2025年湘师大新版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高一数学上册月考试卷798考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知,若则实数的取值范围是（）A.B.C.D.2、某质量监督局要对某厂6月份生产的三种型号的轿车进行抽检；已知6月份该厂共生产甲种轿车l400辆，乙种轿车6000辆，丙种轿车2000辆．现采用分层抽样的方法抽取47辆轿车进行检验，则甲；乙、丙三种型号的轿车依次应抽取（）

A.14辆；21辆，12辆。

B.7辆；30辆，10辆。

C.10辆；20辆，17辆。

D.8辆；21辆，18辆。

3、函数例如，当的解集为（）A.B.C.D.4、下列对一组数据的分析，不正确的说法是()A.数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C.数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定5、在△ABC中；AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）

A.11πB.12πC.13πD.14π6、cos45°•cos15°+sin45°•sin15°=（）A.B.C.D.7、设已知函数的定义域是值域是若函数有唯一的零点，则m+n=（）A.2B.-1C.1D.08、若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，P∈l，则（）A.P⊂αB.P∉αC.l⊊αD.P∈α评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、已知||=2,为单位向量，当它们的夹角为时，则在方向上的投影为______。10、已知直线和相交于点则过点的直线方程为__________.11、【题文】下图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则____

12、已知函数f（x）=若函数F（x）=f（x）﹣x只有一个零点，则实数m的取值范围是________13、关于函数有以下四个命题：

①对于任意的x∈R；都有f（f（x））=1；

②函数f（x）是偶函数；

③若T为一个非零有理数；则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；

④在f（x）图象上存在三个点A；B，C，使得△ABC为等边三角形．

其中正确命题的序号是____．14、已知0＜x＜sinx﹣cosx=．若tanx+可表示成的形式（a，b，c为正整数），则a+b+c=____．15、圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为那么它的表面积为______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)16、已知

（1）化简f（x）

（2）若x是第三象限角，且求f（x）的值．

17、（1）求不等式的解集：（2）已知三角形的三个顶点是求边上的高所在直线的方程；18、△ABC中，求19、已知集合A={x|-2≤x≤5}；B={x|m+1≤x≤2m-1}．

（1）当m=3时；求集合A∩B；

（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．20、对于定义在区间D上的函数y=f（x），若存在x0∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≥f（x0），则称函数f（x）在区间D上有“下界”，把f（x0）称为函数f（x）在D上的“下界”．

（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；f1（x）=1-2x（x＞0），f2（x）=x+（0＜x≤5）．

（2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数f（x）在区间D上有“上界”的定义；并判断函数f2（x）=|x-|（0＜x≤5）是否有“上界”？说明理由；

（3）若函数f（x）在区间D上既有“上界”又有“下界”；则称函数f（x）是区间D上的“有界函数”，把“上界”减去“下界”的差称为函数f（x）在D上的“幅度M”．

对于实数a，试探究函数F（x）=x|x-2a|+3（a≤）是否是[1，2]上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M”的值．21、已知离心率为e=2的双曲线双曲线C的一个焦点到渐近线的距离是

(1)求双曲线C的方程。

(2)过点M(5，0)的直线l与双曲线C交于A、B两点，交y轴于N点，当且时，求直线l的方程．22、节能减排以来；兰州市100

户居民的月平均用电量(

单位：度)

以[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280)[280,300]

分组的频率分布直方图如图．

(1)

求直方图中x

的值；

(2)

求月平均用电量的众数和中位数；

(3)

估计用电量落在[220,300)

中的概率是多少？评卷人得分四、作图题(共4题，共32分)23、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．25、画出计算1++++的程序框图．26、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分五、计算题(共3题，共9分)27、计算：．28、已知x=，y=，则x6+y6=____．29、某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．评卷人得分六、综合题(共2题，共10分)30、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．31、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】试题分析：因为若必有故答案为．考点：集合与集合的关系．【解析】【答案】A2、B【分析】

因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=

而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例；

∵1400×=7，6000×=30，2000×=10；

故分别从这三种型号的轿车依次应抽取7辆；30辆、10辆．

故选B．

【解析】【答案】由题意先求出抽样比例即为再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．

3、B【分析】【解析】

因为函数例如，当的解集为选B【解析】【答案】B4、B【分析】标准差（方差）能反映样本数据分布的集中、稳定程度，并且数据的标准差（方差）越小，样本数据分布越集中。平均数只能反映数据总体数据的平均水平，不能反映数据的集中及稳定程度，极差也可以反映样本数据分布的集中和分散情况,故选B.【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】解：△ABC绕直线AB旋转一周；所形成的几何体是：

两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径；高之差为AB的圆锥的组合体；

∵BC=4；∠ABC=120°；

∴CO=2

∴几何体的体积V==12π；

故选：B

【分析】△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．6、B【分析】【解答】解：由两角差的余弦公式可得cos45°•cos15°+sin45°•sin15°=cos（45°﹣15°）=cos30°=

故选：B

【分析】由两角差的余弦公式和题意可得答案．7、C【分析】【分析】由关于x的方程2|x-1|+m+1=0有唯一的实数解，我们易得m的值，然后根据函数f（x)=log2（-|x|+4)的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，结合函数f（x)=log2（-|x|+4)的性质；可求出n的值，进而得到答案．

【解答】∵f（x)=log2（-|x|+4)的值域是[0；2]；

∴（-|x|+4)∈[1；4]

∴-|x|∈[-3；0]

∴|x|∈[0；3]①

若若关于x的方程2|x-1|+m+1=0有唯一的实数解。

则m=-2

又由函数f（x)=log2（-|x|+4)的定义域是[m；n]；

结合①可得n=3

即：m+n=1

故选C

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于x的方程2|1-x|+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于x的方程2|1-x|+1=-m有唯一的实数解，即-m为函数y=2|1-x|+1的最值，是解答本题的关键．8、D【分析】解：如图所示，

∵A∈α；B∈α，A∈l，B∈l；

∴l⊂α；

∵P∈l；

∴P∈α．

故选：D．

利用平面公理1；两点确定一条直线即可得出．

本题考查了平面公理1、两点确定一条直线，考查了推理能力，属于基础题．【解析】【答案】D二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】【解析】试题分析：在方向上的投影为=2cos=-考点：平面向量的数量积，平面向量投影的概念。【解析】【答案】-10、略

【分析】试题分析：∵直线都经过点∴可以看出两点都在直线上，故过点的直线方程为．考点：直线方程的求解．【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：由三视图知，该几何体是一个三棱锥，且底面是直角三角形，其底面积故其体积解得

考点：1.三视图；2.三棱锥的体积【解析】【答案】12、﹣2≤m＜﹣1【分析】【解答】解：由题意，令x2+4x+2=x，∴x2+3x+2=0；可得x=﹣2或﹣1；

∵函数F（x）=f（x）﹣x只有一个零点；

∴实数m的取值范围是﹣2≤m＜﹣1．

故答案为：﹣2≤m＜﹣1．

【分析】令x2+4x+2=x，可得x=﹣2或﹣1，利用函数F（x）=f（x）﹣x只有一个零点，即可求出实数m的取值范围．13、①②③④【分析】【解答】解：对于①；若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f（0）=1；

即对于任意的x∈R；都有f（f（x））=1；故①正确；

对于②；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数；

∴对任意x∈R；都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；

对于③；若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数；

∴根据函数的表达式；任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；

对于④，取x1=﹣x2=0，x3=可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0；

∴A（0），B（0，1），C（﹣0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

故答案为：①②③④．

【分析】①根据函数的对应法则；可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；

②根据函数奇偶性的定义；可得f（x）是偶函数；

③根据函数的表达式；结合有理数和无理数的性质；

④取x1=﹣x2=0，x3=可得A（0），B（0，1），C（﹣0），三点恰好构成等边三角形．14、50【分析】【解答】解：∵已知0＜x＜sinx﹣cosx=∴1﹣2sinxcosx=即sinxcosx=．

若tanx+=+===（a，b；c为正整数）；

∴a=32，b=16，c=2，则a+b+c=50；

故答案为：50．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得a、b、c的值，可得a+b+c的值．15、略

【分析】解：圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为扇形的弧长为：=2π．

所以扇形的面积为=3π；

圆锥的底面周长为：2π．

圆锥的底面半径为：1．

底面面积为：π．

圆锥的表面积为：4π．

故答案为：4π．

求出扇形的弧长转化为圆锥的底面周长；求出圆锥的底面面积，即可得到圆锥的全面积．

此题主要考查了圆锥的有关计算，得出扇形的半径正好等于圆锥的母线，扇形的面积等于圆锥侧面面积是解决问题的关键．【解析】4π三、解答题(共7题，共14分)16、略

【分析】

（1）==sinx．

（2）因为所以cosx=-

因为x是第三象限角，所以sinx=-=-=-．所以f（x）=-．

【解析】【答案】（1）直接利用诱导公式化简函数的表达式即可求出f（x）．

（2）利用诱导公式求出cosx；通过同角三角函数的基本关系式，求出sinx的值，即可求出f（x）的值．

17、略

【分析】试题分析：（1）先对左边进行因式分解，然后根据大于取两边可得解集；（2）求出直线的斜率，则可得边上的高所在直线的斜率，然后用点斜式写出方程。（1）原不等式可化为故该不等式的解集为6分（2）作直线垂足为点由斜率公式得8分10分由直线的点斜式方程可知直线的方程为：化简得：即12分考点：（1）一元二次不等式的解法；（2）利用点斜式求直线的方程。【解析】【答案】（1）（2）18、略

【分析】【解析】试题分析：∵A=120°，∴sinA=又S△ABC=bcsinA=∴bc=4，又a=cosA=-∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=21，∴b2+c2+2bc=21+bc=21+4=25，即（b+c）2=25，开方得：b+c=5，又bc=4，且c＞b，则b=1，c=4．考点：本题考查了余弦定理的运用及三角形的面积公式【解析】【答案】或19、略

【分析】

（1）当m=3时；先求出集合B，再根据交集的定义求集合A∩B即可；

（2）若B⊆A；求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．

本题考查集合中的参数取值问题，属于集合包含关系的运用，求解本题关键是理解包含关系的意义，本题中有一易错点，在第二小问中空集容易因为忘记讨论B是空集导到失分，这是一个很容易失分的失分点，切记．【解析】解：（1）当m=3时；B={x|4≤x≤5}（3分）

则A∩B={x|4≤x≤5}（6分）

（2）①当B为空集时；得m+1＞2m-1，则m＜2（9分）

当B不为空集时；m+1≤2m-1，得m≥2

由B⊆A可得m+1≥-2且2m-1≤5（12分）

得2≤m≤3（13分）

故实数m的取值范围为m≤3（14分）20、略

【分析】

（1）根据f（x0）称为函数f（x）在D上的“下界”的定义；判断即可；

（2）类比函数有“下界”的定义，写出函数f（x）在区间D上有“上界”的定义；通过讨论x的范围，判断函数f2（x）是否有“上界”即可；

（3）求出F（x）的分段函数式，讨论①当a≤0时，②当0＜a≤时；函数的解析式和对称轴，与区间的关系，由单调性即可得到最值和幅度M的值．

本题考查新定义的理解和应用，考查二次函数的最值的求法，注意单调性的运用，属于中档题．【解析】解：（1）∵f1（x）=1-2x（x＞0），∴f1（x）＜1；无“下界”；

∵f2（x）=x+≥2=8；当且仅当x=4时“=”成立（0＜x≤5）．

∴f2（x）=x+（0＜x≤5）有“下界”；

（2）对于定义在区间D上的函数y=f（x），若存在x0∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≤f（x0）；

则称函数f（x）在区间D上有“上界”，把f（x0）称为函数f（x）在D上的“上界”．

f2（x）=|x-|（0＜x≤5）；

0＜x＜4时，x-＜0；

f2（x）=-x，f2′（x）=--1＜0；

f2（x）在（0；4）递减；

x→0时，f2（x）→+∞；无“上界”；

4≤x≤5时，x-＞0；

f2（x）=x-f2′（x）=1+＞0；

f2（x）=x-在[4，5]递增，f2（x）≤f2（5）=

综上，函数f2（x）=|x-|（0＜x≤5）无“上界”；

（3）F（x）=x|x-2a|+3=

①当a≤0时，F（x）=x2-2ax+3对称轴为x=a；在[1，2]递增；

F（x）max=F（2）=7-4a，F（x）min=F（1）=4-2a；

幅度M=F（2）-F（1）=3-2a；

②当0＜a≤时，F（x）=x2-2ax+3；

区间[1；2]在对称轴的右边，为增区间；

F（x）max=F（2），F（x）min=F（1）；

幅度M=F（2）-F（1）=3-2a．

综上可得是[1；2]上的“有界函数”；

“幅度M”的值为3-2a．21、略

【分析】(1)根据点到直线的距离公式求出右焦点F(c，0)到渐近线bx-ay=0的距离；从而得a=1最后写出双曲线方程。

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得直线l的方程，从而解决问题．【解析】解：(1)∵(1分)

右焦点F(c，0)到渐近线bx-ay=0的距离(3分)

从而得a=1∴双曲线方程是(5分)

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)

由得(3-k2)x2+10k2x-25k2-3=0①

由得，同理

解得k=±3满足①∴l方程为3x-y-15=0或3x+y-15=022、略

【分析】

(1)

由直方图的性质可得20隆脕(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1

解方程可得；

(2)

由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得；可得中位数在[220,240)

内，设中位数为a

解方程0.45+(y鈭�220)隆脕0.0125=0.5

可得；

(3)

月平均用电量在[220,330)

中的概率是p=1鈭�(0.002+0.0095+0.011)隆脕20

．

本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数，考查学生的计算能力，属基础题．【解析】解：(1)

依题意；20隆脕(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1

解得x=0.0075

．

(2)

由图可知；最高矩形的数据组为[220,240)

隆脿

众数为220+2402=230

．

隆脽[160,220)

的频率之和为(0.002+0.0095+0.011)隆脕20=0.45

隆脿

依题意；设中位数为y

隆脿0.45+(y鈭�220)隆脕0.0125=0.5.

解得y=224隆脿

中位数为224

．

(3)

月平均用电量在[220,330)

中的概率是p=1鈭�(0.002+0.0095+0.011)隆脕20=0.55

．四、作图题(共4题，共32分)23、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．24、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．25、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．26、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．五、计算题(共3题，共9分)27、略

【分析】【分析】根据二次根式的性质求出的值，根据零指数幂求出π-1的零次幂的值，把cos30°的值代入，分母有理化求出的值，再代入求出即可．【解析】【解答】解：；

=；

=1．28、略

【分析】【分析】根据完全立法和公式将所求的代数式转化为x6+y6=（x2+y2）3-3x2y2（x2+y2）；然后将已知条件代入并求值即可．【解析】【解答】解：∵x=，y=；

∴x6+y6

=（x2+y2）3-3x2y2（x2+y2）

=（5-+5+）3-3×（5-）（5+）（5-+5+）

=103-3×20×10

=400；

故答案是：400．29、略

【分析】【分析】设有x个学生；y个管理员．

①该宿舍每位学生与赠一张贺卡；那么每个人收到的贺卡就是x-1张，那么总共就用去了x（x-1）（乘法原理）张贺卡；

②每个人又赠给每一位管理员一张贺卡；那么就用去了xy（乘法原理）张贺卡；

③每位管理员也回赠舍长一张贺卡；那么就用去了y张贺卡；

所以根据题意列出方程：x（x-1）+xy+y=51（加法原理），然后根据生活实际情况解方程即可．【解析】【解答】解：设有x个学生；y个管理员．

该宿舍每位学生与赠一张贺卡；那么每个人收到的贺卡就是x-1张，那么总共就用去了x（x-1）张贺卡；

每个人又赠给每一位管理员一张贺卡；那么就用去了xy张贺卡；

每位管理员也回赠舍长一张贺卡；那么就用去了y张贺卡；

∴x（x-1）+xy+y=51；

∴51=x（x-1）+xy+y=x（x-1）+y（x+1）≥x（x-1）+x+1=x2+1（当y=1时取“=”）；

解得；x≤7；

x（x-1）+（x+1）y=51

∵51是奇数；而x和x-1中，有一个是偶数；

∴x（x-1）是偶数；

∴（x+1）y是奇数；

∴x是偶数；

而x≤7；所以x只有246三种情况；

当x=2时，y=（不是整数；舍去）；

当x=4时，y=（不是整数；舍去）；

当x=6时；y=3．

所以这个宿舍有6个学生．六、综合题(共2题，共10分)30、略

【分析】【分析】（1）设C（x；-x），根据两点间的距离公式（勾股定理）得到方程，求出方程的解即可；

（2）作BE⊥AC于E；求出AC，根据勾股定理求出BC，得到AC=BC，求出CE；BE，求出∠A即可；

（3）求出△ABC的高CD的长，求出AB的长，根据