2024-2025学年福建省厦门市高二上册1月期末数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省厦门市高二上学期1月期末数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知等比数列满足，，则（

）A． B． C．3 D．2．已知直线的倾斜角为，直线过点，若，则在轴上的截距为（

）A． B． C．2 D．3．点到双曲线的渐近线的距离为（

）A． B． C． D．4．在四棱锥中，底面为平行四边形，点满足，则（

）A． B．C． D．5．已知数列的前项和为，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．16．已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．已知集合，.若，则实数可以为（

）A．0 B． C．1 D．210．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是和的中点，则（

）

A．B．C．点到平面的距离为D．直线与平面所成角的正弦值为11．已知曲线，其中，则（

）A．存在使得为圆B．存在使得为两条直线C．若为双曲线，则越大，的离心率越大D．若为椭圆，则越大，的离心率越大12．若数列满足，则（

）A．数列是等比数列B．当时，的所有可能取值的和为6C．当时，的取值有10种可能D．当时，三、填空题（本大题共4小题）13．已知，，三点共线，则.14．已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则.15．已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为.16．已知直线与直线，点是与轴的交点.过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，依此方法一直继续下去，可得到一系列点，，则；设的坐标为，则数列的前项和为.四、解答题（本大题共6小题）17．已知等差数列的前项和为，满足，.(1)求；(2)设，求数列的前项和.18．在平面直角坐标系中，点，，动点满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点的直线与交于，两点，，求的方程.19．已知双曲线的左顶点为A，为上（异于A）一点.(1)已知点，求当取得最小值时直线的方程；(2)若直线与直线交于点，证明：为定值.20．某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01.(1)求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；(2)求该工厂今年全年生产的合格产品的数量.参考数据：，.21．如图，在平行六面体中，平面，，，.(1)求证：；(2)线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上不同两点A，满足，当时，.(1)求的方程；(2)设直线，交于点，已知的面积为1，求与的面积之和.

答案1．【正确答案】C【分析】根据数列是等比数列，所以，据此即可求解.【详解】因为数列是等比数列，所以，所以或，因为，，所以.故选：C.2．【正确答案】D【分析】求出直线的斜率，点斜式得到直线方程，求出答案.【详解】由题意得直线的斜率为，故直线的方程为，即，令得，故在轴上的截距为.故选：D3．【正确答案】A【分析】求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式求解.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，即，则点到双曲线的渐近线的距离为.故选：A4．【正确答案】C【分析】取3个向量“”为基底，根据空间向量基本定理求解即可.【详解】由于点满足，可得：，即.故选：C.5．【正确答案】C【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案.【详解】由题意知，故时，，当时，，，则，即，故，又，所以为首项是，公比为的等比数列，故，随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值，故时，取最大值，最大值为，故选：C6．【正确答案】B【分析】根据题意结合椭圆的定义，求出，，然后勾股定理得出a、c的关系即可.【详解】A为线段的中垂线与的交点，所以，，三角形的周长为，所以，又，所以，又，所以，故选：B.7．【正确答案】C【分析】由题知，得出，再左右同时平方，利用数量积公式，算出两向量的夹角的余弦值，从而得出异面直线与所成角的余弦值.【详解】因为，，所以,因为所以.所以即所以异面直线与CD所成角的余弦值为.故选：C.8．【正确答案】B【分析】方法1：由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案；方法2：设，求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标，再求可得答案.【详解】方法1：如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以，又，所以，因为轴，，则有，所以，即，由三角不等式可得，即；

方法2：设，，易求得，所以，，联立方程可求得，所以，即.故选：B.关键点点睛：在方法2中，解题的关键点是求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标.9．【正确答案】ABC【分析】由已知，圆在圆的内部或圆上，即圆心距小于或等于半径差.【详解】由题意，，即圆在圆的内部或圆上，则，即.故选：ABC

10．【正确答案】BC【分析】建系，利用向量法逐一求解即可．【详解】建系如图：

由题得，，，因为与不共线，所以不平行，所以A错误；因为，所以，B正确；设平面的法向量为，，取，所以点F到平面的距离为，所以C正确；直线与平面所成角的正弦值为：，所以D错误；故选：BC.11．【正确答案】ABC【分析】AB选项，举出实例；C选项，求出，离心率，由正切函数单调性得到C正确；D选项，举出反例.【详解】A选项，当时，，即，此时为圆，A正确；B选项，当时，，即，为两条直线，B正确；C选项，若为双曲线，则，即，所以，此时离心率，由于在上单调递增，故单调递增，即越大，的离心率越大，C正确；D选项，若为椭圆，由于，故，所以，所以，当时，，此时，，离心率，当时，，此时，，此时离心率，不满足越大，的离心率越大，D错误.故选：ABC12．【正确答案】BCD【分析】取特值判断A正确；分类讨论得到通项公式，判断BC正确；等价变形，裂项相消判定D正确.【详解】选项A：取，则，故选项A错误；当时，，则或，所以，其中，，，，…，，化简可得：，其中，，，，…，，当时，的取值共有种，故C正确；其和，对于选项B：，，，，所以之和为，故B正确；由可得，即，所以，累加可得，故选项D正确.故选：BCD.关键点点睛：遇到二次型的数列递推式时，可以考了同除以某项构造数列或移项取倒数裂项求和.13．【正确答案】1【分析】，，三点共线,即，根据空间向量平行列式即可得出答案.【详解】,,由题得，所以，解得1，故1.14．【正确答案】5【分析】由的面积可得点的坐标，再由抛物线定义可求.【详解】由题意，，，，，所以，则，由抛物线的定义知，.故5.15．【正确答案】【分析】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解.【详解】

如图，连接，因为，与圆相切，所以，设，所以，整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动，，当且仅当在时等号成立，所以答案为.16．【正确答案】8（或）【分析】求出的解析式，点的坐标，点的坐标，点的坐标，的解析式，据此求出，，据此即可求解.【详解】，，则，当时易得，，则，即，所以，而，故，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，，所以，所以的前项和为.故8；（或）.关键点点睛：本题关键在于求出的解析式，点的坐标，点的坐标，点的坐标，的解析式，据此求出，.17．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，然后利用等差数列通项和求和公式带入求解即可；（2）求出的通项公式，得出是等比数列，利用等比数列求和公式即可得出答案.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，据题意，，所以①又因为，当时，，即②由①②可知，，，即.经检验，满足，所以.（2）因为，所以，因为，所以数列为等比数列，首项，公比，所以，所以数列的前项和为18．【正确答案】(1)(2)或【分析】（1）设，由题意列出方程，化简即可得答案；（2）由题意求出圆心到直线的距离，设直线方程，结合点到直线的距离公式列方程，求得直线的斜率，即得答案.【详解】（1）设，因为，点，，所以，化简得，所以点的轨迹的方程为；（2）因为，，则，

所以圆心到直线的距离①当直线的斜率不存在时，的方程为，与圆无交点，舍去；②当直线的斜率存在时，设，即所以，解得所以的方程为或19．【正确答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）设，其中，，用两点间距离公式得到，代换转换成二次函数求最值问题，然后利用点斜式求出直线方程；（2）设，写出直线AP的方程，得到Q点坐标，计算即可得证.【详解】（1）设，其中，所以当时，取得最小值为，此时，此时，所以直线：，化简得或（2）设，，则直线的方程为：，所以所以，所以为定值.20．【正确答案】(1)154，5月或6月(2)19604个【分析】（1）记第月的产量为，第月的产品合格率为，确定数列为等比数列，数列为等差数列，根据等差数列以及等比数列的通项公式，结合判断第月生产的不合格产品数的增减性，即可求得答案；（2）设今年前个月生产的合格产品总数为，利用错位相减法即可求得，结合近似计算，即得答案.【详解】（1）记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为.由题可知，数列为等比数列，首项，公比，数列为等差数列，首项，公差，所以，，所以今年2月份生产的不合格产品数为；设第月生产的不合格产品数为，则，所以，当时，；当时，；当时，，所以，即5月或6月生产的不合格产品数最多；（2）设今年前个月生产的合格产品总数为，则，由于，，所以①，②，①－②得所以，即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个.21．【正确答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）解法一：利用空间向量法，，从而得证；解法二：在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标运算得，从而得证；解法三：通过证明平面，则，利用勾股定理得证，从而得证；（2）假设存在点满足条件，利用两平面夹角公式可解.【详解】（1）解法一：因为平面，平面，所以，所以因为，所以又因为，所以，化简得所以，所以解法二：在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，设，则，所以，由得，所以，又因为，所以，解得，所以，，，，所以，所以；解法三：在平面中，过作的垂线，垂足为，连结交于.因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，则，所以，所以，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以；（2）由（1）得平面的一个法向量为，假设存在点满足条件，设，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，，所以，所以，因为平面与平面的夹角为，即，解得，又因为，所以舍去，所以线段上不存在点使得平面与平面的夹角为.22．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，则四边形为平行四边形，由椭圆