2025高考数学二轮复习-专题5 第2讲 概率、随机变量及其分布【课件】

第2讲概率、随机变量及其分布专题五2025内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.概率的计算公式

(2)互斥事件的概率计算公式:P(A∪B)=P(A)+P(B).(3)对立事件的概率计算公式:P(B)=1-P(A).对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件

误区警示要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).2.两种特殊分布(1)超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).名师点析1.超几何分布的模型是不放回抽样,要注意明确其中参数M,N,n的含义.2.二项分布的条件是独立性与重复性.3.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),可用表格表示.Xx1x2x3…xnPp1p2p3…pn概率之和等于1名师点析1.离散型随机变量的分布列的两个性质:(1)pi≥0(i=1,2,…,n);(2)p1+p2+…+pn=1.2.均值公式:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi.关键能力•学案突破突破点一古典概型[例1-1]某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯(如图所示),其中有2头LED灯出现故障.假设每头LED灯出现故障都是等可能的,则这2头出现故障的LED灯相邻(横向相邻或纵向相邻)的概率为(

)A解析

每列相邻的LED灯共4对,共有5列,故纵向相邻有4×5种;同理横向相邻也有4×5种,所以这2头出现故障的LED灯相邻的概率为[例1-2](2024·新高考Ⅰ,14)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为

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解析

因为甲出卡片1一定输,出其他卡片有可能赢,所以四轮比赛后,甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3,则甲出卡片3,5,7时都赢,所以只有1种组合:3—2,5—4,7—6,1—8.若甲的总得分为2,有以下三类情况:第一类,当甲出卡片3和5时赢,只有1种组合,为3—2,5—4,1—6,7—8;第二类,当甲出卡片3和7时赢,有3—2,7—4,1—6,5—8或3—2,7—4,1—8,5—6或3—2,7—6,1—4,5—8,共3种组合;第三类,当甲出卡片5和7时赢,有5—2,7—4,1—6,3—8或5—2,7—4,1—8,3—6或5—4,7—2,1—6,3—8或5—4,7—2,1—8,3—6或5—2,7—6,1—4,3—8或5—2,7—6,1—8,3—4或5—4,7—6,1—2,3—8,共7种组合.综上,甲的总得分不小于2共有12种组合,而所有不同的组合共有4×3×2×1=24(种),所以甲的总得分不小于2的概率规律方法古典概型求解的关键点(1)解答古典概型问题,关键是正确求出样本空间Ω包含的样本点个数和事件A包含的样本点个数,常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求样本点个数时,要准确理解样本点的构成.对点练1(1)甲、乙两人进行扑克牌积分比赛.比赛规则为:甲、乙两人先各抽三张扑克牌,每局比赛双方同时各出一张牌,牌大者得2分,牌小者得0分,牌一样大两人各得1分,每张牌只能出一次,共比赛三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛结束后甲得4分的概率为(

)D(2)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数列中(其中n为非零自然数),数列{6n-1}中的合数叫阴性合数,其中的素数叫阴性素数;数列{6n+1}中的合数叫阳性合数,其中的素数叫阳性素数.则从30以内的素数中任意取出两个,恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是

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解析

30以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个.其中阴性素数有5,11,17,23,29共5个,阳性素数有7,13,19共3个.突破点二条件概率及相互独立事件的概率命题角度1

条件概率B[例2-2]在某次美术专业测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5,且三人的测试结果相互独立,则测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为(

)A规律方法条件概率的3种求法

对点练2(1)现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子,将它们叠成一叠,在已知黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下,黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为(

)C(2)(2023·广东六校联考)某公司在某地区对商品A进行调查,随机调查了100位购买商品A的顾客的性别,其中男性顾客18位.已知该地区商品A的购买率为10%,该地区女性人口占该地区总人口的46%.从该地区中任选一人,若此人是男性,则此人购买商品A的概率为

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解析

设从该地区中任选一人,此人是男性为事件B,此人购买商品A为事件C,则该地区男性人口占该地区总人口的1-46%=54%,命题角度2

相互独立事件的概率[例2-3](2023·新高考Ⅱ,12)(多选题)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则下列说法正确的是(

)A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率ABD解析

设事件“发送0,收到0”为事件A0,设事件“发送0,收到1”为事件A1,设事件“发送1,收到0”为事件B0,设事件“发送1,收到1”为事件B1.由题知,P(A0)=1-α,P(A1)=α,P(B0)=β,P(B1)=1-β,且事件A0,A1,B0,B1相互独立.对于选项A,所求事件为B1A0B1,所以P(B1A0B1)=P(B1)P(A0)P(B1)=(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)·(1-β)2,所以A正确;对于选项B,所求事件为B1B0B1,所以P(B1B0B1)=P(B1)P(B0)P(B1)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,所以B正确;对于选项C,所求事件为B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1,又P(B1B1B1)=P(B1)P(B1)P(B1)=(1-β)3,所以P(B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1)=(1-β)3+3β(1-β)2,所以C错误;对于选项D,采用三次传输,事件为A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0,所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)=3α(1-α)2+(1-α)3.采用单次传输,P(A0)=1-α.所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)-P(A0)=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)=(1-α)[3α(1-α)+(1-α)2-1]=(1-α)(α-2α2)=α(1-α)(1-2α).因为0<α<0.5,所以α(1-α)(1-2α)>0.所以发送0,采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率,所以选项D正确.故选ABD.[例2-4]甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是

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答案

0.18

解析

前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是P=0.108+0.072=0.18.规律方法求相互独立事件和n重伯努利试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的“和”事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的“积”事件,然后用概率公式求解.(2)注意辨别n重伯努利试验的基本特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.对点练3(2022·全国甲,理19)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与均值.解

(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.(2)依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,所以P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06均值E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.命题角度3

全概率公式[例2-5]某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品,三种产品的生产比例如图所示,且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个,则选到绑带式口罩的概率为(

)A.0.23 B.0.47

C.0.53

D.0.77D解析

由题图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%,20%,10%,记事件A1,A2,A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,所以P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1.又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%,记事件B为“选到绑带式口罩”,则P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.[例2-6]现有甲、乙两个口袋,其中甲口袋内装有三个1号球,两个2号球和一个3号球;乙口袋内装有两个1号球,一个2号球,一个3号球.第一次从甲口袋中任取1个球,将取出的球放入乙口袋中,第二次从乙口袋中任取一个球,则第二次取到2号球的概率为

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解析

记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i号球,i=1,2,3.依题意A1,A2,A3两两互斥,其和为Ω,增分技巧应用全概率公式求概率的步骤(1)根据题意找出完备事件组,即满足全概率公式的Ω的一个划分A1,A2,A3,…,An;(2)用Ai(i=1,2,3,…,n)来表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.对点练4人工智能领域让贝叶斯公式:

站在了世界中心位置,AI换脸是一项深度伪造技术,某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频,“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下,它有98%的可能鉴定为“AI”;它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下,它有4%的可能鉴定为“AI”视频.已知某个视频被鉴定为“AI”视频,则该视频是“AI”合成的可能性约为(

)A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4%C突破点三随机变量的分布列命题角度1

超几何分布[例3-1]为了解学生对食堂用餐满意度情况,某兴趣小组按性别采用分层随机抽样的方法,从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分,满分为100分.调查结果显示:最低分为51分,最高分为100分.随后,兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图,图表如下:男生评分结果的频数分布表

分数区间频数[50,60)3[60,70)3[70,80)16[80,90)38[90,100]20女生评分结果的频率分布直方图

为了便于研究,兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”,二者的对应关系如下表所示.分数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意(1)求a的值;(2)为进一步改善食堂状况,从评分在[50,70)的男生中随机抽取3人进行座谈,记这3人中对食堂“不满意”的人数为X,求X的分布列;(3)以调查结果的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取一名学生,求其对食堂“比较满意”的概率.

解

(1)因为(0.005+a+0.020+0.040+0.020)×10=1,所以a=0.015.(2)依题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为:(3)设事件A=“随机抽取一名学生,对食堂‘比较满意’”.因为样本人数为200,其中男生共有80人,所以样本中女生共有120人.由频率分布直方图可知,女生对食堂“比较满意”的人数共有120×0.020×10=24,由频数分布表,可知男生对食堂“比较满意”的共有16人.规律方法求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.对点练5某中学高一(1)班举行知识竞赛.这次竞赛前21名同学的成绩排序如下:男生203,204,209,212,216,218,218,222,227,228,229,235,237,238.女生200+x(0≤x≤9,且x∈Z),212,216,221,228,230,236.已知前7名女生的平均得分为221分.(1)①求x的值;②如果在竞赛成绩高于205分的学生中按性别分层随机抽样抽取6人,再从这6人中任选3人作为下周班会中心发言人,求这3人中有女生的概率.(2)如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会,用X表示4人中成绩超过235分的人数,求X的分布列和均值.命题角度2

二项分布[例3-2]动车和快速公交(BRT)的出现,方便了人们的出行,并且带动了我国经济的巨大发展.根据统计,2023年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多,为了调查乘客对出行方式的满意度,研究人员随机抽取了500名乘客进行调查,所得情况统计如下所示.满意程度30岁以下30~50岁50岁及