2024-2025学年江苏省镇江市高二上册期末考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省镇江市高二上学期期末考试数学检测试题注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.一、单选题（每小题5分共40分）1.直线的倾斜角为（）A.45° B.60° C.135° D.150°2.已知，则的值为（）A.2 B.-2 C.1 D.-13.已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（）A. B.C. D.4.函数的单调增区间是（）A. B.C. D.5.在四面体中，点满足，若，则（）A B. C. D.16.若是函数的极大值点，则实数的值为（）A. B. C. D.或7.某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（）A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台8.某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A600种 B.1080种 C.1200种 D.1560种二、多选题（每小题5分共20分：选错不得分，漏选得2分）9.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.10.已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（

）A. B. C. D.11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，选法总数为B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C.若物理和历史不能同时选，选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12.已知数列满足，则（）A.为等比数列B.的通项公式为C.为单调递减数列D.的前n项和三、填空题（每小题5分共20分）13若，则_____________.14.由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数__________.15.已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为___．16.若直线是曲线与曲线的公切线，则______．四、解答题（17题10分，18-22每题12分）17.已知函数在处取得极值.（1）求实数的值和函数的极值；（2）当时，求函数的最小值.18.已知圆（1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线方程；（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．19.已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列（1）求数列通项公式（2）设，求数列的前项和20名男生和名女生站成一排．（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？（4）男、女相间的站法有多少种？（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？21.如图，在平行六面体中，，，，，设，，.（1）用向量，，表示并求（2）求的值和异面直线与的夹角余弦值.22.设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值；（3）若函数在区间内恰有两个零点，试求的取值范围．2024-2025学年江苏省镇江市高二上学期期末考试数学检测试题注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.一、单选题（每小题5分共40分）1.直线的倾斜角为（）A.45° B.60° C.135° D.150°【正确答案】C【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率，利用即可算出所求的倾斜角大小．【详解】根据题意：，所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，且，可得．故选：C2.已知，则的值为（）A.2 B.-2 C.1 D.-1【正确答案】B分析】对求导代入求出得到，代入0可得答案.【详解】根据题意,，则其导数，令可得：，解可得，则有，故.故选：B.3.已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据已知条件可确定圆心和半径，写出圆的标准方程即可.【详解】由已知圆心坐标为，半径为1，所以圆的方程为.故选.4.函数的单调增区间是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】对求导后，解不等式即可.【详解】因为(),所以,令,解得：,故函数()的单调增区间是.故选：B.5.在四面体中，点满足，若，则（）A. B. C. D.1【正确答案】B【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解.【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则，可得，因为，可得，所以.故选：B.6.若是函数的极大值点，则实数的值为（）A. B. C. D.或【正确答案】B【分析】根据已知条件可得a的值，运用导数分别计算与时函数的极大值点即可求得结果.【详解】因为，且是的极值点．所以，解得或．①若，则．当或时；当时，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以是的极小值点，所以不合题意．②若，则．当或时；当时，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．所以是的极大值点，所以符合题意．综述：故选：B．7.某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（）A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台【正确答案】A【分析】根据题意，得到利润，利用导数求得函数的单调区间与极大值（最大值），即可求解.【详解】根据题意，设利润为万元，则，所以，令，解得（舍去）或，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，也为最大值，所以应生产6千台该产品时，利润最大.故选:A.8.某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A.600种 B.1080种 C.1200种 D.1560种【正确答案】D【分析】分三类：用5种、4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案.【详解】若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排，即种；若用4种颜色，从6种颜色任选4种有种，再任选一种颜色涂在其中一组对面上有种，其它3种颜色作全排有，所以，共有种；若用3种颜色，从6种颜色任选3种有种，再任选两种颜色涂在两组对面上种，余下的一种颜色涂在底面有1种，所以，共有种；综上，不同的涂色方案有种.故选：D二、多选题（每小题5分共20分：选错不得分，漏选得2分）9.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】BC【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：BC10.已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（

）A. B. C. D.【正确答案】BD【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可.【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为，当焦点为时，可知抛物线方程为：；当焦点为时，可知抛物线方程为.故选：BD11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，选法总数为B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C.若物理和历史不能同时选，选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为【正确答案】ABD【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B；利用间接法进行分析判断即可判断C，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D.【详解】对于A：若任意选择三门课程，选法总数为，故A错误；对于B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法；若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，而，故B错误；对于C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确；对于D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法；②选化学，不选物理，有种选法；③物理与化学都选，有种选法.故总数，故D错误.故选：ABD12.已知数列满足，则（）A.为等比数列B.的通项公式为C.为单调递减数列D.的前n项和【正确答案】BCD【分析】，则得到为等差数列，即可判断A，求出其通项，即可判断A，利用函数单调性即可判断C，利用等差数列的前和公式即可判断D.【详解】因为，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；，即，故选项B正确；根据函数在上单调递增，且，则函数在上单调递减，又因为，，则数列为单调递减数列，故选项C正确；前项和，故选项D正确,故选：BCD.三、填空题（每小题5分共20分）13.若，则_____________.【正确答案】【分析】根据排列数、组合数公式计算可得.【详解】因为，，且，又，所以，即，解得或（舍去）.故14.由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数__________.【正确答案】22个【分析】根据千位为1和不为1，由排列组合即可求解.【详解】当千位和百位分别为1，3时，则十位和个位有个符合条件的,当千位和百位分别为1，4时，则十位和个位有个符合条件的,当千位为不为1时，共有个符合条件,故共有个,故答案为:22个15.已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为___．【正确答案】18【分析】根据给定条件，求出椭圆的长半轴长及半焦距即可得解.【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，因此，所以的周长为.故1816.若直线是曲线与曲线的公切线，则______．【正确答案】5【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求．【详解】由，得，由，解得，则直线与曲线相切于点，∴，得，∴直线是曲线的切线，由，得，设切点为，则，且，联立可得，解得，所以．∴．故5．四、解答题（17题10分，18-22每题12分）17.已知函数在处取得极值.（1）求实数的值和函数的极值；（2）当时，求函数的最小值.【正确答案】（1），，（2）【分析】（1）由题意得，代入求值，再求出函数的单调性，即可求出函数的极值；（2）结合（1）可得函数的单调性，求端点函数值，从而求出函数的最小值．【小问1详解】函数，则，又函数在处取得极值，所以有；此时，则，所以当或时，当时，所以，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，所以，；【小问2详解】由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最小值为和中较小的一个，又，，故函数在上的最小值为.18.已知圆（1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．【正确答案】（1）或（2）或【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.【小问1详解】圆化为标准方程为，所以圆C的圆心为，半径为①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．②若直线的斜率存在，设直线的方程为即由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，所以，即，解得，所以直线方程为综上，所求直线的方程为或【小问2详解】依题意，设又已知圆C的圆心为，半径为2，由两圆外切，可知，所以，解得或所以或，所以所求圆D的方程为或本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题．先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程．设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程．19.已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列（1）求数列通项公式（2）设，求数列的前项和【正确答案】（1）或；（2）见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解；（2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，得，解得或，所以或；（2）当时，，此时；当时，，此时.20.名男生和名女生站成一排．（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？（4）男、女相间的站法有多少种？（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？【正确答案】（1）种（2）种（3）种（4）种（5）种【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；（3）按捆绑法排列即可；（4）按插空法排列即可；（5）按部分均匀的排列方法求解即可.【小问1详解】先排甲有种，其余有种，共有种排法.【小问2详解】先排甲、乙，再排其余人，共有种排法.【小问3详解】把男生和女生分别看成一个元素，男生和女生内部还有一个全排列，共种.【小问4详解】先排名男生有种方法，再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，

故共有种排法.【小问5详解】人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，

故共有种排法．21.如图，在平行六面体中，，，，，设，，.（1）用向量，，表示并求（2）求的值和异面直线与的夹角余弦值.【正确答案】（1），；（2）1，.【分析】（1）利用空间向量的基底表示，再利用数量积的运算律计算得.（2）利用向量数量积的运算律及夹角公式求解即得.【小问1详解】在平行六面体中，，由，，得，，所以.【小问2详解】依题意，，则，，则，所以异面直线与的夹角余弦值为.22.设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值；（3）若函数在区间内恰有两个零点，试求的取