵无论取何值，，恒成立，∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：∵是方程的两个实数根，∴，，∴，解得：或．22.遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告数据收集调查方式抽样调查调查对象xx学校学生数据的整理与描述景点A：中国死海B：龙凤古镇C：灵泉风景区D：金华山E：未出游F：其他数据分析及运用（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______；（2）请补全条形统计图；（3）该学校总人数为人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．【答案】（1），，；（2）见解析；（3）；（4）【解析】【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，列表法求概率；（1）根据组的人数除以占比，即可得出总人数，进而求得组的人数，得出的值，根据的占比乘以，即可得出对应圆心角的度数；（2）根据组的人数补全统条形计图，（3）用乘以组的占比，即可求解．（4）用列表法求概率，即可求解．【详解】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为，组的人数为：，∴，∴B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是故答案为：，，．（2）根据（1）可得组人数为人，补全统计图，如图所示，（3）解：答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人；（4）列表如下，

共有种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有种，∴他们选择同一景点的概率为23.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出时，的取值范围；（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为（2）或（3）【解析】【分析】（）利用待定系数法即可求解；（）根据函数图象即可求解；（）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解；本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．【小问1详解】解：把代入得，，∴，∴反比例函数表达式为，把代入得，，∴，∴，把、代入得，，解得，∴一次函数表达式为；【小问2详解】解：由图象可得，当时，的取值范围为或；【小问3详解】解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则，∴，∵点关于原点对称，∴，∴，，∴，即的面积为．24.如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．（1）求证：；（2）延长至点，使，连接．①求证：是的切线；②若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析，②的半径为．【解析】【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论；（2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解，，结合，可得答案．【小问1详解】证明：如图，连接，∵点是的中点，∴，∴，∵，为直径，∴，∴，∴，∴．【小问2详解】证明：①∵为的直径，∴，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，，而，∴，∴，∴，∵为的直径，∴是的切线；②∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的半径为．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．25.二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．（1）求二次函数的表达式；（2）当两点关于抛物线对轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；（3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，最小值为【解析】【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）可求，设，由，得，则，解得，（舍去），故；（3）构造的外接矩形，把代入得，把代入得，用割补法表示的面积，这个面积是关于m的二次函数，转化为二次函数求最值问题．【小问1详解】解：把，代入得，，解得，∴二次函数的表达式为；【小问2详解】解：如图：由得抛物线对称轴为直线，∵两点关于抛物线对轴对称，∴，设，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴；【小问3详解】解：先画一个虚拟图，过点P作y轴的垂线交y轴于点E，过点Q作x轴的垂线，垂足为点F，两条垂线交于点G，如图：把代入得，把代入得，∵，，，∵，∴，∴当时，的面积取得最小值为．此时点P在y轴左侧，如下图2024年四川省雅安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的．1.有理数2024的相反数是（）A.2024 B. C. D.2.计算的结果是（）A. B.0 C.1 D.43.下列几何体中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.4.下列运算正确是（）A. B. C. D.5.如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（）A B. C. D.6.不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（）A. B. C. D.8.如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（）A.4 B. C.6 D.9.某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（）A.众数是92 B.中位数是C.平均数是84 D.方差是1310.已知．则（）A. B.1 C.2 D.311.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（）A.米 B.25米 C.米 D.50米12.已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确有（）①；②抛物线的顶点坐标为；③；④若，则．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上．13.使代数式有意义的x的取值范围是_______．14.将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是______．15.如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示______．①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．16.如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是______．17.如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是______．三、解答题（本大题共7个小题、共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18.（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．19.某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）．根据图中提供的信息解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数；（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C、D、E中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到A、B两位同学的概率．20.如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F．（1）求证：；（2）当时，，分别连接，，求此时四边形的周长．21.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）求的面积；（3）若点P是y轴上一动点，连接．当值最小时，求点P的坐标．23.如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，求证：；（3）若于D，，，求的长．24.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．（1）求二次函数的表达式；（2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；（3）如图②，在（2）条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2024年四川省雅安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的．1.有理数2024的相反数是（）A.2024 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：有理数2024的相反数是，故选：B．2.计算的结果是（）A. B.0 C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．根据零指数幂的运算性质进行计算即可．【详解】解：原式．故选：C．3.下列几何体中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图.根据主视图是从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A.主视图是三角形，故本选项符合题意；B.主视图是矩形，故本选项不符合题意；C.主视图是矩形，故本选项不符合题意；D.主视图是正方形，故本选项不符合题意.故选：A．4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方以及同底数幂的除法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及同底数幂的除法，合并同类项法则进行计算即可求解．【详解】解：A．不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B．，故该选项不正确，不符合题意；C．，故该选项不正确，不符合题意；D．，故该选项正确，符合题意；故选：D．5.如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质．已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数．【详解】解：∵，，，故选：A．6.不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：C．7.在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质以及平移的性质，正确掌握相关性质是解题关键．直接利用平移的性质得出对应点坐标，再利用关于轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵将点向右平移2个单位后，∴平移后的坐标为，∴得到的点关于轴的对称点坐标是．故选：B．8.如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可．【详解】解：设半径为，由题意得，，解得，∵六边形是的内接正六边形，∴，∵，∴是正三角形，∴，∴弦所对应的弦心距为，∴．故选：B．9.某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（）A.众数是92 B.中位数是C.平均数是84 D.方差是13【答案】D【解析】【分析】此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的计算方法是解本题的关键．找出这组数据中出现次数最多的即为众数，这组数据排列后找出最中间的两个数求出平均数即为中位数，求出这组数据的平均数，利用方差公式求出方差，判断即可．【详解】解：排列得：，出现次数最多是82，即众数为82；最中间的两个数为83和85，即中位数为84；，即平均数为85；，即方差13．故选：D．10.已知．则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可；【详解】解：∵，∴，∴；故选C11.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（）A.米 B.25米 C.米 D.50米【答案】A【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可．【详解】解：设米，在中，，，即，整理得：米，在中，，，即，整理得：米，∵米，∴，即，解得：，侧这栋楼的高度为米．故选：A．12.已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（）①；②抛物线的顶点坐标为；③；④若，则．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④．【详解】解：由题意，∵有两实根，．∴得，．∴，故①正确．，∴抛物线的对称轴是直线．∴抛物线的顶点为．又，∴，即．∴．∴．∴顶点坐标为，故②正确．∵，∴．又，，∴，故③错误．，，∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．∵，抛物线的对称轴是直线，又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，，，∴，故④错误．综上，正确的有①②共2个．故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上．13.使代数式有意义的x的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案．【详解】解：代数式有意义，故答案为：14.将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是______．【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．【详解】解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，所以取到有理数的概率为，故答案为：．15.如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示______．①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．【答案】【解析】【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案；【详解】解：由题意可得：，故答案：；16.如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是______．【答案】或【解析】【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案；【详解】解：如图，当时，延长交于，∵，，∴,∴；如图，当时，延长交于，∵，，∴,∴，故答案为：或17.如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可．【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形，，，，，，在中，，，解得，，故答案为：．三、解答题（本大题共7个小题、共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18.（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本题考查了负整数指数幂，实数的混合运算，分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则和实数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．（1）先计算开方、负整数指数幂和绝对值，然后根据有理数的加减法计算即可；（2）先计算分式的减法，再计算分式的除法进行化简，最后代入求出答案即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式，当时，原式．19.某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）．根据图中提供的信息解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数；（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C、D、E中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到A、B两位同学的概率．【答案】（1）见解析（2）30人（3）【解析】【分析】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及条形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．（1）根据成绩为良好的人数除以占的百分比求出调查的总人数，进而求出不合格的人数，补全条形统计图即可；（2）由样本中成绩不合格的百分比估计总体中成绩不合格的百分比，乘以300即可得到结果；（3）列出得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到、两位同学的情况数，即可求出恰好抽到、两位同学的概率．【小问1详解】解：根据题意得：（人），∴不合格的为：（人），补全条形统计图，如图所示：【小问2详解】解：根据题意得：（人），则该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数约为30人；【小问3详解】解：列表如下：

ABCDEA---B---C---D---E---所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到A、B两位同学的情况数为2种，则P（恰好抽到A、B两位同学）．20.如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F．（1）求证：；（2）当时，，分别连接，，求此时四边形的周长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．（1）由题目中的中，O为对角线的中点，可以得出，，结合，可以证得两个三角形全等，进而得出结论；

（2）由（1）中得到的结论可以得到，结合得出四边形是平行四边形，进而利用证明出四边形为菱形，根据即可求出菱形的周长．【小问1详解】∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵点O是对角线的交点，∴，在△和中，，∴．【小问2详解】由（1）知，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形，∴，∴，∴四边形的周长为．21.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米（2）该公司原计划最多应安排8名工人施工【解析】【分析】此题考查了分式方程应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．（1）设原计划每天铺