备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第四章-§4-5-三角函数的图象与性质

§4.5三角函数的图

象与性质第四章

三角函数与解三角形1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在

上的性质.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.用“五点(画图)法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，

，_______，_________，(2π，0).(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，

，_________，_______，(2π，1).(π，0)(π，－1)2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象

定义域RR____________值域________________周期性___________奇偶性______________奇函数单调递增区间单调递减区间

[－1,1][－1,1]R2π2ππ奇函数偶函数[2kπ，2kπ＋π]_____________________________________________________________________________对称中心___________________对称轴方程__________________(kπ，0)x＝kπ1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是

个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是

个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是

个周期.2.奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝

＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内单调递减.(

)(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.(

)(3)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋

(k∈Z).(

)(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数.(

)×√××1.若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2√2.函数y＝－tan的单调递减区间为_____________________.3.函数y＝3－2cos的最大值为____，此时x＝______________.5第二部分探究核心题型例1

题型一三角函数的定义域和值域√－4(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为_______________.设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，∴sinxcosx＝

，当t＝1时，ymax＝1；三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.思维升华跟踪训练1

(1)(2021·北京)函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为D.偶函数，最大值为√由题意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，例2

题型二三角函数的周期性与对称性√对于A，f(x)的最小正周期为

＝π，故A错误；故B错误；(2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝_____，f(x)图象的对称中心为_________________.又∵φ∈(0，π)，(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式.(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为

，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为

求解.√跟踪训练2

(2)(2020·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝sinx＋

，则A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x＝π对称D.f(x)的图象关于直线x＝

对称√∴f(x)min<0，故A错误；∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故B错误；∴f(π－x)≠f(π＋x)，∴f(x)的图象不关于直线x＝π对称，故C错误；命题点1求三角函数的单调区间例3

函数f(x)＝sin的单调递减区间为_______________________.题型三三角函数的单调性延伸探究

若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间.B＝[0，π]，命题点2根据单调性求参数例4

√当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.跟踪训练3

(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则√依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.(2)已知函数f(x)＝sin

(ω>0)，则“函数f(x)在

上单调递增”是“0<ω<2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√故k只能取0，即0<ω≤1，课时精练第三部分12345678910111213141516基础保分练√2.(2023·成都模拟)已知f(x)＝

，则f(x)是A.奇函数且最小正周期为πB.偶函数且最小正周期为πC.奇函数且最小正周期为2πD.偶函数且最小正周期为2π√1234567891011121314151612345678910111213141516A.1

B.2

C.3

D.4√123456789101112131415164.(2023·广州模拟)如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点

对称，则|φ|的最小值是√12345678910111213141516123456789101112131415165.(2023·攀枝花模拟)已知函数f(x)＝sinx－cosx，则下列结论中正确的是A.f(x)的最大值为2B.f(x)在区间

上单调递增C.f(x)的图象关于点

对称D.f(x)的最小正周期为π√12345678910111213141516对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误.123456789101112131415166.(2023·银川模拟)对于函数f(x)＝|sinx|＋cos2x，下列结论错误的是A.f(x)的值域为B.f(x)在

上单调递增C.f(x)的图象不关于直线x＝

对称D.π是f(x)的一个周期√12345678910111213141516f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos2(x＋π)＝|sinx|＋cos2x＝f(x)，所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确；对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sinx≥0，所以f(x)＝sinx＋1－2sin2x，令t＝sinx，则g(t)＝－2t2＋t＋112345678910111213141516因为t＝sinx，t∈[0,1]，7.(2023·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝__________________.12345678910111213141516tanx(答案不唯一)根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在(0,1)上单调递增，构造即可，如f(x)＝tanx满足题意.12345678910111213141516123456789101112131415169.已知函数f(x)＝

cosxsinx＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；12345678910111213141516(2)求函数f(x)在区间

上的最大值和最小值.1234567891011121314151610.(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定.(1)求f(x)的解析式；12345678910111213141516条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝

.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.12345678910111213141516选择条件①②：由条件①及已知得T＝

＝π，所以ω＝2.由条件②f(0)＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z).因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin2x.经检验φ＝0符合题意.选择条件①③：由条件①及已知得T＝

＝π，所以ω＝2.因为|φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin2x.123456789101112131415161234567891011121314151611.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)

，在区间(0,1)上不可能A.单调递增

B.单调递减C.有最大值

D.有最小值12345678910111213141516√综合提升练12345678910111213141516当x∈(0,1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω，故f(x)在(0,1)上不可能单调递减.12345678910111213141516√12345678910111213141516∵

f(x＋3π)故3π为函数f(x)的一个周期；12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516作出函数f(x)的大致图象如图所示.观察可知，3π为函数f(x)的最小正周期，故A正确；123456789101112131415161234567891011121314151613.(2023·福州模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在

上单调递减.写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝_________________________.1234567891011121314151612345678910111213141516对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点

中心对称；对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝

对称；14.(2023·唐山模拟)已知sinx