2019届江苏专用高考数学大一轮复习第十四章选考部分14.2矩阵与变换讲义理苏教版

§14.2矩阵与变换基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习知识梳理[a11×b11＋a12×b21]_________________.(4)两个二阶矩阵的乘法满足

律，但不满足

律和

律.即(AB)C＝A(BC)，

AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的

与后一个矩阵的

相等时才能进行乘法运算.结合交换消去列数行数2.常见的平面变换3.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是

，B称为A的

；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4.特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个

，而α称为A的属于特征值λ的一个

.可逆的逆矩阵特征值特征向量5.特征多项式设A＝

是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝

＝

，称为A的特征多项式.λ2－(a＋d)λ＋ad－bc考点自测解答解答解答∴λ1＝0，λ2＝3.∴M的特征值为0和3.题型分类深度剖析题型一矩阵与变换例1已知a，b是实数，如果矩阵M＝

所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值.解答因为点(x′，y′)在直线x＋2y＝1上，已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解.思维升华跟踪训练1二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2).(1)求矩阵M；解答(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程.解答且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.题型二求逆矩阵(1)求A的逆矩阵A－1；因为|A|＝2×3－1×4＝2，解答(2)求矩阵C，使得AC＝B.解答由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故求逆矩阵的方法(1)待定系数法思维升华解答题型三特征值与特征向量例3

(2016·南京质检)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝ .(1)求矩阵A；因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，解答(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.解答令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，思维升华(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量.跟踪训练3已知矩阵A＝

，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3).(1)求实数a的值；解答所以a＋1＝－3，所以a＝－4.(2)求矩阵A的特征值及特征向量.解答解得A的特征值为λ＝－1或3.课时作业1.已知A＝

，求A的特征值.解答＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.故A的特征值为7和－4.12345678910解答12345678910解答123456789104.已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是

，求矩阵A.解答123456789105.曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝

的作用下变换为曲线C2，求C2的方程.解答12345678910设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，因为P′是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x－2y)2＋2y2＝1.123456789106.(2015·江苏)已知x，y∈R，向量α＝

是矩阵A＝

的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.解答12345678910由已知，得Aα＝－2α，从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.123456789107.设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，证明A的逆矩阵是唯一的.设B1，B2都是A的逆矩阵，则B1A＝AB1＝E2，B2A＝AB2＝E2，从而B1＝E2B1＝(B2A)B1＝B2(AB1)＝B2E2＝B2.即B1＝B2.故A的逆矩阵是唯一的.证明123456789108.(2016·苏中四校联考)求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝

对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解答12345678910设点(x0，y0)为曲线|x|＋|y|＝1上的任一点，12345678910123456789109.设数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且满足

求二阶矩阵M.，解答1234567891012345678910(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；解答1234567891012345678910解答