2024-2025学年陕西省西安市高二上册第二次（12月）月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西省西安市高二上学期第二次（12月）月考数学检测试题一、未知（本大题共11小题）1．已知数列的前项和为，且满足，，则（

）A．31 B．32 C．35 D．362．已知向量，，若，，则的值是（

）A．或1 B．3或 C． D．13．已知数列满足则其前9项和等于（

）A．150 B．180 C．300 D．3604．双曲线的右焦点到其渐近线的距离为(

)A． B． C． D．5．圆：与圆：的位置关系为（）A．相交 B．外切 C．内切 D．外离6．已知正方体的棱长为1，在正方体内部，且满足，则点到直线AD的距离是（

）A． B． C． D．7．已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则等于（

）A．4 B． C． D．38．已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（

）A． B． C． D．9．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线l1与过点(a,3)，(-1,1)的直线l2平行，则a的取值可以为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．210．等差数列的前项和为，公差.若，则以下结论一定正确的是（

）A． B．的最小值为C． D．存在最大值11．已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（

）A．离心率的取值范围为B．不存在点，使得C．当时，的最大值为D．的最小值为1二、填空题（本大题共3小题）12．已知直线与直线互相垂直，则．13．记为等差数列的前n项和.若，则=___________.14．若圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长为．三、解答题（本大题共5小题）15．已知直线与垂直．(1)求;(2)求直线与直线之间的距离．16．已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点．（1）当经过圆心时，求直线的方程；（2）当直线的斜率时，求弦的长．17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝44，S8＝56.（1）求Sn；（2）求Sn的最大值.18．已知椭圆​与​轴的正半轴交于点，且离心率​.(1)求椭圆​的方程;(2)若直线​过点​与椭圆​交于​两点，求​面积的最大值并求此时的直线方程.19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且．(1)证明：；(2)求直线和平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值．

答案1．【正确答案】D【详解】.则.故选：D2．【正确答案】A【详解】因为，，且，，所以，解得或，所以或.故选：A3．【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求解.【详解】因为所以所以其前9项和等于，故选:B.4．【正确答案】D求出双曲线的右焦点坐标,渐近线方程,利用已知条件求解,即可求得答案.【详解】双曲线可得:,可得:可得右焦点为,点F到渐近线的距离为:故选:D.5．【正确答案】A【详解】由已知，得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，∵，∴两圆相交.故选：A．6．【正确答案】B【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，因为，所以，易知，故点到直线AD的距离.故选：B.7．【正确答案】A【详解】由方程得，圆心为，因为直线l是圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，所以，所以A点坐标为，则，所以.故选：A．8．【正确答案】D【详解】如图，：的图象，则，，其中，设，，则，，，，因，得，故，得，由得，得即，得由，得，又，，化简得，又椭圆离心率，所以，得.故选：D9．【正确答案】AC【详解】若直线l1与l2平行，则，即a(a+1)=2，故a=-2或a=1.当时，，，符合题设；当时，，，符合题设；故选：AC.10．【正确答案】AC首先根据，得到，再依次判断选项即可.【详解】因为，所以，又因为，解得.对选项A，，故A正确；对选项B，，因为，，，，所以的最小值为或，故B错误；对选项C，，又因为，所以，即，故C正确；对选项D，因为，，所以无最大值，故D错误.故选：AC11．【正确答案】ABC【分析】A：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【详解】对于A，由已知可得，，所以，则，故A正确；对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；对于C，由已知，，所以，．又，则．根据椭圆的定义可得，所以，由图可知，，

所以当且仅当，，三点共线时，取得等号．故的最大值为，故C正确；对于D，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为，故D错误．故选：ABC本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.12．【正确答案】【详解】斜率为直线斜率为两直线垂直，所以斜率之积为，即所以故．13．【正确答案】144【分析】利用等差数列的前n项和公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则解得，所以，故答案为:144.14．【正确答案】【详解】根据题意，圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为：，半径．由圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则有，可得．由，得故．15．【正确答案】(1)1或3(2)时,距离为;时,距离为．【详解】（1）解:由题知与垂直,故有,解得或;（2）由(1)知或,当时,,则两直线的距离为:,当时,,则两直线的距离为:,综上:时,距离为;时,距离为．16．【正确答案】（1）；（2）．（1）求得圆心为，根据斜率公式，求得直线的斜率为，结合点斜式，即可求解；（2）当直线的斜率时，求得直线的方程，结合圆的弦长公式，即可求解.【详解】（1）由题意，圆的圆心为，因为直线过点、，所以直线的斜率为，即直线的方程为，所以．（2）当直线的斜率时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以弦AB的长为．17．【正确答案】（1）；（2）56.（1）根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得a1和d的值，代入公式，即可求得Sn；（2）根据等差数列前n项和的函数性质，求解即可.【详解】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4＝44，S8＝56，得，解得a1＝14，d＝﹣2，所以；（2）由（1）可知，为关于n的二次型函数，其对称轴方程为，又因为，所以当n＝7或8时，Sn有最大值为56.18．【正确答案】(1)(2)​；【详解】（1）由题意，由离心率可得出，从而得出方程.（2）由题意直线​的斜率不为0，设​与椭圆方程联立，得出韦达定理，得出​面积的表达式，求出其最大值即可得出答案.(1)椭圆​与​轴的正半轴交于点​，则，则​椭圆​的方程为:​(2)当直线​的斜率为0时，​三点共线，显然不满足题意.当直线​的斜率不为0时，设​代入​，得到​​设​​​​令​令​，在​单调递增，​当​为最大​，此时​的方程为:​19．【正确答案】(1)见详解(2)(3)存在，【详解】（1）证明：∵，为的中点

∴又∵平面平面，平面平面，平面∴平面∵平面

∴（2）解法1：分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，∵为的中点，是边长为1的等边三角形∴是直角三角形，，，∵CB、CD的中点为F、G，∴，，由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形∵，∴，以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，设是平面的一个法向量，则，即令，则，，，∴直线和平面所成角的正弦值