四海省广元市苍溪县2024-2025学年九年级上学期期末质量监测数学试题 （原卷版+解析版）

2024年秋九年级期末质量监测数学试题考试时间：120分钟分值：150分一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A.刘徽的割圆术 B.中国七巧板C杨辉三角 D.赵爽弦图2.将一元二次方程化成一般形式（）A. B.C. D.3.下列事件中的必然事件是（）A.地球绕着太阳转 B.射击运动员射击一次，命中靶心C.天空出现三个太阳 D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯4.如图，将绕点C逆时针旋转（）得到，点A的对应点恰好落在AB边上，若，则旋转角的度数是（）A. B. C. D.5.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（）A.－2 B.2 C.－4 D.46.如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E点，且BC＝6，∠BAC＝30°，则CD的值是（）A.4 B. C. D.9.67.若点，，在二次函数的图象上，下列数量关系正确的是（）A. B. C. D.8.我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（）A. B.C. D.9.如图，在等腰中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与交于点（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为（）A. B. C. D.10.已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11.方程是关于的一元二次方程，则___________．12.抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是______．13.为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为______个．14.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________．15.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为______米．16.如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为______．三、解答题17.按要求解下列方程：（1）（任选一种方法）（2）（配方法）18.如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，．（1）对称中心的坐标为______；（2）将绕点O顺时针旋转90°得到．①在直角坐标系中画出；②求点A经过的路径的长．19.已知关于的方程（为常数）．（1）请你说明，无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若，解这个方程．20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径．21.如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．（1）写出、、的坐标；（2）当时，求函数值的取值范围；（3）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求面积的最大值．22.为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；（2）扇形统计图中“羽毛球”对应扇形的圆心角度数是______；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？23.如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，，求的长．（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．24.在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷．（1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率；（2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？25.【模型感知】手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．（1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：；【模型应用】（2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______；【类比探究】（3）如图3，已知和都是等边三角形．①当点在线段上时，过点作于点．求证：②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______．26.如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．

2024年秋九年级期末质量监测数学试题考试时间：120分钟分值：150分一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A.刘徽的割圆术 B.中国七巧板C.杨辉三角 D.赵爽弦图【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的定义；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的；B、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的；C、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的；D、该图形是中心对称图形，故该选项是正确的；故选：D2.将一元二次方程化成一般形式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可．【详解】解：，∴；故选D．3.下列事件中的必然事件是（）A.地球绕着太阳转 B.射击运动员射击一次，命中靶心C.天空出现三个太阳 D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【答案】A【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【详解】解∶A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误；D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；故选∶A．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.如图，将绕点C逆时针旋转（）得到，点A的对应点恰好落在AB边上，若，则旋转角的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角及三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质，得到，进而得到，根据三角形内和定理求出即可．【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转（）得到，∴，，∴，∵．故选：C．5.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（）A.－2 B.2 C.－4 D.4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根∴∴，故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程根判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．6.如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E点，且BC＝6，∠BAC＝30°，则CD的值是（）A.4 B. C. D.9.6【答案】B【解析】【分析】AB是圆O的直径，AB⊥CD，得到∠ACB=90°，∠AEC=90°，，再由含30度角的直角三角形的性质得到AB=2BC=12，，然后利用勾股定理求出即可得到答案．【详解】解：∵AB是圆O的直径，AB⊥CD，∴∠ACB=90°，∠AEC=90°，，又∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=12，，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理，直角所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．7.若点，，在二次函数的图象上，下列数量关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是先求出二次函数的对称轴，再根据对称轴及函数的单调性判断函数值的大小关系．先将二次函数化为顶点式，求出对称轴，再分别计算各点到对称轴的距离，最后根据二次函数的性质比较函数值大小．【详解】将二次函数化为顶点式：所以该二次函数的对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，因为二次项系数，当时，，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且点到对称轴的距离越远，函数值越小，比较距离大小，所以，故答案为：C．8.我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可．【详解】解：设宽为x步，则长为步，由题意得：，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键．9.如图，在等腰中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与交于点（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，由等腰直角三角形的性质可得，，，进而由余角性质得，最后证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵等腰中，，于点，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：．10.已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】由该抛物线经过点即可判断结论①；由各点到抛物线对称轴的距离大小即可判断结论②；由当时函数值取最大值，即可判断结论③；由对称轴为直线，即可判断结论④；由抛物线的对称轴可得该抛物线与轴的交点坐标，即可判断结论⑤．【详解】解：如下图，∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为∴当时，可有，故结论①正确；∵，∴该二次函数的图象开口向下，∴函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小，∵对称轴为，∵，，，又∵，∴，故结论②错误；∵该函数图像的对称轴，∴，∵，即，∴，∵该二次函数的图象开口向下，∴当时，该函数取最大值，∴为任意实数，可有，即，故结论③正确；∵若且，即有，∵函数图象的对称轴为，∴，即，故结论④错误；∵方程的两实数根为，，∴抛物线与直线的交点的横坐标为，，由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为，即该抛物线与轴的交点为，，∵该抛物线开口向下，，∴，，故结论⑤正确．综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程和不等式的关系、利用不等式求自变量或函数值的范围等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11.方程是关于的一元二次方程，则___________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值．【详解】解：方程是关于的一元二次方程，，且，解得；故答案是：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．12.抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．根据平移规律计算即可．【详解】抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是．故答案为：．13.为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为______个．【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用、频率等知识，结合频率的概念建立关于的分式方程是解题关键．设暗箱里黑球的个数为个，根据“频率稳定在附近”可得，求解并检验，即可获得答案．【详解】解：设暗箱里黑球的个数为个，根据题意，可得，解得，经检验，是该分式方程的解，所以暗箱里黑球的个数为9个．故答案为：9．14.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质可求得和的长度，进而可求得点的坐标．【详解】解：作轴于点，由旋转可得，轴，∴四边形为矩形，∴，，∴点坐标为．故答案为：．【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系．15.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为______米．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数综合应用，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设该抛物线的表达式为，代入点的坐标求出解析式，再把点的纵坐标代入解析式，进而求得点的横坐标，即可求解，解题的关键是正确地建立平面直角坐标系．【详解】解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系，由题意可得，点的坐标为，点的纵坐标为，设抛物线形的解析式为，把代入得，，解得，∴，把代入得，，解得，∴米，故答案为：．16.如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为______．【答案】或【解析】【分析】先求出，则，再分分与相切和与相切两种情况考虑：利用切线的性质得到和圆的性质分别表示出的长，再在中利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：四边形是正方形，点坐标为，，∵点是的中点，∴．分与相切和与相切两种情况考虑：①当与相切时，如图1所示．点横坐标为，．在中，，，，，即，解得：；②当与相切时，设切点为，连接，如图2所示．，，，四边形为矩形，，．在中，，，，，即，解得：，（不合题意，舍去）．综上所述：的值为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．三、解答题17.按要求解下列方程：（1）（任选一种方法）（2）（配方法）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）根据一除，二移，三配，四变形，五开方的步骤，进行求解即可.【小问1详解】解：将原方程化为一般形式，得即：∴∴∴；【小问2详解】解：，，∴.18.如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，．（1）对称中心的坐标为______；（2）将绕点O顺时针旋转90°得到．①在直角坐标系中画出；②求点A经过的路径的长．【答案】（1）（2）①见解析；②【解析】【分析】本题考查了图形的变换：中心对称与旋转变换，画旋转图形，旋转经过的路径长；（1）根据A、D两点的坐标即可确定对称中心；（2）①确定A、B、C三个顶点旋转的对应点，依次连接即可；②求出的长，由弧长公式即可求解．【小问1详解】解：由中点坐标公式得：，即对称中心的坐标为；故答案为：；【小问2详解】解：①如图，即为所求．②连接OA，根据勾股定理可得，∴点A经过的路径的长为．19.已知关于的方程（为常数）．（1）请你说明，无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若，解这个方程．【答案】（1）见解析（2），【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．（1）根据根的判别式求出，再根据根的判别式求解即可；（2）把代入方程，解一元二次方程即可．【小问1详解】解：由于是一元二次方程，，无论取何实数，总有，方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：当，代入方程，得：，，，，．故答案为：，．20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径．【答案】（1）作图见解析；（2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切；理由见解析；（3）⊙O的半径为3．【解析】【分析】（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心；（2）根据切线的判定即可判断直线BC与⊙O的位置关系；（3）根据AB=8，BD=4，即可求⊙O半径．【详解】（1）如图，⊙O即为所求；（2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切，理由如下：连接OD，∴OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，OD是半径，∴直线BC与⊙O相切；（3）设⊙O的半径为x，在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．答：⊙O的半径为3．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线性质、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是准确画图．21.如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．（1）写出、、的坐标；（2）当时，求函数值的取值范围；（3）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）（3）最大值为【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：（1）分别令，进行求解即可；（2）根据二次函数的增减性进行求解即可；（3）连接，分割法表示出的面积，利用二次函数求最值即可．【小问1详解】解：∵，∴当时，，当时，解得：，∴；【小问2详解】∵，∴对称轴为直线，∴当时，函数有最小值为，∵，∴当时，，当时，，∴当时，；【小问3详解】连接，∵，∴，设点，∴，，∵点P是第四象限内抛物线上一动点，∴，∴当时，S有最大值，最大值为．22.为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？【答案】（1）100，见解析（2）（3）【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．【小问1详解】解：根据题意得本次被调查的学生人数（人），喜爱足球的人数为：（人），条形图如图所示，；【小问2详解】解：“羽毛球”人数所占比例为：，所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数，【小问3详解】解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：

∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，∴P（甲、乙两人被选中）．23.如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，，求的长．（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线．（2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x．（3）根据求解即可．【小问1详解】证明：∵与相切于点A，∴，∵平分，，∴，∴是切线；【小问2详解】解：∵的半径为2，∴，∵，，∴，，∵，都是的切线，∴设，则，∴在中，即，解得，∴．【小问3详解】在中，，，∴，，∴，∴，，，∴【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识．24.在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷．（1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率；（2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？【答案】（1）（2）3元【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：（1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．根据两年时间种植面积由80公顷变为公顷列出方程求解即可；（2）设售价应降低y元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为1750列出方程求解即可．【小问1详解】解：设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．由题意，得，解得（舍去）．答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为．【小问2详解】解：设售价应降低y元．由题意，得，整理得解得．∵要尽快减少库存，∴．答：售价应降低3元．25.【模型感知】手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．（1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：