中考数学二轮培优训练第19讲 平行四边形中的分类讨论（原卷版）

第19讲平行四边形中的分类讨论【应对方法与策略】平行四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在一起进行考察。一、解题基本思路解决动点问题的思路，要注意以下几点：1、设出未知数动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t2、动点的运动路径就是线段长度题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。而2t也就是这个点所运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。3、方程思想求出时间动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，列出方程求解出t的值。4、难点是找等量关系这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。5、注意分类讨论因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意分类讨论。【多题一解】【一题多解】一、填空题1．（2022春·四川巴中·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，cm，cm，点在边上以每秒1cm的速度从点、A向点运动，点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）在运动以后，当______时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．二、解答题2．（2022秋·山东济宁·九年级嘉祥县第四中学校考期末）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形AOCD面积的最大值；(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022春·广东湛江·八年级吴川市第一中学校考期末）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为1秒，当时，求的面积．(3)在（2）的条件下，当点P，Q运动至四边形为矩形时，求t的值．4．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，中，，动点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D同时出发，沿平行四边形的边，分别向点B、C、D、A匀速运动，运动时间记为t，当其中一个点到达终点时，其余各点均停止运动，连接PQ，QM，MN，NP．已知，，动点P、M的速度均是，动点Q、N的速度均是，(1)_______，_______（用含t的代数式表示）(2)在点P、Q、M、N的整个运动过程中，四边形PQMN一定会是一种特殊的四边形吗？如果是，指出并证明你的结论，如果不是，说明理由．(3)在点P、Q、M、N的运动过程中，四边形PQMN能成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由．5．（2023春·辽宁大连·九年级专题练习）已知、为双曲线上两点，且其横坐标分别为，，分别过、作轴、轴的垂线，垂足分别为、，交点为．(1)若矩形的面积为，求的值；(2)随着a的取值的不同，两点不断运动，判断能否为边的中点，同时为中点？请说明理由；(3)矩形能否成为正方形？若能，求出此时的值及正方形的边长，若不能，说明理由．6．（2022春·广东·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为，，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：(1)若点P是线段AC的中点，直接写出________．(2)如图2，过点P作轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标．(3)连接BP，若是等腰三角形，求CP的长度．7．（2022春·重庆开州·八年级统考期末）如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．(1)求点C的坐标；(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．8．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知点、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连接，设运动时间为秒．(1)_________，_________；(2)当为何值时，；(3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(4)当点关于点的对称点落在的内部（不包括边上）时，请直接写出的取值范围．9．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）综合与实践问题情境：矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，将△BCD沿着对角线BD所在的直线平移，得到△B′C′D′，连接AB′，DC′．操作探究：(1)如图1，当△BCD沿射线BD的方向平移时，请判断AB′与DC′的长度有何关系？并说明理由；(2)如图2，当△BCD沿射线DB的方向平移时，四边形AB′C′D能成为菱形吗？若能，求出平移的距离；若不能，说明理由；(3)当△BCD平移距离为2时，请你在备用图中画出平移后的图形（除图2），并提出一个问题，直接写出结论．10．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．（t>0）(1)DE＝______；(2)连接AP，当四边形APED是菱形时，求菱形APED的周长；(3)连接BP、PD，设四边形ABPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(4)直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．11．（2021春·四川泸州·八年级统考期末）如图（a），直线∶经过点A、B，OA=OB=3，直线:交y轴于点C，且与直线交于点D，连接OD．(1)求直线的解析式；(2)求△OCD的面积；(3)如图（b），点P是直线上的一动点，连接CP交线段OD于点E，当△COE与△DEP的面积相等时，求点P的坐标；(4)在（3）的条件下，若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以D、C、P、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．(1)求点的坐标和反比例函数的关系式；(2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求值．(3)在（2）的条件下，坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．13．（2022春·山东青岛·九年级山东省青岛实验初级中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AD=12，BD=16．动点E在线段AD上，从点A出发沿AD方向以每秒2个单位匀速运动．动点F在线段CD上，从点C出发沿CD方向以每秒4个单位匀速运动．过点E作EG⊥AD交AB于G．若点E、F同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．(1)是否存在某一时刻t，使四边形BCFG为平行四边形，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．(2)是否存在某一时刻t，使四边形BDEG的面积占△ABD面积的，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在某一时刻t，使点G在∠ADC的平分线上，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻t，使∠GEF=45°，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．14．（2022秋·吉林长春·九年级吉林大学附属中学期末）如图，在□ABCD中，∠ABD＝90°，，BD＝8cm．点P从点A出发，沿折线AB—BC向终点C运动，点P在AB边、BC边上的运动速度分别为1cm/s、cm/s．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM=2PQ，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形PQMN与□ABCD重叠部分的面积为S（cm2）．(1)求边AB的长；(2)当0＜t＜4时，PQ＝，当4＜t＜8时，PQ＝（用含t的代数式表示）；(3)当点M落在BD上时，求t的值；(4)当矩形PQMN与□ABCD重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．15．（2022·山东青岛·统考二模）已知：如图，在中，，cm，cm．点是中点，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为2cm/s；同时点从点出发，沿向点匀速运动，速度为3cm/s；连接，，，将绕点旋转得，连接，．设运动时间为t（s），解答下列问题：(1)当为何值时，？(2)当为何值时，四边形是菱形？(3)设四边形的面积为（cm2），求与的函数关系式；(4)是否存在某一时刻，使得点在的外接圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．16．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交l于点E，求的最大值；(3)设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．17．（2022·四川成都·统考二模）已知在正方形中，E是边上一动点，作点B关于的对称点F，交于点G，连结．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，过点D作交的延长线于点M，连结．若，试探究四边形的形状，并说明理由；(3)如图3，连结，在上截取，点P，Q分别是上的动点．若正方形的面积为32，直接写出周长的最小值．18．（