高考数学模拟大题规范训练(4)含答案及解析

高三数学大题规范训练（4）15.如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点.（1）求二面角的余弦值；（2）若点满足，求直线与直线所成角的正弦值.16.某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望．附：010.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.知函数，其中.（1）若，求函数的极值（2）是否存在实数a，使得函数在内单调？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；18.设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4.（1）若与的纵坐标之和为4，求直线的方程.（2）证明：线段的垂直平分线过定点.19.在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）.（1）若，试探索的信息熵关于的解答式，并求其最大值；（2）若，（），求此时的信息熵.

高三数学大题规范训练（4）15.如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点.（1）求二面角的余弦值；（2）若点满足，求直线与直线所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得直线与直线所成角的正弦值.小问1详解】解：在直三棱柱中，平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意，、、、，设平面的法向量为m=x,y,z，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为n=0,1,0则，由图可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为.小问2详解】解：易知、、、点满足，则，则，且，所以，，则，因此，直线与直线所成角的正弦值为.16.某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解答；与性别有关.（2）分布列见解答，数学期望为.【解答】【分析】（1）根据题意补全列联表，再计算出卡方值并与边界值比较即可；（2）根据独立事件的乘法公式计算出概率分布列，最后再利用期望公式即可.【小问1详解】依题意，列联表如下：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生6040100女生3070100合计90110200零假设:该校学生喜欢篮球与性别无关，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.【小问2详解】依题意，可能值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：数学期望.17.知函数，其中.（1）若，求函数的极值（2）是否存在实数a，使得函数在内单调？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；【答案】（1）极小值为；（2）存在，.【解答】【分析】（1）求导后利用导数的正负求得函数的单调性，结合函数图象求得函数的极小值；（2）分两种情况讨论分离常数转化为恒成立问题，利用二次函数的最值求得结果.【详解】（1）函数的定义域为(0,+∞)当，函数单调递减，当，函数单调递增，是函数的极小值点，函数的极小值为（2）若函数在内单调递增，则在恒成立.即在恒成立.因为所以使得函数在内单调递增的a不存在，若函数在内单调递减则在恒成立.即在恒成立.因为在恒成立.又所以时，函数在内单调递减.18.设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4.（1）若与的纵坐标之和为4，求直线的方程.（2）证明：线段的垂直平分线过定点.【答案】（1）（2）证明见解答【解答】【分析】（1）曲线，由题可得直线的斜率不为0,设直线方程为：，，，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，即可得出直线的方程.（2）设线段的中点为，利用中点坐标公式可得坐标，用表示.,利用点斜式即可得出直线线段的垂直平分线的方程，进而证明结论.【小问1详解】∵曲线，由题可得直线的斜率不为0，设直线方程为：，，，联立，化为：，，，，解得，，解得，直线的方程为：，即.【小问2详解】设线段的中点为，，，则线段的垂直平分线的方程为：，化为：，可得直线经过定点.19.在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）.（1）若，试探索的信息熵关于的解答式，并求其最大值；（2）若，（），求此时的信息熵.【答案】（1），，最大值为.（2）.【解答】【分析】（1）由题意可知且，减少变量可得的信息熵关于的解答式，求导可得单调性，故而求出最大值；（2）由可知数列从第二项起，是首项为，公比为2的等比数列，故而