2024年四川省巴中市中考数学试题含解析

2024年四川省巴中市中考数学试题含解析数学试卷选择题一、选择题1.在0，1，，中最小的实数是（）A0 B. C.1 D.2.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.函数自变量的取值范围是（）A. B. C. D.4.下列运算正确的是（）A. B.C D.5.实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A B. C. D.6.如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（）A. B. C. D.7.如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（）A.4 B.5 C.6 D.88.某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（）A. B.C. D.9.一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差10.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（）A.8 B.10 C.12 D.1311.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（）A. B. C. D.12.如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（）A.的垂直平分线一定与相交于点B.C.当为中点时，是等边三角形D.当为中点时，非选择题二、填空题13.27的立方根为_____．14.过五边形的一个顶点有__________条对角线．15.已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______．16.如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______．17.如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______．18.若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）①②当时，代数式的最小值为3③对于任意实数，不等式一定成立④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有三、解答题19.（1）计算：（2）求不等式组的解集．（3）先化简，再求值：，其中20.为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．（1）求______，并补全条形统计图．（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．21.某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．（1）求点离水平地面高度．（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．22.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．（1）求的值及点的坐标．（2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．23.如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：是的切线．（2）求证：．（3）若，，求的长．24.综合与实践（1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______．（2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形．①通过操作得出：与的比值为______．②证明：四边形为平行四边形．（3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．25.在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．（1）求抛物线表达式．（2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．（3）如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值．

数学试卷选择题一、选择题1.在0，1，，中最小的实数是（）A.0 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较．【详解】解：∵，∴最小的实数是，故选：B．2.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．3.函数自变量的取值范围是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题．【详解】解：由题知，，解得，故答案为：C．4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式逐项计算，即可判断．【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；，故B选项符合题意；，故C选项不符合题意；，故D选项不符合题意．故选：B．5.实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解．【详解】解：由题意得，，，则，∴，，，观察四个选项，选项D符合题意．故选：D．6.如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：A．7.如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴O是中点，又∵E是中点，∴OE是的中位线，∴，，∵的周长为12，，∴，∴的周长为．故选：B.8.某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可．【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得：．故选：A．9.一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差【答案】B【解析】【分析】本题考查数据的分析，平均数，中位数，众数，极差定义．根据题意分别求解原数据与新数据的平均数，中位数，众数，极差即可得到本题答案．【详解】解：∵一组数据，∴平均数为：，中位数为，众数为，极差为：，去掉数据11为，∴平均数为：，中位数为，众数为，极差为：，∴中位数发生变化，故选：B．10.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（）A.8 B.10 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可．【详解】解：设，则，由题意，得：，解得：，即，故选：C．11.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可；【详解】解：∵12个相似的直角三角形，∴，，∵，∴，，，∴，故选C12.如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（）A.的垂直平分线一定与相交于点B.C.当为中点时，是等边三角形D.当为中点时，【答案】D【解析】【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．【详解】解：连接，如图1所示：，点是的中点，为斜边上的中线，，，，点在线段的垂直平分线上，即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意；设，，，，，，，即，故选B正确，不符合题意；当为中点时，则，，是线段的垂直平分线，，，，，，，是等边三角形，故选C正确，不符合题意；连接，并延长交于，如图2所示：

当为中点时，点为的中点，根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点，当为中点时，是等边三角形，，，平分，平分，，，在中，，，，，，，故选项D不正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．非选择题二、填空题13.27的立方根为_____．【答案】3【解析】【分析】找到立方等于27的数即可．【详解】解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为：3．14.过五边形的一个顶点有__________条对角线．【答案】2【解析】【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出条对角线．【详解】从五边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的2个顶点引对角线，即能引出2条对角线，故答案为：2．【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线．15.已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设方程的另一个根为m，∵方程有一个根为，∴，解得：．故答案为：4．16.如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______．【答案】60°【解析】【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可．【详解】解：∵四边形OABC为菱形，∴∠AOC＝∠ABC，由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．17.如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可．【详解】解：如图，过点F作，垂足为H，四边形为矩形，，，，，，，即，解得：，，即，解得：，，，，即，解得：，故答案为：．18.若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）①②当时，代数式的最小值为3③对于任意实数，不等式一定成立④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有【答案】①③##③①【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键．由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意；【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．∴，∴，故①符合题意；∴，∴，，∵，∴当时，取最小值，故②不符合题意；∵，∴对称轴直线，∵，当时，函数取最小值，当时，函数值为，∴，∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意；当时，∵，∴，∴，当时，满足，∴，∴，当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意；综上：符合题意的有①③；故答案为：①③．三、解答题19.（1）计算：（2）求不等式组的解集．（3）先化简，再求值：，其中【答案】（1）；（2）；（3），【解析】【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简与乘方运算，再合并即可；（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可；（3）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再代入计算即可．【详解】解：（1）；（2），由不等式①得：；由不等式②得：；∴原不等式组的解集为：；（3）；当时，原式．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握以上基本运算的运算法则与解题步骤是解本题的关键．20.为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．（1）求______，并补全条形统计图．（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动学生有多少名？（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．【答案】（1）200，图见详解（2）312名（3）【解析】【分析】（1）根据喜爱篮球的人数和所占的百分比即可求出，然后求出喜欢乒乓球的人数即可；（2）用该校的总人数乘以最喜爱乒乓球的学生的人数所占的百分比即可；（3）画出树状图即可解决问题．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．【小问1详解】解：（名，喜欢乒乓球的人数；（名，补全统计图：故答案为：200；【小问2详解】解：（名，答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名；【小问3详解】解：画树状图得：一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，恰好选中甲、乙两名同学的概率为．21.某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．（1）求点离水平地面的高度．（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．【答案】（1）；（2）电线塔的高度．【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．【小问1详解】解：∵斜坡的坡度，∴，∵，∴，∵，∴；【小问2详解】解：作于点，则四边形是矩形，，，设，在中，，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴，∴，答：电线塔的高度．22.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．（1）求的值及点的坐标．（2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标；（2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可；【小问1详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．∴，∴,∴，∴反比例函数为：；∴，解得：，，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∵，，∴，,∴，∴，，如图，当时，最短；∴；【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键.23.如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：是的切线．（2）求证：．（3）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；（2）证明，，结合，，再进一步可得结论；（3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案；【小问1详解】证明：如图，连接，∵点为的中点，∴，∵，∴，且OD是的半径，∴DF是的切线；【小问2详解】证明：∵点为的中点，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；【小问3详解】解：如图，连接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，而，∴，∵四边形为内接四边形，∴，∴，∴，∴，而，∴，∴，经检验，符合题意；【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.24.综合与实践（1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______．（2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上点．是拼接之后形成的四边形．①通过操作得出：与的比值为______．②证明：四边形为平行四边形．（3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．【答案】（1）（2）①1；②见详解（3）见详解【解析】【分析】（1）由“角角边”即可证明；（2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形．【小问1详解】解：如图，∵，∴，由题意得为中点，‘∴’，∵，∴故答案为：；【小问2详解】解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形，∴，∴，故答案为：1；②如图，由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出，则，，∵，，，∴，∵∴，∴三点共线，同理三点共线，由操作得，，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形；【小问3详解】解：如图，如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形．由题意得，，，∴，∴，由操作得，，∵，∴，∴三点共线，同理三点共线，∵，∴四边形为矩形，如图，连接，∵为中点，∴，同理，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，由操作得，，而，∴，同理，，∵，，，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∴，同理，∴四边形能放置左上方空出，∴按照以上操作可以拼成一个矩形．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键．25.在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．（3）如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，可得；（3）由得到，进而得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式为，进而得到，求出，再证明，设，则，得到，得到，即可得到此时，点P的坐标为，点Q的坐标为，求出，，证明，得到，由即可求出答案．【小问1详解】解：∵抛物线与轴交于点，，∴，解得：，∴抛物线解析式为．；【小问2详解】解：∵当时，，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设，则，∵轴于点D，∴，，∴，∴，∵，∴，解得，（此时，重合，不合题意舍去），∴，∴；【小问3详解】解：∵，，∴，，作交y轴于N，作轴交于Q，直线的解析式为，，直线的解析式为，将代入，得：，解得：，直线的解析式为，当时，，，∴,，，，∴，，∵，，∴，∴，，设，则，∴，，∴当时，有最大值，此时，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．2024年四川省成都市中考数学A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1.﹣5的绝对值是（）A.5 B.﹣5 C. D.2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. B.C. D.4.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.5.为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（）A.53 B.55 C.58 D.646.如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.7.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（）A. B. C. D.8.如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（）A. B.C D.第II卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9.若，为实数，且，则的值为______．10.分式方程解是____．11.如图，在扇形中，，，则的长为______．12.盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______．13.如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.（1）计算：．（2）解不等式组：15.2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．游园线路人数国风古韵观赏线44世界公园打卡线亲子互动慢游线48园艺小清新线根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的员工共有______人，表中的值为______：（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．16.中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

17.如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．（1）求证：；（2）若，，，求的长和的直径．18.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．（1）求，，值；（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19.如图，，若，，则的度数为______．20.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．21.在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为______；若，则的值为______．22.如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．23.在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/．（1）求A，B两种水果各购进多少千克；（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．（1）求线段的长；（2）当时，若的面积与的面积相等，求的值；（3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．26.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．2024年四川省成都市中考数学A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1.﹣5的绝对值是（）A.5 B.﹣5 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A．2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可．【详解】解：该几何体的主视图为，故选：A．3.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可．【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意；B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；C．，原计算错误，故该选项不符合题意；D．，原计算正确，故该选项符合题意；故选：D．4.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为；故选：B．5.为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（）A.53 B.55 C.58 D.64【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了中位数的定义，根据中位数的定义求解即可．【详解】解：参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，把这6个数从小到大排序：50，51，55，55，61，64，∴这组数据的中位数是：，故选：B．6.如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，则，∴选项A中不一定正确，故不符合题意；选项B中不一定正确，故不符合题意；选项C中一定正确，故符合题意；选项D中不一定正确，故不符合题意，故选：C．7.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可．【详解】解：设人数为，琎价为，根据每人出钱，会多出4钱可得出，每人出钱，又差了3钱．可得出，则方程组为：，故选：B．8.如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定．【详解】解：由作图可知，为的角平分，∴，故A正确；∵四边形为平行四边形，∴，∵∴，∴，∴，∴，故B正确；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，故D错误；∵，∴，故C正确，故选：D．第II卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9.若，为实数，且，则的值为______．【答案】1【解析】【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可．【详解】解：∵，∴，，解得，，∴，故答案为：1．10.分式方程的解是____．【答案】x=3【解析】【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．考点：解分式方程11.如图，在扇形中，，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可．【详解】解：由题意得的长为，故答案为：12.盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可．【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，∴，则，故答案为：．13.如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可．【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，则可知，，∴，即当三点共线时，的最小值为，∵直线垂直于y轴，∴轴，∵，，∴，∴在中，，故答案为：5三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.（1）计算：．（2）解不等式组：【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、化简绝对值，然后加减运算即可；（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：（1）；（2）解不等式①，得，解不等式②，得，∴该不等式组的解集为．15.2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．游园线路人数国风古韵观赏线44世界公园打卡线亲子互动慢游线48园艺小清新线根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的员工共有______人，表中的值为______：（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．【答案】（1）160，40（2）（3）385【解析】【分析】本题考查统计表和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．（1）根据选择“亲子互动慢游线”人数及其所占的百分比可求得调查总人数，再根据选择“世界公园打卡线”对应的圆心角是可求解x值；（2）由乘以选择“国风古韵观赏线”所占的百分比可得答案；（3）先求得选择“园艺小清新线”的人数，再由单位总人数乘以样本中选择“园艺小清新线”所占的比例求解即可．【小问1详解】解：调查总人数为（人），选择“世界公园打卡线”的人数为（人），故答案为：160，40；【小问2详解】解：“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为；【小问3详解】解：选择“园艺小清新线”的人数为（人），∴该单位选择“园艺小清新线”的员工人数为（人）．16.中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

【答案】9.2尺【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺．∴，即，∵，∴，即，∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．∴春分和秋分时日影长度为．答：春分和秋分时日影长度9.2尺．17.如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．（1）求证：；（2）若，，，求的长和的直径．【答案】（1）见详解；（2），．【解析】【分析】（1）先证明，然后利用对应边成比例，即可证明；（2）利用，知道，从而推出，结合，知道，推出，接下来证明，那么有，即，不妨设，代入求得的长度，不妨设，在和中利用勾股定理求得和的长度，最后利用，求得的长度，然后在利用勾股定理求得的长度．【小问1详解】是的直径又【小问2详解】由（1）可知，不妨设，那么，不妨设，那么在中，，，在中，，的直径是故答案为：，直径是．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．（1）求，，的值；（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值．【答案】（1），，（2）点的坐标为或，（3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可；（3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可．【小问1详解】解：由题意，将代入中，得，则，将代入中，得，则，∴，将代入中，得，则；【小问2详解】解：设，由（1）知，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况：当为对角线时，则，解得，∴，则；当为对角线时，则，解得，∴，则；当为对角线时，依题意，这种情况不存在，综上所述，满足条件的点的坐标为或，；【小问3详解】解：如图，设点，则，，若，则，即，∴，即，解得，∵，∴，则，设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为，联立方程组，得，∵有且只有一点，∴方程有且只有一个实数根，∴，解得；由题意，不存在，故满足条件的k值为．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19.如图，，若，，则的度数为______．【答案】##100度【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．【详解】解：由，，∴，∵，∴，故答案为：20.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．【答案】7【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，，则∴故答案为：721.在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为______；若，则的值为______．【答案】①.9②.144【解析】【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可．【详解】解：当时，只有一种取法，则；当时，有和两种取法，则；当时，有，，，四种取法，则；故当时，有，，，，，六种取法，则；当时，有，，，，，，，，九种取法，则；依次类推，当n为偶数时，，故当时，，故答案为：9，144．22.如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．【答案】【解析】【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可．【详解】解：连接，过E作于F，设，，

∵，为中点，∴，又，∴，，，∴，，∵，∴，则，又，∴，∴，，∴，则；∵是的一条角平分线，∴，又，∴，∴∴，则，∴，即，解得（负值已舍去），故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．23.在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由得抛物线对称轴为直线，开口向下，∵，，∴，∴；∵，，，，∴，∵存在，∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，∴，即，且