2019届江苏专用高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积讲义文苏教版

§5.3平面向量的数量积基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习知识梳理∠AOB[0，π]2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

叫做a与b的数量积，记作a·b几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

的乘积|a||b|·cos

θ|b|cos

θ3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则(1)e·a＝a·e＝|a|cos

θ.(2)a⊥b⇔

.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝

或|a|＝

.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤

.a·b＝0|a||b||a|24.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝

；(2)(λa)·b＝

＝

＝

(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝

.b·aa·(λb)λ(a·b)λa·ba·c＋b·c5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝

，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝

或|a|＝

.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝

.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔

.(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos

θ＝

＝

.x1x2＋y1y2x2＋y2x1x2＋y1y2＝0知识拓展1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(

)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(

)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(

)×√×××考点自测1.设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：①a·(b－c)＝a·b－a·c；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.其中正确的有____个.答案解析1由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos

θ＋|b|2知③不正确；对于④，∵a·b＝|a||b|·cos

θ＝0，∴|a|＝0或|b|＝0或cos

θ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正确.－16答案解析答案解析4.(教材改编)已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是________.答案解析－3b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.答案解析题型分类深度剖析答案解析3在▱ABCD中，AB＝m，AD＝2，∠BAD＝60°，因为m>0，所以m＝2，11答案解析几何画板展示方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.思维升华答案解析30°又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.9答案解析题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模3答案解析令AC＝b，由题意得因为点D在边BC上，整理得b2－2b－3＝0，解之得b＝3(b＝－1舍去)，即AC的长为3.(2)(2016·江苏启东中学阶段测试)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角等于150°，b与c的夹角等于120°，|c|＝2，求|a|，|b|.解答由a＋b＋c＝0，命题点2求向量的夹角例3

(1)(2016·南京、盐城调研)已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝

，则向量a，b的夹角为____.答案解析21＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝25＋1－10cosθ，(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_____________________.答案解析∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，∴4k－6－6＜0，∴k＜3.即2a－3b与c反向.平面向量数量积求解问题的策略思维升华(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：9答案解析答案解析解答因为m⊥n，解答平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.思维升华跟踪训练3

在△ABC中，已知C＝

，m＝(sinA，1)，n＝(1，cos

B)，且m⊥n.(1)求A的值；解答由题意知m·n＝sinA＋cos

B＝0，解答

利用数量积求向量夹角现场纠错系列5错解展示现场纠错纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况.返回解错解中，cos

θ<0包含了θ＝π，返回课时作业12345678910111213141.(2016·苏州期末)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x＝____.答案解析9先由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即a2＝a·b，再代入数据.把a＝(1，2)，b＝(x，－2)，代入a2＝a·b，得5＝x－4，所以x＝9.2.若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝______.答案解析|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°12345678910111213143.已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为______.答案解析∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，又〈a，b〉∈[0，π]，1234567891011121314答案解析2解得2x＝－2(舍)或2x＝1，故a＝(1，1)，b＝(1，－1)，故a－b＝(0，2)，故|a－b|＝2.1234567891011121314－5答案解析1234567891011121314答案解析1234567891011121314答案解析1234567891011121314方法二建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cosα，3sinα)，则C(3cosα＋2，3sinα)，M(2cosα，2sinα).1234567891011121314答案解析如图，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，不妨设B(－3，0)，C(3，0)，12345678910111213144答案解析由题意可建立如图所示的坐标系，可得A(2，0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0，0)，1234567891011121314－2＝－6＋1＋3＝－2.1234567891011121314答案解析－2答案解析12345678910111213141234567891011121314答案解析1234567891011121314以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，1234567891011121314所以点C的运动轨迹是以点P为圆心，1为半径的圆，123456789101112131413.(2016·江苏如东中学质检)在△ABC中，B＝

，D是边BC上一点，AD＝5，CD＝3，AC＝7.(1)求