2023年湖北省武汉市高考数学一模试卷及答案解析

2023年湖北省武汉市高考数学一模试卷

一、单项选择题(每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每

小题5分，共40分)

1.(5分)设集合A={MX2-3x+2>0},集合B={R2χ-3<0},则AnB=()

3

A.(—8,励U(2,+∞)B.(-8,1)

3

C・(-8,1)u(2,+8)D.(一8,会

11

2.(5分)已知α=2023诙，⅛=log20232022,C=IOg2022前金，则小b,C的大小关系是

()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c'>b

1

3.(5分)已知S出9+cos。=—耳，6∈(0,7T),贝IJSinθ-cosθ=()

1177

A.-B.—rC.一D.—F

5555

4.(5分)设公差不为零的等差数列{斯}的前〃项和为S”44=245,则?=()

75

A.-B.-IC.ID.-

44

5.(5分)2021年12月22日教育部提出五项管理“作业、睡眠、手机、课外阅读、健康管

理”，体育锻炼是五项管理中一个非常重要的方面，各地中小学积极响应教育部政策，改

善学生和教师锻炼设施设备.某中学建立“网红”气膜体育馆(图1),气膜体育馆具有

现代感、美观、大气、舒适、环保的特点，深受学生和教师的喜爱.气膜体育馆从某个

角度看，可以近似抽象为半椭球面形状，该体育馆设计图纸比例(长度比)为1：20(单

%2y2

位：m),图纸中椭球面的方程为一+—+z2=l(z>0)(如图2),则该气膜体育馆占地

44

ɑ?

面积为（）瑁1

A.IoOoiW?2B.540π∕w2C.2000πw2D.1600TOT;2

11

6.（5分）已知正实数X,y,则“x+y=l”是“一+一≥4”的（）

Xy

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（5分）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不

同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数

为（）

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.1680

8.（5分）己知偶函数/（无）=Sin（<υx+¢）-√5cos（0>x+租）（ω>0,IWlVW）在（0,1）

上恰有2个极大值点，则实数3的取值范围为（）

A.（2π,4π]B.（3π,4π]C.（4π,6π]D.（3π.5π]

二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错

误选项的得0分）

（多选）9.（5分）设复数Z=%普，则（）

,一，31Q

A.Z的虚部为一B.Z=-5+51

2，2

C.∣z∣=孚D.Z3=I

（多选）10.（5分）已知圆M：（X-4）2+（y-5）2=12,直线/：瓶X-y-2∕n+3=0,直线

/与圆M交于A,C两点，则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（2,3）

B.|北|的最小值为4

C.易・%的取值范围为[-12,4]

1

D.当/AMC最小时，其余弦值为一

2

（多选）II.（5分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的

称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用国表示不超过X的最大整数，则

y=[x]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.则下列说法正确的是（）

A.函数y=χ-国在区间[鼠⅛+l）（⅛∈Z）上单调递增

B.若函数f（x）=e#x，则>=[∕（x）]的值域为{0}

C.若函数/（x）=∣√I+sin2x-Vl-siτι2x∣,则y=[∕^（x）]的值域为{0,1}

D.Λ∈R,X和X]+1

（多选）12.（5分）已知正方体ABC£）-4BlCIOl的棱长为2（如图所示），点M为线段

CCI（含端点）上的动点，由点4,D∖,M确定的平面为α,则下列说法正确的是（）

A.平面a截正方体的截面始终为四边形

B.点M运动过程中，三棱锥Ai-AOIM的体积为定值

C.平面a截正方体的截面面积的最大值为4√Σ

D.三棱锥Al-AGM的外接球表面积的取值范围为偌兀，12π]

三、填空（每题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上

13.（5分）已知厨=3,伉I=2,a-b=l,则区+&=.

14.（5分）已知函数/（x）=f（O）e2x-eF,则/（O）=.

15.（5分）奥运吉祥物“雪容融”是根据中国传统文化中灯笼的造型创作而成，现挂有如

图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笼，直至某一串灯

笼被摘完为止，则左边灯笼先摘完的概率为.

16.（5分）已知尸1、尸2是双曲线C：%-—V彳=1的左、右焦点，过Fl的直线与双曲线左

3b2

支交于点A,与右支交于点B,4AFιF2与4BFιF2内切圆的圆心分别为/I,h,半径分

别为“，-2,则/2的横坐标为；若八：/2=1：3,则双曲线离心率为.

四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）

17.（10分）记正项数列｛斯｝的前"项和为S,且满足对任意正整数〃有若，Sn,即构成等

差数列；等比数列｛加｝的公比4>1,b∖=a∖,-6=64.

（1）求｛如｝和出”｝的通项公式;

（2）设Cn=啸瑞，求数列｛5｝的前n项和T11.

18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，平面雨C_L平面ABC,F=PC=4,ABLBC,D,

E分别为PC,4C中点，且8。_LAC

（1）求”的值；

BC

（2）若AC=4,求二面角E-BD-C的余弦值.

19.（12分）如图，在平面四边形ABC。中，NBCD=专AB=∖,ZABC=

（1）当8C=√Σ,Cf）=√7时，求AACC的面积；

(2)当/AOC=IAO=2时，求cos/ACD

O

20.（12分）某社区拟对该社区内8000人进行核酸检测，现有以下两种核酸检测方案:

方案一：4人一组，采样混合后进行检测；

方案二：2人一组，采样混合后进行检测；

若混合样本检测结果呈阳性，则对该组所有样本全部进行单个检测；若混合样本检测结

果呈阴性，则不再检测.

（1）某家庭有6人，在采取方案一检测时，随机选2人与另外2名邻居组成一组，余下

4人组成一组，求该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组的概率；

(2)假设每个人核酸检测呈阳性的概率都是0.01,每个人核酸检测结果相互独立，分别

求该社区选择上述两种检测方案的检测次数的数学期望.以较少检测次数为依据，你建

议选择哪种方案？

(附：0.992-0.98,0994≈0.96)

21.(12分)函数/(x)^ax+2bx+e2,其中α,b为实数，且4∈(0,1).

(注e=2.71828∙为自然对数的底数)

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)已知对任意6>4°2,函数/(x)有两个不同零点，求4的取值范围.

22.(12分)已知点M(-1,1)在抛物线E：V=2pχ(p>o)的准线上，过点M作直线

/1与抛物线E交于A,B两点，斜率为2的直线/2与抛物线E交于A,C两点.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)(i)求证：直线BC过定点；

(ii)记(/)中的定点为H,设AABH的面积为S,且满足SW5,求直线人的斜率的取

值范围.

2023年湖北省武汉市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题(每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每

小题5分，共40分)

1.(5分)设集合A={x∣∕-3x+2>0},集合B={R2χ-3<0},则AnB=()

3

A.(-8，引U(2，+oo)B.(-8,1)

3

C.(-∞,1)U(2,+∞)D.(一8,金

【解答】解：因为7-3x+2>0,解得x<l或x>2,

故A=(-8,1)u(2,+8),

又2χ-3<0,解得χV∣,

故B=(-8,|).

所以A∏B=(-8,1).

故选：B.

11

f

2.(5分)已知Q=20232022,⅛=log20232022,c=Iog202Z2023贝C的大小关系是

()

A.a>h>cB.b>a>cC.c>a>hD.a>c>h

]

【解答】解：Va=20232022>2023°=1,0=Iog2()23∖<b=Iog2()232022<log2()232023=

1

1,c=log2Q222023<∕°g2022l=°，

∙*∙a›b>c.

故选：A.

1

3.(5分)已知sin。+cos。=—耳，6∈(0,ττ),贝!∣sinθ-cos。=()

1177

A.一B.—EC.一D.—∙p

5555

【解答】解：由于siτι8+cos。=—之，8∈(0,ττ),

关系式两边平方得：l+sin20=看，

24

所以siτι2e——

由于sin2θ=2sinθcosθ<0.

所以CoSOV0,sinθ>O,

故sinθ-cosθ>0;

所以sinθ-cosθ=∣sinθ-cosθ∣=J(Sme-CoSe)2=

故选：C.

4.（5分）设公差不为零的等差数列｛斯｝的前〃项和为S,ci4=2a5,()

75

A.-B.-1C.1D.-

44

【解答】解：在等差数列｛珈｝中,2a5=a4+aβ,a4=2as,故a6=0,

又2。6=。5+。7，故CH--。5,

则Si—S4+a5+aβ+aι—54,=1.

故选：C.

5.（5分）2021年12月22日教育部提出五项管理”作业、睡眠、手机、课外阅读、健康管

理”，体育锻炼是五项管理中一个非常重要的方面，各地中小学积极响应教育部政策，改

善学生和教师锻炼设施设备.某中学建立“网红”气膜体育馆（图1）,气膜体育馆具有

现代感、美观、大气、舒适、环保的特点，深受学生和教师的喜爱.气膜体育馆从某个

角度看,可以近似抽象为半椭球面形状，该体育馆设计图纸比例（长度比）为1：20（单

γ2y2

位：图纸中椭球面的方程为T+9+z2=l3。）（如图2）,则该气膜体育馆占地

面积为()

A.IOOOTO?2B.540π∕∏2C.2000πw2D.1600πm2

【解答】解:当Z=O时,半椭球面XOy平面上的边缘投影方程为/+/=4,所以投影是

半径为的圆.

又体育馆设计图纸比例（长度比）为1：20（单位：m），所以实际投影是半径为40m的

圆.

故面积为1600πm2.

故选：D.

11

6.(5分)己知正实数x,y,则“x+y=l”是“一+一≥4”的()

Xy

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1111VXFyX

【解答】解：一+-=(一+-)(x+y)=2+-+-≥2+2-.-=4,当且仅当X=

XyXyXyy

y=海号成立，所以充分性成立，

111

当％=y=5时，一+一≥4,此时x+y≠1,所以必要性不成立.

iXy

故选:B.

7.(5分)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不

同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数

为()

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.1680

【解答】解：第一步：排白车，第一行选一个位置，则第二行有三个位置可选，由于车

是不相同的，故白车的停法有4X3X2=24种，

第二步，排黑车，若白车选A凡则黑车有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选

择，黑车是不相同的，故黑车的停法有2X7=14利

根据分步计数原理，共有24X14=336种.

故选：B.

8.(5分)已知偶函数f(x)=sin(0>x+⑺)—V5COS(3%+9)(ω>0.IWlVW)在(0,1)

上恰有2个极大值点，则实数3的取值范围为()

A.(2π,4πJB.(3π,4π]C.(4π,6πJD.(3π,5π]

【解答】解：/(x)=sin(ωx+φ~)-√3cos(ωx+¢)=2sin(ωx+3-勃

因为⑼V*,!5lJ-ɪ<φ-^<^,故f(0)=2sin”—，,

又函数/(x)为偶函数，故解得W=—看

故f(x)=2sin{ωx—ɪ)=-2cosωx,

因为函数/(x)在(0,1)上恰有2个极大值，故当x=l时，3π<ω×l≤5π,即3π<

ω≤5π.

故选：D.

二、多项选择题(每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错

误选项的得0分)

(多选)9.(5分)设复数Z=笔普，则()

31Q

A.Z的虚部为一B.Z=-5+51

222

C.∣z∣=缘D.Z3=I

【解答】解：因为Z=华科=%熟中=竽=-⅛

JL十I(JL十IJ(JL-LLL

3

所以Z的虚部为一，A对，

2

z——ɪ-ɪ,B错，

IZI=Jd)2+(∣)2=挈C对，

z2=(-∣+∣i)2=-2-∣i-z3=(-2-∣i)(-∣+fi)=l-3i+∣i+∣=^-^,D

错，

故选：AC.

(多选)10.(5分)已知圆M：(X-4)2+(y-5)2=12,直线/：mx-y-2m+3=0,直线

/与圆M交于4,C两点，则下列说法正确的是()

A.直线/恒过定点(2,3)

B.μ⅛的最小值为4

C.扇!•靛的取值范围为L12,4J

1

D.当NAMC最小时，其余弦值为一

2

【解答】解：对于A：由/：mx-y-2m+3-0(m∈R)整理得(X-2)-y+3=0,

当产一°n，即产=W时,不论，〃为何值时，〃(X-2)-y+3=0("ER)都成立,

(—y+3=0ιy=ɔ“

所以直线/过定点(2,3),故A正确;

对于3：因为直线/过定点K(2,3),将定点代入圆C(2-4)2+(3-5)2=8<12,

所以定点K(2,3)在圆C的内部，∖KM∖=√(2-4)2+(3-5)2=2√2,

当直线AC_LMK时，IACl取得最小值，此时IAcl=2√12—8=4,故B正确；

对于。：设直线/过的定点K(2,3),当KMj_AC时，/4MC最小，

由余弦定理可得CoCNAMC=黑潟=热故D错误；

TTTTɪ

对于C：MA∙MC=∖MA∖∙∖MC∖cosZAMC,又coCNAMCeLI,-J,

.∖MA∙MCe[-12,4],故C正确.

故选：ABC.

(多选)IL(5分)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的

称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用田表示不超过X的最大整数，则

y=[x]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.则下列说法正确的是()

A.函数y=χ-[x]在区间伏，⅛+l)(⅛∈Z)上单调递增

B.若函数/(X)=黄哈，则y=[∕,(x)]的值域为{0}

C.若函数/"(x)=∣√1+sin2x-√1-S讥2x∣,则y=[∕^(x)]的值域为{0,1}

D.x∈R,x≥[x]+l

【解答】解：对于4：当x∈伙，氏+1)时IXI=上所以y=x-[幻=冗-总显然y=χ-Z在

伙，⅛+l)上单调递增，故A对，

,一t3ττɪ3TT—13TT,.

对于"当X=当时，/(—)=3π-3藉(一1，0)，V(T)]=一1，故y=V(χ)]

的值域不为{0},故3错，

对于Czf(x)=I√sm2x+Cos2X+2sinx∙cosx—y∕sin2x÷cos2x—2sinx∙cosx∣=

∣∣sin%+cosx∣-ISinX-cosx∣∣,

ττ3τr

sinx+cosx,—ʌ÷2kπ≤%≤ɪ+2kπ

ɔ7，k∈Z,

(—sinx—cosx,ɪ+2fcττ≤x≤ɪ+2fcττ

sinx—cosx,?+2kπ≤x≤ɪ+2kπ

_q,Λ∈Z,

{cosx—sinx,努+2kπ≤%≤ɪ÷2kπ

21sinxI，—j+∕c7Γ≤x≤^+fcπ

故/G)=〈Tr3；，依Z,

7r

2∖cosx∖f4+∕σr≤x≤w+

・•・结合余弦函数图像可知，∕Q)∈[0,√2],故Va)]=0或1,故。对,

对于D由A中知y=x-[x]在伙，⅛+l）上的值域为[0,1）即x-[x]<l,。错，

故选：AC.

（多选）12.（5分）已知正方体ABCC-4BICIOl的棱长为2（如图所示），点M为线段

CCI（含端点）上的动点，由点4,D∖,M确定的平面为α,则下列说法正确的是（）

A.平面a截正方体的截面始终为四边形

B.点M运动过程中，三棱锥Ai-AOIM的体积为定值

C.平面a截正方体的截面面积的最大值为4√Σ

D.三棱锥ALAr）IM的外接球表面积的取值范围为伊兀，12π]

【解答】解：对A选项，当M与C点重合时，

平面a截正方体的截面为AAOiC,.∙.A选项错误；

对8选项，,:CCi//DDi,又CC3平面AιA5,ZM）IU平面/hA0∣,

.∙.CCi〃平面AMD,又点M为线段CCl（含端点）上的动点，

.∙.M到平面AlAol的距离为定值，又4A1AQ∣的面积也为定值，

二三棱锥41-AOlM的体积为定值，,B选项正确；

对C选项，根据运动变化思想可得：

M由C移动到Ci,截面面积由小变大，

当M与Cl重合时，截面面积最大，

此时截面为矩形ABCiC,其面积为2&x2=4VL,C选项正确；

对。选项，如图，分别取左右侧面的中心E,F,则E/垂直于左右侧面，

根据对称性易知：三棱锥Ai-A。的外接球的球心。在线段EF上，

设M到F的距离为X,则XC[1,√2],

设0F=r,则OE=2-r,又易知EDl=√Σ,外接球0的半径R=ODi=OM,

则在RtADiEO与RtAMFO中，由勾股定理可得：

2+(22r2

[2~0f,两式相减可得：r=字,

It2+x2=R24

：.R2=(号与+/,

令机=/,又xC[l,√2],Λw∈[l,2],

2

・n2/6-m、2lτn+4τn+36

・・R=(丁)+M=------16------，〃2∈[1,2],

τn2+4τn+36

设函数/（加）m∈[l,2],

16

则/（〃?）的对称轴为机=-2,又一元二次函数/（加）的开口向上,

・・・/（"）在[1,2]上单调递增,

的最小值为/（I）=*,/（小）的最大值为/（2）=3,

.∙.R2∈喘,3],

41

三棱锥AI-AZ）IM的外接球表面积5=4亩?2日一兀，i2π],。选项正确.

4

故选：BCD.

三、填空（每题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上

13.(5分)已知Ial=3,闻=2,Q∙b=l,则∣α+b∣=_V15

【解答】解：因Ial=3,∖b∖=2,a∙b=1,所以∣a+b∣=J(Q+6)2=

Ja2+b2+2a-b=√32+22+2×1=√15.

故答案为：V15.

14.(5分)已知函数/(x)=f(0)Λ-e-x,则/(0)=-2.

【解答】解：由函数/(x)=f(0)e2x-∕x求导得：f(X)=2f(0)e2-v+e'x,当X=O

时，/(0)=2f'(0)+1,解得/(0)=-I

因此f(x)=-e2x-

所以/(O)=-2.

故答案为：-2.

15.(5分)奥运吉祥物“雪容融”是根据中国传统文化中灯笼的造型创作而成，现挂有如

图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笼，直至某一串灯

,11

笼被摘完为止，则左边灯笼先摘完的概率为_T7_.

【解答】解：根据题意可知每次摘左边的灯笼和右边的灯笼的概率都是M

要使左边灯笼先摘完则摘灯笼的次数为2,3,4次，

Ill

若2次先摘完左边的灯笼，则概率为二X二=「

若3次先摘完左边的灯笼，则概率为G×∣×∣×∣=i,

若4次先摘完左边的灯笼，则概率为或×(如×i×∣=A,

11311

所以左边灯笼先摘完的概率为7+-+—=

441616

故答案为：—.

16

X2V2

16.(5分)已知尸1、22是双曲线C——匕=1的左、右焦点，过Fl的直线与双曲线左

支交于点A,与右支交于点从Z∖AFIF2与48FIF2内切圆的圆心分别为/1,/2,半径分

别为rι,⑵则/2的横坐标为—V5_；若八：，2=1：3,则双曲线离心率为2.

【解答】解：△BFιF2的内切圆圆心为Oi,

边BFi、BF2、尸1尸2上的切点分别为M、N、E,

则IBM=IBNI,IFlM=IFIE∖F2N∖=∖F2E∖,

由IBFlI-山丘2∣=2α,得∣8M+∣M尸II-<JBN∣+∣N尸2∣)=2a,则IMMl-W尸2∣=24,

即国£1-I尸2E∣=2α,记。1的横坐标为期,则E(X0,0),

于是M)+c-Cc-xo)=2a,得Xo="=√5,

c—a1

E(3ri：/2=1：3,可得---=一，

c+a3

∙∙.4α=2c,∙1e=2.

故答案为：√3:2.

四、解答题(要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.)

17.(10分)记正项数列｛z｝的前八项和为S”且满足对任意正整数“有吗，S”,如构成等

差数列；等比数列｛/?”｝的公比g>l,b∖-a∖,皿6=64.

(1)求｛“”｝和｛尻｝的通项公式；

(2)设Cjl=需鬻，求数列｛Cn｝的前〃项和Tn.

【解答】解：(1)由对任意正整数〃有成，s〃，。〃构成等差数列，

2

则2Sn=an+αn,

当〃=1时，2Sι=Q∕+α],即m=l,

ctnan

当〃22时，an=Sn-Sn-I=^-

即(dn^^^Cln-1)(Cln~Cln-ɪ-1)=O,

又a∏>09

即an-Cln-↑=1,

即数列｛〃〃｝是以1为首项，1为公差的等差数歹U,

即Cln=∏,

由数列｛加｝为等比数列且公比q>l,⅛∣=L⅛2⅛6=64,

则/=64,

即q=2,

即生=2n-1;

2n+12n—1

(2)由(1)可得：Cn二1

丹溜|；n÷2n

18.(12分)如图，在三棱锥P-48C中，平面％C，平面ABC,PA=PC^4,ABLBC,D,

E分别为PC,AC中点，且BDj_AC.

⑴唠的值;

(2)若AC=4,求二面角E-BQ-C的余弦值.

【解答】解：（1）作。尸，AC于F,连接。F,BF,如图所示:

：平面%C_L平面ABC,¥≡PAC∏ABC=AC,DFLAC,PEcffiPAC,

/.DFljFffiABC,

'：DF//PE,

：.PEI5?®ABC,ACu平面ABC,

.∖DF±AC,

'JAClBD,BDCDF=D,BD,DF⊂jFffiBFD,

，4C_L平面BFD,BFc5PEBFD,

.".ACLBF,

,：D,E分别为PC,AC中点，PA=PC=4,DFLAC,

：.AF=3FC,

VABlBC,ACLBF,

：.AB1=AFAC,BC2=FCAC,

(2)由AC=4=>AB=2√3,BC=BE=CD=ED=I,取BD中点为G,连接DG,CG,

由4BED,ABCO为等腰三角形，

⅛BD±EG,BD±CG,

则NEGC为二面角E-BD-C的平面角.8。=√2BF=√6,EG=CG=

1

所以二面角E-BD-C的余弦值为J

19.(12分)如图，在平面四边形ABCQ中，NBC。=%,AB=I,ZABC=ɪ.

(1)当BC=√Σ,CD=√7时，求aACC的面积；

(2)当/40C=亲AD=2时,求CoSNACZX

【解答】解：过A作A”"£＞于点"，再过B作BMUH于点M,结合NBCQ=/，可

τrτr

知=卷故

ZJWBCZ4ZTIBM=M

(1)在AABC中，AC2=AB2+BC2-2ΛB∙βC∙cosl35o

l+2-2x√Σx(一与)=5,⅛AC=√5,

故2CB=吗脍津=备即SinNA"=治

所以AH=AC∙smZACH=」，

所以SgCD=γCD-AH=呼ɪ.

(2)如图，在RtZiABM中,BM=AB∙cos%=专=CH,

在RtZ∖AHQ中，∆ADC=\故AH=2∙sin1=1,

OO

所以a。？=力“2_|_CH?=1,即AC=ɪ,

所以cosZACD=市:=-ɪ.

BH

Ψ._______________

A

20.(12分)某社区拟对该社区内8000人进行核酸检测，现有以下两种核酸检测方案：

方案一：4人一组，采样混合后进行检测；

方案二：2人一组，采样混合后进行检测；

若混合样本检测结果呈阳性，则对该组所有样本全部进行单个检测；若混合样本检测结

果呈阴性，则不再检测.

(1)某家庭有6人，在采取方案一检测时，随机选2人与另外2名邻居组成一组，余下

4人组成一组，求该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组的概率；

(2)假设每个人核酸检测呈阳性的概率都是0.01,每个人核酸检测结果相互独立，分别

求该社区选择上述两种检测方案的检测次数的数学期望.以较少检测次数为依据，你建

议选择哪种方案？

(附：0.992≈0.98,O.994≈O.96)

【解答】解：(1)记该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组为事件A,

则P。)=笔=£；

c6

(2)每个人核酸检测阳性概率为0.01,每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99,

若选择方案一进行核酸检测，记小组4人的检测次数为ξι,

则章可能取值为1,5,其分布列为：

ξι15

P0.9941-0.994

则选择方案一，小组4人的检测次数期望为E(A)=IX0.994+5×(1-0.994)=5-

4×0.994≈1.16,

该社区对8000人核酸检测总次数Xi的期望为E(Xi)=2000×l.I6=2320,

若选择方案二，记小组2人的检测次数为ξ2,

则攵可能取值为1,3,其分布列为：

ξ2ɪ3

P0.9921-O.992

E(A)=1×0.992+3×(1-0.992)=3-2×0.992≈1.04,

该社区8000人进行核酸检测总次数X2的期望E(X2)=400OX1.04=4160,

显然后(κ)<£(*2),，建议选择方案一.

21.(12分)函数/(x)=ax+2bx+e2,其中a,人为实数，且α∈(0,1).

(注e=2.71828…为自然对数的底数)

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)己知对任意b>4e2,函数/(x)有两个不同零点，求“的取值范围.

【解答】解：(1)/(ɪ)=axlna+2b,由0<a<l,

当⅛≤0时，，(x)<0,f(x)在(-8,+∞)上单调递减；

当6>0时，令，(X)=0得x=∕ogα(溜)，xVo%(禧)时，/(》)<0./(x)在

(一8,∕ogɑ(禧))上单调递减：XXOga(禧)时，/(x)>0,∕(x)在(1。9式禧)，+8)

上单调递增；

综上所述：匕WO时，/(X)在(-8,+8)上单调递减；匕>0时,/(χ)在(_8,kgα(焉))

上单调递减；在QogJ/)，+8)上单调递增.

(2)由(1)可知：当b>0时,f(x)在(一8,∕ogtl(焉))上单调递减;/(χ)在Qoga(瑞,

+8)上单调递增，

—26—?h—?h—7h

2

于是有f(x)min=fa。%(而))∕(x)mE=f。0%(而"))=而f+2blogcι(~成)+e=

—2b—-2b、J/-2b、2

而一(而∕n⅛^)+e

∙.∙函数/(x)在定义域上有两个零点，

-2b

Λ/(x)〃而V0,令-、—=t,即有g(/)=t-tlnt+e2<0gr(/)=Tnt,

Ina

：.g(r)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减，

又OVyl时，g⑺=t(1-lnt)+?>0；r>l时，注意到g(次)=0,

要使得gG)<0